गैर-विमीयकरण

गैर-विमीयकरण चरों के उपयुक्त प्रतिस्थापन द्वारा भौतिक मात्रा से जुड़े गणितीय समीकरण से आयामी विश्लेषण का आंशिक या पूर्ण निष्कासन है। यह तकनीक उन पैरामीट्रिक समीकरण समस्याओं को सरल और आसान बना सकती है जहां माप न इकाइयां सम्मिलित हैं। यह आयामी विश्लेषण से निकटता से संबंधित है। कुछ भौतिक प्रणालियों में, स्केलिंग शब्द का प्रयोग 'अविआयामीकरण' के साथ एक दूसरे के रूप में किया जाता है, ताकि यह सुझाव दिया जा सके कि कुछ मात्राएँ कुछ उपयुक्त इकाई के सापेक्ष अपेक्षाकृत अधिक अच्छे से मापी जाती हैं। ये इकाइयाँ विक्षनरी मात्राओं को संदर्भित करती हैं: इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली जैसी इकाइयों के अतिरिक्त प्रणाली के लिए आंतरिक। गैर-विमीयकरण समीकरण में गहन और व्यापक गुण ों को गहन मात्रा में परिवर्तित करने के समान नहीं है, क्योंकि बाद की प्रक्रिया के परिणामस्वरूप वे चर होते हैं जो अभी भी इकाइयों को ले जाते हैं।

गैर-विमीयकरण एक प्रणाली के विशिष्ट गुणों को भी पुनर्प्राप्त कर सकता है। उदाहरण के लिए, यदि किसी प्रणाली में आंतरिक अनुनाद, लंबाई , या समय स्थिर है, तो गैर-विमीयकरण इन मानों को पुनर्प्राप्त कर सकता है। तकनीक विशेष रूप से उन प्रणालियों के लिए उपयोगी है जिन्हें अंतर समीकरण ों द्वारा वर्णित किया जा सकता है। नियंत्रण प्रणालियों के विश्लेषण में एक महत्वपूर्ण उपयोग है।

सबसे सरल विशेषता इकाइयों में से एक है घातीय वृद्धि का अनुभव करने वाली प्रणाली का दोहरीकरण समय, या इसके विपरीत घातीय क्षय का अनुभव करने वाली प्रणाली का आधा जीवन; विशेषता इकाइयों की एक अधिक प्राकृतिक जोड़ी औसत आयु/औसत जीवनकाल है, जो आधार 2 के अतिरिक्त आधार 'ई' के अनुरूप है।

गैर-विमीयकरण के कई उदाहरण उदाहरण अंतर समीकरणों को सरल बनाने से उत्पन्न होते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि अंतर समीकरणों के संदर्भ में भौतिक समस्याओं का एक बड़ा समूह तैयार किया जा सकता है। निम्न पर विचार करें:

• डायनेमिक प्रणाली और डिफरेंशियल इक्वेशन विषयों की सूची
• आंशिक अंतर समीकरण विषयों की सूची
• गणितीय भौतिकी के विभेदक समीकरण

हालांकि इन समस्याओं के लिए गैर-विमीयकरण अच्छी तरह से अनुकूलित है, यह उन तक ही सीमित नहीं है। एक गैर-अंतर-समीकरण अनुप्रयोग का एक उदाहरण विमीय विश्लेषण है; एक अन्य उदाहरण आँकड़ों में सामान्यीकरण (सांख्यिकी) है।

मापने के उपकरण रोजमर्रा की जिंदगी में होने वाले गैर-विमीयकरण के व्यावहारिक उदाहरण हैं। मापने वाले उपकरणों को कुछ ज्ञात इकाई के सापेक्ष कैलिब्रेट किया जाता है। बाद के माप इस मानक के सापेक्ष किए जाते हैं। फिर, माप के पूर्ण मूल्य को मानक के संबंध में स्केल करके पुनर्प्राप्त किया जाता है।

औचित्य

मान लीजिए कि एक लंगर एक विशेष आवृत्ति T के साथ दोलन कर रहा है। ऐसी प्रणाली के लिए, T के सापेक्ष दोलन से संबंधित गणना करना लाभप्रद है। कुछ अर्थों में, यह अवधि के संबंध में माप को सामान्य कर रहा है।

एक प्रणाली की एक आंतरिक संपत्ति के सापेक्ष किए गए माप अन्य प्रणालियों पर लागू होंगे जिनके पास समान आंतरिक संपत्ति भी है। यह एक ही प्रणाली के विभिन्न कार्यान्वयनों की एक सामान्य संपत्ति की तुलना करने की भी स्वीकृति देता है। प्रणाली के आंतरिक गुणों के पूर्व ज्ञान पर भारी निर्भर किए बिना, गैर-विमीयकरण एक प्रणाली की 'विशेषता इकाइयों' का उपयोग करने के लिए एक व्यवस्थित तरीके से निर्धारित करता है। (किसी तंत्र की विशिष्ट इकाइयों को प्रकृति की प्राकृतिक इकाइयों के साथ भ्रमित नहीं करना चाहिए)। वास्तव में, गैर-विमीयकरण उन मापदंडों का सुझाव दे सकता है जिनका उपयोग किसी प्रणाली के विश्लेषण के लिए किया जाना चाहिए। हालांकि, एक समीकरण से शुरू करना जरूरी है जो प्रणाली का उपयुक्त वर्णन करता है।

नॉनडायमेंशनलाइजेशन स्टेप्स

समीकरणों की एक प्रणाली को गैर-विमीय बनाने के लिए, निम्न कार्य करना चाहिए:

1. सभी स्वतंत्र और आश्रित चरों की पहचान करें;
2. उनमें से प्रत्येक को निर्धारित की जाने वाली माप की एक विशिष्ट इकाई के सापेक्ष मापी गई मात्रा से बदलें;
3. उच्चतम क्रम बहुपद या व्युत्पन्न शब्द के गुणांक द्वारा विभाजित करें;
4. विवेकपूर्ण ढंग से प्रत्येक चर के लिए विशेषता इकाई की परिभाषा चुनें ताकि अधिक से अधिक पदों के गुणांक 1 हो जाएं;
5. समीकरणों की प्रणाली को उनकी नई आयाम रहित मात्राओं के संदर्भ में पुनः लिखें।

अंतिम तीन चरण सामान्य रूप से उस समस्या के लिए विशिष्ट होते हैं जहां गैर-विमीयकरण लागू किया जाता है। हालाँकि, लगभग सभी प्रणालियों को निष्पादित करने के लिए पहले दो चरणों की आवश्यकता होती है।

कन्वेंशन

x और t को प्रतिस्थापित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले चर नामों पर कोई प्रतिबंध नहीं है। हालांकि, उन्हें सामान्य रूप से चुना जाता है ताकि समस्या के लिए उपयोग करना सुविधाजनक और सहज हो। उदाहरण के लिए, यदि x द्रव्यमान का प्रतिनिधित्व करता है, तो आयाम रहित द्रव्यमान मात्रा का प्रतिनिधित्व करने के लिए अक्षर m एक उपयुक्त प्रतीक हो सकता है।

इस लेख में, निम्नलिखित सम्मेलनों का उपयोग किया गया है:

• t - स्वतंत्र चर का प्रतिनिधित्व करता है - सामान्य रूप से एक समय मात्रा। इसका अआयामी समकक्ष है $\tau$.
• x - आश्रित चर का प्रतिनिधित्व करता है - द्रव्यमान, वोल्टेज या कोई मापने योग्य मात्रा हो सकती है। इसका अआयामी समकक्ष है $\chi$.

मात्रा के चर नाम में जोड़ा गया एक सबस्क्रिप्टेड सी उस मात्रा को स्केल करने के लिए उपयोग की जाने वाली विशेषता इकाई को दर्शाने के लिए उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि x एक मात्रा है, तो x_cइसे स्केल करने के लिए उपयोग की जाने वाली विशेषता इकाई है।

एक उदाहरण के रूप में, स्थिर गुणांक वाले पहले क्रम के अंतर समीकरण पर विचार करें:

$$a{\frac {dx}{dt}}+bx=Af(t).$$

1. इस समीकरण में स्वतंत्र चर यहाँ t है, और आश्रित चर x है।
2. सेट $x=\chi x_{c},\ t=\tau t_{c}$. इसका परिणाम समीकरण में होता है
   $$a{\frac {x_{c}}{t_{c}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+bx_{c}\chi =Af(\tau t_{c})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ AF(\tau ).$$
3. उच्चतम आदेशित पद का गुणांक पहले व्युत्पन्न पद के सामने है। इससे भाग देने पर मिलता है
   $${\frac {d\chi }{d\tau }}+{\frac {bt_{c}}{a}}\chi ={\frac {At_{c}}{ax_{c}}}F(\tau ).$$
4. सामने गुणांक $\chi$ केवल एक अभिलाक्षणिक चर t समाहित करता है_c, इसलिए इसे पहले एकता पर सेट करना चुनना सबसे आसान है:
   $${\frac {bt_{c}}{a}}=1\Rightarrow t_{c}={\frac {a}{b}}.$$
   बाद में,
   $${\frac {At_{c}}{ax_{c}}}={\frac {A}{bx_{c}}}=1\Rightarrow x_{c}={\frac {A}{b}}.$$
5. इस स्थिति में अंतिम आयाम रहित समीकरण इकाइयों के साथ किसी भी पैरामीटर से पूरी तरह स्वतंत्र हो जाता है:
   $${\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).$$

प्रतिस्थापन

सादगी के लिए मान लीजिए कि एक निश्चित प्रणाली को दो चरों की विशेषता है - एक आश्रित चर x और एक स्वतंत्र चर t, जहाँ x, t का एक फलन (गणित) है। दोनों एक्स और t इकाइयों के साथ मात्रा का प्रतिनिधित्व करते हैं। इन दो चरों को स्केल करने के लिए, मान लें कि माप x_c की दो आंतरिक इकाइयाँ हैं और t_c क्रमशः x और t जैसी ही इकाइयों के साथ, जैसे कि ये शर्तें हैं:

$$\tau ={\frac {t}{t_{c}}}\Rightarrow t=\tau t_{c}$$

$$\chi ={\frac {x}{x_{c}}}\Rightarrow x=\chi x_{c}.$$

इन समीकरणों का उपयोग x और t को प्रतिस्थापित करने के लिए किया जाता है जब गैर-विमीयकरण होता है। यदि मूल प्रणाली का वर्णन करने के लिए अंतर ऑपरेटरों की आवश्यकता होती है, तो उनके स्केल किए गए समकक्ष आयाम रहित अंतर ऑपरेटर बन जाते हैं।

विभेदक संचालक

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