फंक्टर

This article is about the mathematical concept. For other uses, see फंक्टर (disambiguation).

"Functoriality" redirects here. For the Langlands functoriality conjecture in number theory, see Langlands program § Functoriality.

गणित में, विशेष रूप से श्रेणी सिद्धांत , एक फंक्शनर श्रेणी (गणित) के बीच एक नक्शा (गणित) है।फंक्शनर्स को पहले बीजगणितीय टोपोलॉजी में माना जाता था, जहां बीजगणितीय वस्तुएं (जैसे मौलिक समूह ) सामयिक स्थान स्थान से जुड़े होते हैं, और इन बीजीय वस्तुओं के बीच के नक्शे रिक्त स्थान के बीच निरंतर फ़ंक्शन मानचित्रों से जुड़े होते हैं।आजकल, विभिन्न श्रेणियों से संबंधित करने के लिए आधुनिक गणित में फंक्शनर्स का उपयोग किया जाता है।इस प्रकार, गणित के भीतर सभी क्षेत्रों में फंक्शनर्स महत्वपूर्ण हैं, जिसमें श्रेणी सिद्धांत लागू किया जाता है।

शब्द श्रेणी और फंक्शनर क्रमशः दार्शनिकों अरस्तू और रुडोल्फ कार्नाप के गणितज्ञों द्वारा उधार लिए गए थे। उत्तरार्द्ध एक भाषाविज्ञान संदर्भ में फंक्शनर का इस्तेमाल किया; फ़ंक्शन शब्द देखें।

परिभाषा

File:Functor.svg

फंक्टर $F$ मॉर्फिज्म की रचना को संरक्षित करना चाहिए $\tau$ और $\sigma$

C और D को श्रेणी (गणित) होने दें।C से D तक एक 'फ़नक्टर' F एक मैपिंग है

• प्रत्येक वस्तु को संबद्ध करता है $X$ किसी वस्तु के लिए सी में $F(X)$ डी में,
• प्रत्येक रूपांतरण को संबद्ध करता है $f\colon X\to Y$ सी में एक मॉर्फिज्म $F(f)\colon F(X)\to F(Y)$ डी में ऐसा है कि निम्नलिखित दो शर्तें हैं:
  • $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$ हर वस्तु के लिए $X$ सी में,
  • $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$ सभी रूपों के लिए $f\colon X\to Y\,\!$ और $g\colon Y\to Z$ सी।

अर्थात्, फंक्शनर्स को मॉर्फिज्म की रूपरेखा को संरक्षित करना चाहिए और मॉर्फिज़्म की फ़ंक्शन रचना।

सहसंयोजक और कॉन्ट्रैवेरियन

See also: Covariance and contravariance (computer science)

गणित में कई निर्माण हैं जो फंक्शनर होंगे लेकिन इस तथ्य के लिए कि वे आकारिकी को चारों ओर घुमाएंगे और संरचना को उल्टा कर देते हैं।हम तब एक कॉन्ट्रैवेरियनट फनक्टर f को C से D से एक मैपिंग के रूप में परिभाषित करते हैं

• प्रत्येक वस्तु को संबद्ध करता है $X$ एक वस्तु के साथ C में $F(X)$ डी में,
• प्रत्येक रूपांतरण को संबद्ध करता है $f\colon X\to Y$ एक मॉर्फिज्म के साथ सी में $F(f)\colon F(Y)\to F(X)$ डी में ऐसा है कि निम्नलिखित दो शर्तें हैं:
  • $F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!$ हर वस्तु के लिए $X$ सी में,
  • $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$ सभी रूपों के लिए $f\colon X\to Y$ और $g\colon Y\to Z$ सी।

ध्यान दें कि कॉन्ट्रैवेरिएंट फंक्शनर्स रचना की दिशा को उलटते हैं।

साधारण फंक्शनर्स को 'कोवेरिएंट फंक्शनर्स' भी कहा जाता है ताकि उन्हें कॉन्ट्रैवेरिएंट वाले से अलग किया जा सके।ध्यान दें कि कोई भी विपरीत श्रेणी में एक सहसंयोजक फ़नक्टर के रूप में एक कॉन्ट्रैवेरिएंट फंक्शनर को परिभाषित कर सकता है $C^{\mathrm {op} }$. कुछ लेखक सभी अभिव्यक्तियों को सहसंयोजक रूप से लिखना पसंद करते हैं।अर्थात् कहने के बजाय $F\colon C\to D$ एक कॉन्ट्रैवेरियनट फंक्टर है, वे बस लिखते हैं $F\colon C^{\mathrm {op} }\to D$ (या कभी -कभी $F\colon C\to D^{\mathrm {op} }$) और इसे एक फंक्शनर कहें।

कॉन्ट्रैवेरियनट फनक्रेटर्स को कभी -कभी कोफंक्टर भी कहा जाता है। एक सम्मेलन है जो वैक्टर को संदर्भित करता है -आई।, वेक्टर क्षेत्र , वर्गों के स्थान के तत्व $\Gamma (TM)$ एक स्पर्शरेखा बंडल की $TM$—एएस कॉन्ट्रैवेरियन और कोवेक्टर्स के लिए-आई। $\Gamma {\mathord {\left(T^{*}M\right)}}$ एक cotangent बंडल की $T^{*}M$—एक सहसंयोजक।यह शब्दावली भौतिकी में उत्पन्न होती है, और इसके औचित्य का आइंस्टीन योग में सूचकांकों (ऊपर और नीचे) की स्थिति के साथ करना है जैसे ${x'}^{\,i}=\Lambda _{j}^{i}x^{j}$ के लिए $\mathbf {x} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x}$ या ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_i^{}$