फंक्टर

This article is about गणितीय अवधारणा. For other uses, see फंक्टर (disambiguation).

"क्रियात्मकता" redirects here. For संख्या सिद्धांत में लैंगलैंड्स कार्यात्मकता अनुमान, see लैंगलैंड्स कार्यक्रम § कार्यक्षमता.

गणित में, विशेष रूप से श्रेणी सिद्धांत , क्रियात्मकता श्रेणी (गणित) के बीच नक्शा (गणित) है। क्रियात्मकता को पहले बीजगणितीय टोपोलॉजी में माना जाता था, जहां बीजगणितीय वस्तुएं (जैसे मौलिक समूह ) सामयिक स्थान स्थान से जुड़े होते हैं, और इन बीजीय वस्तुओं के बीच के नक्शे रिक्त स्थान के बीच निरंतर फ़ंक्शन मानचित्रों से जुड़े होते हैं।आजकल, विभिन्न श्रेणियों से संबंधित करने के लिए आधुनिक गणित में क्रियात्मकता का उपयोग किया जाता है।इस प्रकार, गणित के भीतर सभी क्षेत्रों में क्रियात्मकता महत्वपूर्ण हैं, जिसमें श्रेणी सिद्धांत लागू किया जाता है।

शब्द श्रेणी और क्रियात्मकता क्रमशः दार्शनिकों अरस्तू और रुडोल्फ कार्नाप के गणितज्ञों द्वारा उधार लिए गए थे। उत्तरार्द्ध भाषाविज्ञान संदर्भ में क्रियात्मकता का उपयोग किया, इसके लिए फ़ंक्शन शब्द देखें।

परिभाषा

फंक्टर $F$ मॉर्फिज्म की रचना को संरक्षित करना चाहिए $\tau$ और $\sigma$

C और D को श्रेणी (गणित) में C से D तक 'क्रियात्मकता' F मैपिंग है

• प्रत्येक वस्तु को संबद्ध करता है $X$ किसी वस्तु के लिए सी में $F(X)$ डी में,
• प्रत्येक रूपांतरण को संबद्ध करता है $f\colon X\to Y$ C में मॉर्फिज्म $F(f)\colon F(X)\to F(Y)$ D में ऐसा है कि निम्नलिखित दो शर्तें हैं:
  • $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$ हर वस्तु के लिए $X$ C में,
  • $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ सभी रूपों के लिए $f\colon X\to Y\,\!$ और $g\colon Y\to Z$ C।

अर्थात क्रियात्मकता को मॉर्फिज्म की रूपरेखा को संरक्षित करना चाहिए और मॉर्फिज़्म की फ़ंक्शन रचना को प्रदर्शित करते हैं।

सहसंयोजक और कॉन्ट्रैवेरियन

See also: सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण (कंप्यूटर विज्ञान)

गणित में कई निर्माण हैं जो क्रियात्मक होंगे लेकिन इस तथ्य के लिए कि वे आकारिकी को चारों ओर घुमाएंगे और संरचना को व्युत्क्रम रूप में परिवर्तित कर देती हैं। हम तब कॉन्ट्रैवेरियनट फनक्टर f को C से D से मैपिंग के रूप में परिभाषित करते हैं

• प्रत्येक वस्तु को संबद्ध करता है $X$ वस्तु के साथ C में $F(X)$ D में,
• प्रत्येक रूपांतरण को संबद्ध करता है $f\colon X\to Y$ मॉर्फिज्म के साथ C में $F(f)\colon F(Y)\to F(X)$ D में ऐसा है कि निम्नलिखित दो शर्तें हैं:
  • $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$ हर वस्तु के लिए $X$ C में,
  • $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$ सभी रूपों के लिए $f\colon X\to Y$ और $g\colon Y\to Z$ C।

ध्यान दें कि कॉन्ट्रैवेरिएंट क्रियात्मकता रचना की दिशा को उलटते हैं।

साधारण क्रियात्मकता को 'कोवेरिएंट क्रियात्मकता' भी कहा जाता है ताकि उन्हें कॉन्ट्रैवेरिएंट वाले से अलग किया जा सके। ध्यान दें कि कोई भी विपरीत श्रेणी में सहसंयोजक क्रियात्मकता के रूप में कॉन्ट्रैवेरिएंट क्रियात्मकता को परिभाषित कर सकता है $C^{\mathrm {op} }$. कुछ लेखक सभी अभिव्यक्तियों को सहसंयोजक रूप से लिखना पसंद करते हैं।अर्थात् कहने के अतिरिक्त $F\colon C\to D$ कॉन्ट्रैवेरियनट फंक्टर है, वे $F\colon C^{\mathrm {op} }\to D$ लिखते हैं (या कभी -कभी $F\colon C\to D^{\mathrm {op} }$) और इसे क्रियात्मकता कहते हैं।

कॉन्ट्रैवेरियनट क्रियात्मकता को कभी -कभी कोफंक्टर भी कहा जाता है। यह सम्मेलन है जो वैक्टर I को संदर्भित करता है। वेक्टर क्षेत्र , वर्गों के स्थान के तत्व $\Gamma (TM)$ स्पर्शरेखा बंडल की $TM$—एएस कॉन्ट्रैवेरियन और कोवेक्टर्स के लिए I से संदर्भित किया जाता हैं। $\Gamma {\mathord {\left(T^{*}M\right)}}$ स्पर्शरेखा बंडल की $T^{*}M$ सहसंयोजक हैं। यह शब्दावली भौतिकी में उत्पन्न होती है, और इसके औचित्य का आइंस्टीन योग में सूचकांकों (ऊपर और नीचे) की स्थिति के साथ करना है जैसे ${x'}^{\,i}=\Lambda _{j}^{i}x^{j}$ के लिए $\mathbf {x} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x}$ या