गैर-विमीयकरण

चर के उपयुक्त प्रतिस्थापन द्वारा भौतिक मात्राओं को सम्मिलित करने वाले समीकरण से भौतिक आयामों का आंशिक या पूर्ण निष्कासन गैर-विमीयकरण है। यह तकनीक उन समस्याओं को सरल और मानकीकृत कर सकती है जहाँ मापी गई इकाइयां सम्मिलित हैं। यह आयामी विश्लेषण से निकटता से संबंधित है। कुछ भौतिक प्रणालियों में, प्रवर्धन शब्द का प्रयोग 'अविआयामीकरण' के साथ एक दूसरे के रूप में किया जाता है, ताकि यह सुझाव दिया जा सके कि कुछ परिमाप कुछ उपयुक्त इकाई के सापेक्ष अपेक्षाकृत अधिक अच्छे से मापी जाती हैं। ये इकाइयां एसआई इकाइयों जैसी इकाइयों के अतिरिक्त प्रणाली के आंतरिक मात्राओं को संदर्भित करती हैं। गैर-विमीयकरण एक समीकरण में व्यापक परिणाम को गहन परिणाम में परिवर्तित करने के समान नहीं है, क्योंकि बाद की प्रक्रिया के परिणामस्वरूप वे चर होते हैं जो अभी भी इकाइयों को ले जाते हैं।

गैर-विमीयकरण एक प्रणाली के विशिष्ट गुणों को भी पुनर्प्राप्त कर सकता है। उदाहरण के लिए, यदि किसी प्रणाली में आंतरिक अनुनाद, लंबाई, या समय स्थिर है, तो गैर-विमीयकरण इन मानों को पुनर्प्राप्त कर सकता है। तकनीक विशेष रूप से उन प्रणालियों के लिए उपयोगी है जिन्हें अवकलन समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है। नियंत्रण प्रणालियों के विश्लेषण में एक महत्वपूर्ण उपयोग है।

सबसे सरल विशेषता इकाइयों में से एक है घातीय वृद्धि का अनुभव करने वाली प्रणाली का दोहरीकरण समय, या इसके विपरीत घातीय शून्यीकरण का अनुभव करने वाली प्रणाली का अर्ध जीवन काल; विशेषता इकाइयों की एक अधिक प्राकृतिक जोड़ी औसत आयु/औसत जीवनकाल है, जो आधार 2 के अतिरिक्त आधार 'ई' के अनुरूप है।

गैर-विमीयकरण के कई उदाहरण उदाहरण अवकलन समीकरणों को सरल बनाने से उत्पन्न होते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि अवकलन समीकरणों के संदर्भ में भौतिक समस्याओं का एक बड़ा समूह तैयार किया जा सकता है। निम्न पर विचार करें:

• गतिक प्रणाली और अवकल समीकरण विषयों की सूची
• आंशिक अवकलन समीकरण विषयों की सूची
• गणितीय भौतिकी के विभेदक समीकरण

हालांकि इन समस्याओं के लिए गैर-विमीयकरण अच्छी तरह से अनुकूलित है, यह उन तक ही सीमित नहीं है। एक गैर-अवकलन-समीकरण अनुप्रयोग का एक उदाहरण विमीय विश्लेषण है; एक अन्य उदाहरण आँकड़ों में सामान्यीकरण (सांख्यिकी) है।

मापने के उपकरण दैनिक जीवन में होने वाले गैर-विमीयकरण के व्यावहारिक उदाहरण हैं। मापने वाले उपकरणों को कुछ ज्ञात इकाई के सापेक्ष अंशांकित किया जाता है। बाद के माप इस मानक के सापेक्ष किए जाते हैं। फिर, माप के पूर्ण मूल्य को मानक के संबंध में अनुमापन करके पुनर्प्राप्त किया जाता है।

सामान्य कारण

मान लीजिए एक लोलक एक विशेष आवर्तकाल T से दोलन कर रहा है। ऐसी प्रणाली के लिए, T के सापेक्ष दोलन से संबंधित गणना करना लाभप्रद है। कुछ अर्थों में, यह अवधि के संबंध में माप को सामान्य कर रहा है।

एक प्रणाली की एक आंतरिक गुण के सापेक्ष किए गए माप अन्य प्रणालियों पर लागू होंगे जिनके पास समान आंतरिक गुण भी है। यह एक ही प्रणाली के विभिन्न कार्यान्वयनों की एक सामान्य गुण की तुलना करने की भी स्वीकृति देता है। प्रणाली के आंतरिक गुणों के पूर्व ज्ञान पर अधिक निर्भर किए बिना, गैर-विमीयकरण एक प्रणाली की 'विशिष्ट इकाइयों' का उपयोग करने के लिए एक व्यवस्थित तरीके से निर्धारित करता है। (किसी तंत्र की विशिष्ट इकाइयों को प्रकृति की प्राकृतिक इकाइयों के साथ भ्रमित नहीं करना चाहिए)। वास्तव में, गैर-विमीयकरण उन मापदंडों का सुझाव दे सकता है जिनका उपयोग किसी प्रणाली के विश्लेषण के लिए किया जाना चाहिए। हालांकि, एक समीकरण से प्रारंभ करना जरूरी है जो प्रणाली का उपयुक्त वर्णन करता है।

गैर-आयामीकरण चरण

समीकरणों की एक प्रणाली को गैर-विमीय बनाने के लिए, निम्न कार्य करना चाहिए:

1. सभी स्वतंत्र और आश्रित चरों की पहचान करें;
2. उनमें से प्रत्येक को निर्धारित की जाने वाली माप की एक विशिष्ट इकाई के सापेक्ष मापे गए परिणाम से परिवर्तित करे;
3. उच्चतम क्रम बहुपद या व्युत्पन्न शब्द के गुणांक द्वारा विभाजित करें;
4. विवेकपूर्ण रूप से प्रत्येक चर के लिए विशेषता इकाई की परिभाषा चुनें ताकि अधिक से अधिक पदों के गुणांक 1 हो जाएं;
5. समीकरणों की प्रणाली को उनकी नई आयाम रहित मात्राओं के संदर्भ में पुनः लिखें।

अंतिम तीन चरण सामान्य रूप से उस समस्या के लिए विशिष्ट होते हैं जहां गैर-विमीयकरण लागू किया जाता है। हालाँकि, लगभग सभी प्रणालियों को निष्पादित करने के लिए पहले दो चरणों की आवश्यकता होती है।

कन्वेंशन (संकेत)

x और t को प्रतिस्थापित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले चर नामों पर कोई प्रतिबंध नहीं है। हालांकि, उन्हें सामान्य रूप से चयन किया जाता है ताकि समस्या के लिए उपयोग करना सुविधाजनक और आसान हो। उदाहरण के लिए, यदि x द्रव्यमान का प्रतिनिधित्व करता है, तो आयाम रहित द्रव्यमान परिणाम का प्रतिनिधित्व करने के लिए अक्षर m एक उपयुक्त प्रतीक हो सकता है।

इस लेख में, निम्नलिखित नियमो का उपयोग किया गया है:

• t - स्वतंत्र चर का प्रतिनिधित्व करता है - सामान्य रूप से एक समय राशि। इसका $\tau$ अआयामी समकक्ष है।
• x - आश्रित चर का प्रतिनिधित्व करता है - द्रव्यमान, विद्युत् दाब या कोई मापने योग्य परिणाम हो सकता है। इसका $\chi$ अआयामी समकक्ष है।

परिणाम के चर नाम में जोड़ा गया एक अधोलिखित c उस परिणाम को अनुमापन करने के लिए उपयोग की जाने वाली विशेषता इकाई को दर्शाने के लिए उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि x एक परिणाम है, तो x_cइसे अनुमापन करने के लिए उपयोग की जाने वाली विशेषता इकाई है।

एक उदाहरण के रूप में, स्थिर गुणांक वाले पहले क्रम के अवकलन समीकरण पर विचार करें:

$$a{\frac {dx}{dt}}+bx=Af(t).$$

1. इस समीकरण में स्वतंत्र चर यहाँ t है, और आश्रित चर x है।
2. श्रेणी $x=\chi x_{c},\ t=\tau t_{c}$ इसका परिणाम समीकरण में होता है
   $$a{\frac {x_{c}}{t_{c}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+bx_{c}\chi =Af(\tau t_{c})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ AF(\tau ).$$
3. उच्चतम आदेशित पद का गुणांक पहले व्युत्पन्न पद के सामने है। इससे भाग देने पर मिलता है
   $${\frac {d\chi }{d\tau }}+{\frac {bt_{c}}{a}}\chi ={\frac {At_{c}}{ax_{c}}}F(\tau ).$$
4. सामने गुणांक $\chi$ केवल एक अभिलाक्षणिक चर t_c समाहित करता है, इसलिए इसे पहले इकाई पर स्थापित करना सबसे आसान है:
   $${\frac {bt_{c}}{a}}=1\Rightarrow t_{c}={\frac {a}{b}}.$$
   बाद में,
   $${\frac {At_{c}}{ax_{c}}}={\frac {A}{bx_{c}}}=1\Rightarrow x_{c}={\frac {A}{b}}.$$
5. इस स्थिति में अंतिम आयाम रहित समीकरण इकाइयों के साथ किसी भी पैरामीटर से पूरी तरह स्वतंत्र हो जाता है:
   $${\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).$$

प्रतिस्थापन

सरलता के लिए मान लीजिए कि एक निश्चित प्रणाली को दो चरों की विशेषता है - एक आश्रित चर x और एक स्वतंत्र चर t, जहाँ x, t का एक फलन (गणित) है। दोनों x और t इकाइयों के साथ परिणाम का प्रतिनिधित्व करते हैं। इन दो चरों को अनुमापन करने के लिए, मान लें कि माप x_c की दो आंतरिक इकाइयाँ हैं और t_c क्रमशः x और t जैसी ही इकाइयों के साथ, जैसे कि ये शर्तें हैं:

$$\tau ={\frac {t}{t_{c}}}\Rightarrow t=\tau t_{c}$$

$$\chi ={\frac {x}{x_{c}}}\Rightarrow x=\chi x_{c}.$$

इन समीकरणों का उपयोग x और t को प्रतिस्थापित करने के लिए किया जाता है जब गैर-विमीयकरण होता है। यदि सामान्य प्रणाली का वर्णन करने के लिए अवकलन परिचालक की आवश्यकता होती है, तो उनके अनुमापन किए गए समकक्ष आयाम रहित अवकलन परिचालक बन जाते हैं।

विभेदक संचालक

संबंध पर विचार करें

$$t=\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}{t}_c\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->dt=t_{c}d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\frac{d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{dt}=\frac{1}{}$$