सतह क्षेत्र

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त्रिज्या का एक क्षेत्र r सतह क्षेत्र है 4πr²।

किसी ठोस वस्तु का पृष्ठीय क्षेत्रफल उस वस्तु के कुल क्षेत्रफल का माप होता है। घुमावदार सतहों की उपस्थिति में सतह क्षेत्र की गणितीय परिभाषा काफी हद तक एक-आयामी वक्र की चाप लंबाई की परिभाषा, या पॉलीहेड्रा के लिए सतह क्षेत्र (जैसे, सपाट बहुभुज चेहरे के साथ वस्तुओं (ऑब्जेक्ट)), की तुलना में अधिक शामिल है, जिसके लिए सतह क्षेत्र अपने चेहरे के क्षेत्रों की राशि है। चिकनी सतहों, जैसे कि एक क्षेत्र, को पैरामीट्रिक सतहों के रूप में उनके प्रतिनिधित्व का उपयोग करके सतह क्षेत्र सौंपा जाता है। सतह क्षेत्र की यह परिभाषा इन्फिनिटेसिमल कैलकुलस के तरीकों पर आधारित है और इसमें आंशिक डेरिवेटिव और दोहरी एकीकरण शामिल है।

बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में हेनरी लेब्सग और हरमन मिन्कोवस्की ने सतह क्षेत्र की सामान्य परिभाषा मांगी थी। उनके काम ने ज्यामितीय माप सिद्धांत के विकास का नेतृत्व किया, जो किसी भी आयाम की अनियमित वस्तुओं के लिए सतह क्षेत्र की विभिन्न धारणाओं का अध्ययन करता है। एक महत्वपूर्ण उदाहरण सतह की मिंकोव्स्की सामग्री है।

परिभाषा

जबकि कई सरल सतहों के क्षेत्रों को प्राचीन काल से जाना जाता है, क्षेत्र की एक कठोर गणितीय परिभाषा के लिए बहुत सावधानी की आवश्यकता है। यह एक प्रकार्य प्रदान करना चाहिए

$S\mapsto A(S)$

जो सतहों के एक निश्चित वर्ग को सकारात्मक वास्तविक संख्या प्रदान करता है, जो कई प्राकृतिक आवश्यकताओं को पूरा करता है। सतह क्षेत्र की सबसे मौलिक संपत्ति इसकी संवर्द्धकता है: _{संपूर्ण क्षेत्र का क्षेत्रफल भागों के क्षेत्रों का योग है। अधिक सख्ती से, यदि एक सतह एस (s) कई टुकड़ों एस (s)1, ..., sr जो अपनी सीमाओं को छोड़कर ओवरलैप नहीं करते हैं, तो फिर}

$A(S)=A(S_{1})+\cdots +A(S_{r}).$

सपाट बहुभुज आकार के सतही क्षेत्र उनके ज्यामितीय रूप से परिभाषित क्षेत्र से सहमत होने चाहिए। चूंकि सतह क्षेत्र एक ज्यामितीय धारणा है, इसलिए समनुरूप (कंग्रूएंट) सतहों के क्षेत्र समान होने चाहिए और क्षेत्र को केवल सतह के आकार पर निर्भर करना चाहिए, लेकिन रेखांतर में इसकी स्थिति और अभिविन्यास पर नहीं। इसका मतलब है कि सतह क्षेत्र यूक्लिडियन गति के समूह के तहत अपरिवर्तनीय है। ये गुण विशिष्ट रूप से ज्यामितीय सतहों के एक विस्तृत वर्ग के लिए सतह क्षेत्र को चित्रित करते हैं जिसे खंडशः समतल कहते हैं। इस तरह की सतहों में परिमितता से कई टुकड़े होते हैं जिन्हें पैरामीट्रिक रूप में दर्शाया जा सकता है

$S_{D}:{\vec {r}}={\vec {r}}(u,v),\quad (u,v)\in D$

लगातार अलग -अलग कार्य के साथ ${\vec {r}}.$ एक व्यक्तिगत टुकड़े का क्षेत्र सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है

$A(S_{D})=\iint _{D}\left|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right|\,du\,dv.$

इस प्रकार एस का क्षेत्र एसडी s_D सामान्य वेक्टर की लंबाई को एकीकृत करके प्राप्त किया जाता है, जो कि सामान्य सदिश की तरह होता है। ${\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}$ को उपयुक्त क्षेत्र डी (d) में उपयुक्त क्षेत्र डी (d) पर सतह के लिए एकीकृत करता है। फिर पूरी सतह का क्षेत्र सतह क्षेत्र की अतिरिक्तता का उपयोग करके टुकड़ों के क्षेत्रों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है। मुख्य सूत्र सतहों के विभिन्न वर्गों के लिए विशेषीकृत किया जा सकता है, विशेष रूप से, रेखांकन z = f (x, y) और क्रांति की सतहों के क्षेत्रों के लिए सूत्र।

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श्वार्ज लालटेन

वक्रों की चाप लंबाई की तुलना में सतह क्षेत्र के उप-शीर्षकों में से एक यह है कि सतह क्षेत्र को केवल पॉलीहेडेड आकार के क्षेत्रों की सीमा के रूप में परिभाषित नहीं किया जा सकता है। हर्मन श्वार्ज़ द्वारा यह प्रदर्शित किया गया था कि सिलेंडर के लिए पहले से ही, सपाट सतहों के लगभग अलग-अलग विकल्पों के कारण क्षेत्र के विभिन्न सीमित मूल्यों का कारण बन सकता है, इस उदाहरण को श्वार्ज लालटेन के रूप में जाना जाता है। सतह क्षेत्र की एक सामान्य परिभाषा के लिए विभिन्न दृष्टिकोण उन्नीसवीं और बीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध में हेनरी लेबेसिग और हरमन मिंकोव्स्की द्वारा विकसित किए गए थे। जबकि टुकड़े -टुकड़े समतल सतहों के लिए सतह क्षेत्र की एक अद्वितीय प्राकृतिक धारणा है, यदि कोई सतह बहुत अनियमित है, या खुरदरी है, तो यह किसी क्षेत्र को निर्धारित करना संभव नहीं हो सकता है। एक विशिष्ट उदाहरण एक सतह द्वारा दिया जाता है जिसमें कीलें एक घने कार्य प्रणाली में फैले हुए हैं। इस प्रकार की कई सतहों को आंशिक के अध्ययन में पाया जाता है। क्षेत्र की धारणा का विस्तार जो आंशिक रूप से अपने कार्य को पूरा करता है और बहुत बुरी तरह से अनियमित सतहों के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है ज्यामितीय माप सिद्धांत में अध्ययन किया जाता है। इस तरह के विस्तार का एक विशिष्ट उदाहरण सतह की मिन्कोव्स्की सामग्री है।

सामान्य सूत्र

Surface areas of common solids

Shape	Equation	Variables
घनक्षेत्र	$6s^{2}$	S = पक्ष की लंबाई
घनाभ	$2\left(lb+lh+bh\right)$	ℓ = लंबाई, बी = चौड़ाई, एच = ऊंचाई
त्रिकोणीय प्रिज्म	$bh+l\left(p+q+r\right)$	b = त्रिभुज की आधार लंबाई, h = त्रिभुज की ऊँचाई, l = त्रिभुजाकार आधारों के बीच की दूरी, p, q, r = त्रिभुज की भुजाएँ
सभी प्रिज्म	$2B+Ph$	B = आधार का क्षेत्रफल, P = आधार का परिमाप, h = ऊँचाई
वृत्त	$4\pi r^{2}=\pi d^{2}$	r = गोले की त्रिज्या, d = व्यास
गोलार्द्ध	$3\pi r^{2}$	r = अर्धगोले की त्रिज्या
अर्धगोलाकार खोल	$\pi \left(3R^{2}+r^{2}\right)$	r = गोलार्ध की बाहरी त्रिज्या।
गोलाकार लून	$2r^{2}\theta$	r = गोले की त्रिज्या, θ = द्विफलक कोण
टोरस्र्स	$\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)=4\pi ^{2}Rr$	r = अर्धगोले की आंतरिक त्रिज्या
बंद सिलेंडर	$2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r\left(r+h\right)$	r = वृत्ताकार आधार की त्रिज्या, h = बेलन की ऊँचाई
एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल	$\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}=\pi rs$	$s={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$ s = शंकु की तिरछी ऊँचाई, r = वृत्ताकार आधार की त्रिज्या, h = शंकु की ऊँचाई
एक शंकु का पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल	$\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}r\left(r+\sqrt{r^2+h^2}\right)=$