सतह क्षेत्र

त्रिज्या का एक क्षेत्र r सतह क्षेत्र है 4πr²।

किसी ठोस वस्तु का सतह क्षेत्र, उस कुल क्षेत्र का एक माप है जो वस्तु की सतह पर रहता है। घुमावदार सतहों की उपस्थिति में सतह क्षेत्र की गणितीय परिभाषा काफी हद तक एक-आयामी वक्र की चाप लंबाई की परिभाषा, या पॉलीहेड्रा के लिए सतह क्षेत्र (जैसे, सपाट बहुभुज चेहरे के साथ वस्तुओं     (ऑब्जेक्ट)), की तुलना में अधिक शामिल है, जिसके लिए सतह क्षेत्र अपने चेहरे के क्षेत्रों की राशि है। चिकनी सतहों, जैसे कि एक क्षेत्र, को पैरामीट्रिक सतहों के रूप में उनके प्रतिनिधित्व का उपयोग करके सतह क्षेत्र सौंपा जाता है। सतह क्षेत्र की यह परिभाषा इन्फिनिटेसिमल कैलकुलस के तरीकों पर आधारित है और इसमें आंशिक डेरिवेटिव और दोहरी एकीकरण शामिल है।

बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में हेनरी लेब्सग और हरमन मिन्कोवस्की ने सतह क्षेत्र की सामान्य परिभाषा मांगी थी। उनके काम ने ज्यामितीय माप सिद्धांत के विकास का नेतृत्व किया, जो किसी भी आयाम की अनियमित वस्तुओं के लिए सतह क्षेत्र की विभिन्न धारणाओं का अध्ययन करता है। एक महत्वपूर्ण उदाहरण सतह की मिंकोव्स्की सामग्री है।

परिभाषा

जबकि कई सरल सतहों के क्षेत्रों को प्राचीन काल से जाना जाता है, क्षेत्र की एक कठोर गणितीय परिभाषा के लिए बहुत सावधानी की आवश्यकता है। यह एक प्रकार्य प्रदान करना चाहिए

$S\mapsto A(S)$

जो सतहों के एक निश्चित वर्ग को सकारात्मक वास्तविक संख्या प्रदान करता है, जो कई प्राकृतिक आवश्यकताओं को पूरा करता है। सतह क्षेत्र की सबसे मौलिक संपत्ति इसकी संवर्द्धकता है: _{संपूर्ण क्षेत्र का क्षेत्रफल भागों के क्षेत्रों का योग है। अधिक सख्ती से, यदि एक सतह एस (s) कई टुकड़ों एस (s)1, ..., sr जो अपनी सीमाओं को छोड़कर ओवरलैप नहीं करते हैं, तो फिर}

$A(S)=A(S_{1})+\cdots +A(S_{r}).$

सपाट बहुभुज आकार के सतही क्षेत्र उनके ज्यामितीय रूप से परिभाषित क्षेत्र से सहमत होने चाहिए। चूंकि सतह क्षेत्र एक ज्यामितीय धारणा है, इसलिए समनुरूप (कंग्रूएंट) सतहों के क्षेत्र समान होने चाहिए और क्षेत्र को केवल सतह के आकार पर निर्भर करना चाहिए, लेकिन रेखांतर में इसकी स्थिति और अभिविन्यास पर नहीं। इसका मतलब है कि सतह क्षेत्र यूक्लिडियन गति के समूह के तहत अपरिवर्तनीय है। ये गुण विशिष्ट रूप से ज्यामितीय सतहों के एक विस्तृत वर्ग के लिए सतह क्षेत्र को चित्रित करते हैं जिसे खंडशः समतल कहते हैं। इस तरह की सतहों में परिमितता से कई टुकड़े होते हैं जिन्हें पैरामीट्रिक रूप में दर्शाया जा सकता है

$S_{D}:{\vec {r}}={\vec {r}}(u,v),\quad (u,v)\in D$

लगातार अलग -अलग कार्य के साथ ${\vec {r}}.$ एक व्यक्तिगत टुकड़े का क्षेत्र सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है

$A(S_{D})=\iint _{D}\left|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right|\,du\,dv.$

इस प्रकार एस का क्षेत्र एसडी s_D सामान्य वेक्टर की लंबाई को एकीकृत करके प्राप्त किया जाता है, जो कि सामान्य सदिश की तरह होता है। ${\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}$ को उपयुक्त क्षेत्र डी (d) में उपयुक्त क्षेत्र डी (d) पर सतह के लिए एकीकृत करता है। फिर पूरी सतह का क्षेत्र सतह क्षेत्र की अतिरिक्तता का उपयोग करके टुकड़ों के क्षेत्रों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है। मुख्य सूत्र सतहों के विभिन्न वर्गों के लिए विशेषीकृत किया जा सकता है, विशेष रूप से, रेखांकन z = f (x, y) और क्रांति की सतहों के क्षेत्रों के लिए सूत्र।

वक्रों की चाप लंबाई की तुलना में सतह क्षेत्र के उप-शीर्षकों में से एक यह है कि सतह क्षेत्र को केवल पॉलीहेडेड आकार के क्षेत्रों की सीमा के रूप में परिभाषित नहीं किया जा सकता है। हर्मन श्वार्ज़ द्वारा यह प्रदर्शित किया गया था कि सिलेंडर के लिए पहले से ही, सपाट सतहों के लगभग अलग-अलग विकल्पों के कारण क्षेत्र के विभिन्न सीमित मूल्यों का कारण बन सकता है, इस उदाहरण को श्वार्ज लालटेन के रूप में जाना जाता है। सतह क्षेत्र की एक सामान्य परिभाषा के लिए विभिन्न दृष्टिकोण उन्नीसवीं और बीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध में हेनरी लेबेसिग और हरमन मिंकोव्स्की द्वारा विकसित किए गए थे। जबकि टुकड़े -टुकड़े समतल सतहों के लिए सतह क्षेत्र की एक अद्वितीय प्राकृतिक धारणा है, यदि कोई सतह बहुत अनियमित है, या खुरदरी है, तो यह किसी क्षेत्र को निर्धारित करना संभव नहीं हो सकता है। एक विशिष्ट उदाहरण एक सतह द्वारा दिया जाता है जिसमें कीलें एक घने कार्य प्रणाली में फैले हुए हैं। इस प्रकार की कई सतहों को आंशिक के अध्ययन में पाया जाता है। क्षेत्र की धारणा का विस्तार जो आंशिक रूप से अपने कार्य को पूरा करता है और बहुत बुरी तरह से अनियमित सतहों के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है ज्यामितीय माप सिद्धांत में अध्ययन किया जाता है। इस तरह के विस्तार का एक विशिष्ट उदाहरण सतह की मिन्कोव्स्की सामग्री है

सामान्य सूत्र

Surface areas of common solids

Shape	Equation	Variables
Cube	$6s^{2}$	s = side length
Cuboid	$2\left(lb+lh+bh\right)$	ℓ = length, b = breadth, h = height
Triangular prism	$bh+l\left(p+q+r\right)$	b = base length of triangle, h = height of triangle, l = distance between triangular bases, p, q, r = sides of triangle
All prisms	$2B+Ph$	B = the area of one base, P = the perimeter of one base, h = height
Sphere	$4\pi r^{2}=\pi d^{2}$	r = radius of sphere, d = diameter
Hemisphere	$3\pi r^{2}$	r = radius of the hemisphere
Hemispherical Shell	$\pi \left(3R^{2}+r^{2}\right)$	R = External radius of hemisphere. r = Internal radius of hemisphere.
Spherical lune	$2r^{2}\theta$	r = radius of sphere, θ = dihedral angle
Torus	$\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)=4\pi ^{2}Rr$	r = minor radius (radius of the tube), R = major radius (distance from center of tube to center of torus)
Closed cylinder	$2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r\left(r+h\right)$	r = radius of the circular base, h = height of the cylinder
Curved surface area of a cone	$\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}=\pi rs$	$s={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$ s = slant height of the cone, r = radius of the circular base, h = height of the cone
Full surface area of a cone	$\pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)=\pi r\left(r+s\right)$	s = slant height of the cone, r = radius of the circular base, h = height of the cone
Pyramid	$B+{\frac {PL}{2}}$	B = area of base, P = perimeter of base, L = slant height
Square pyramid	$b^{2}+2bs=b^{2}+2b{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}$	b = base length, s = slant height, h = vertical height
Rectangular pyramid	$lb+l{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}+b{\sqrt {\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}$	ℓ = length, b = breadth, h = height
Tetrahedron	${\sqrt {3}}a^{2}$	a = side length
Surface of revolution	$2\pi \int _{a}^{b}{f(x){\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}dx}$
Parametric surface	$\iint _{D}\left\vert {\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right\vert dA$	${\vec {r}}$ = parametric vector equation of surface ${\vec {r}}_{u}$ = partial derivative of ${\vec {r}}$ with respect to $u$ ${\vec {r}}_{v}$ = partial derivative of ${\vec {r}}$ with respect to $v$ $D$ = shadow region

एक क्षेत्र के सतह क्षेत्रों का अनुपात और एक ही त्रिज्या और ऊंचाई के सिलेंडर

File:Inscribed cone sphere cylinder.svg

एक शंकु, गोलाकार और त्रिज्या आर और ऊंचाई का सिलेंडर एच।

नीचे दिए गए सूत्रों का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि एक ही त्रिज्या और ऊंचाई के एक क्षेत्र और सिलेंडर के सतह क्षेत्र 2: 3 के अनुपात में हैं।

त्रिज्या को r होने दें और ऊंचाई H (जो कि गोले के लिए 2'r 'है) हो।

$${\begin{array}{rlll}{\text{Sphere surface area}}&=4\pi r^{2}&&=(2\pi r^{2})\times 2\\{\text{Cylinder surface area}}&=2\pi r(h+r)&=2\pi r(2r+r)&=(2\pi r^{2})\times 3\end{array}}$$

इस अनुपात की खोज को आर्किमिडीज को श्रेय दिया जाता है।

रसायन विज्ञान में

File:Surface area.svg

विभिन्न आकारों के कणों का सतह क्षेत्र।

रासायनिक गतिकी में सतह क्षेत्र महत्वपूर्ण है। किसी पदार्थ के सतह क्षेत्र को बढ़ाना आम तौर पर रासायनिक प्रतिक्रिया की दर को बढ़ाता है। उदाहरण के लिए, एक अच्छे चूर्ण में लोहे का दहन होगा, जबकि ठोस ब्लॉकों में यह संरचनाओं में उपयोग करने के लिए पर्याप्त स्थिर है। विभिन्न अनुप्रयोगों के लिए न्यूनतम या अधिकतम सतह क्षेत्र वांछित हो सकता है।

जीव विज्ञान में

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माइटोकॉन्ड्रियन के आंतरिक झिल्ली में इन्फोल्डिंग के कारण एक बड़ा सतह क्षेत्र होता है, जिससे सेलुलर श्वसन (इलेक्ट्रॉन माइक्रोग्राफ) की उच्च दर की अनुमति मिलती है।

एक जीव का सतह क्षेत्र कई विचारों में महत्वपूर्ण है, जैसे कि शरीर के तापमान और पाचन का विनियमन।जानवर अपने दांतों का उपयोग भोजन को छोटे कणों में पीसने के लिए करते हैं, जिससे पाचन के लिए उपलब्ध सतह क्षेत्र में वृद्धि होती है।पाचन तंत्र को अस्तर करने वाले उपकला ऊतक में माइक्रोविल्ली होता है, जो अवशोषण के लिए उपलब्ध क्षेत्र को बहुत बढ़ाता है।हाथियों के कान बड़े होते हैं, जिससे वे अपने शरीर के तापमान को विनियमित कर सकते हैं।अन्य उदाहरणों में, जानवरों को सतह क्षेत्र को कम करने की आवश्यकता होगी;उदाहरण के लिए, लोग गर्मी के नुकसान को कम करने के लिए ठंड होने पर अपनी छाती पर अपनी बाहों को मोड़ेंगे।

एक सेल की सतह क्षेत्र से वॉल्यूम अनुपात (SA: v) आकार पर ऊपरी सीमाएं लगाती है, क्योंकि वॉल्यूम सतह क्षेत्र की तुलना में बहुत तेजी से बढ़ता है, इस प्रकार उस दर को सीमित करता है जिस पर कोशिका झिल्ली में आंतरिक से अंतरालीय रिक्त स्थान तक फैलते हैं।या अन्य कोशिकाओं के लिए।वास्तव में, त्रिज्या के एक आदर्श क्षेत्र के रूप में एक कोशिका का प्रतिनिधित्व करना r, मात्रा और सतह क्षेत्र क्रमशः हैं, V = (4/3)πr³ तथा SA = 4πr²।इसलिए वॉल्यूम अनुपात के लिए सतह क्षेत्र इसलिए है 3/r।इस प्रकार, यदि किसी सेल में 1 माइक्रोन का त्रिज्या है, तो SA: V अनुपात 3 है;जबकि यदि सेल का त्रिज्या 10 माइक्रोन के बजाय है, तो SA: V अनुपात 0.3 हो जाता है।100 के सेल त्रिज्या के साथ, SA: V अनुपात 0.03 है।इस प्रकार, सतह का क्षेत्र बढ़ती मात्रा के साथ बहुत दूर गिर जाता है।

यह भी देखें

• परिधि लंबाई
• अनुमानित क्षेत्र
• शर्त सिद्धांत, सामग्री की विशिष्ट सतह क्षेत्र के माप के लिए तकनीक
• गोलाकार क्षेत्र
• सतह अभिन्न

संदर्भ

• Yu.D. Burago; V.A. Zalgaller; L.D. Kudryavtsev (2001) [1994], "Area", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

बाहरी संबंध

• Surface Area Video at Thinkwell