अनुकूल माध्य

गणित में, अनुकूल माध्य औसत के कई प्रकारों में से एक है, और विशेष रूप से, पायथागॉरियन माध्यों में से एक है। यह कभी-कभी परिस्थितियों के लिए उपयुक्त होता है जब औसत दर (गणित) वांछित है।

अनुकूल माध्य को प्रेक्षणों के दिए गए समुच्चय के व्युत्क्रम के समान्तर माध्य के गुणक व्युत्क्रम के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। एक साधारण उदाहरण के रूप में, 1, 4 और 4 का अनुकूल माध्य है

$\left({\frac {1^{-1}+4^{-1}+4^{-1}}{3}}\right)^{-1}={\frac {3}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}}}={\frac {3}{1.5}}=2\,.$

परिभाषा

धनात्मक वास्तविक संख्याओं का अनुकूल माध्य H $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$H={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {n}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}=\left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{-1}}{n}}\right)^{-1}.$

उपरोक्त समीकरण में तीसरा सूत्र अनुकूल माध्य को व्युत्क्रम के समान्तर माध्य के व्युत्क्रम के रूप में व्यक्त करता है।

निम्नलिखित सूत्र से:

$H={\frac {n\cdot \prod \limits _{j=1}^{n}x_{j}}{\sum \limits _{i=1}^{n}\left\{{\frac {1}{x_{i}}}{\prod \limits _{j=1}^{n}x_{j}}\right\}}}.$

यह स्पष्ट है कि अनुकूल माध्य समान्तर माध्य और गुणोत्तर माध्य से संबंधित है। यह धनात्मक आदानों के लिए समान्तर माध्य का पारस्परिक द्वैतता (गणित) है:

$1/H(1/x_{1}\ldots 1/x_{n})=A(x_{1}\ldots x_{n})$

अनुकूल माध्य एक शूर-अवतल फलन है, और इसके न्यूनतम तर्कों का वर्चस्व है, इस अर्थ में कि तर्कों के किसी भी धनात्मक समुच्यय के लिए, $\min(x_{1}\ldots x_{n})\leq H(x_{1}\ldots x_{n})\leq n\min(x_{1}\ldots x_{n})$. इस प्रकार, अनुकूल माध्य को कुछ मानों को बड़े मानों में बदलकर अक्रमतः बड़ा नहीं बनाया जा सकता है (कम से कम एक मान अपरिवर्तित होने पर)।

अनुकूल माध्य अवतल फलन भी है, जो शूर-अवतलता से भी अधिक प्रबल गुण है। चूंकि केवल धनात्मक संख्याओं का उपयोग करने के लिए ध्यान रखना होगा, क्योंकि ऋणात्मक मानों का उपयोग किए जाने पर माध्य अवतल होने में विफल रहता है।

अन्य माध्य से संबंध

अनुकूल माध्य तीन पायथागॉरियन माध्य में से एक है। सभी धनात्मक डेटा समुच्यय के लिए कम से कम एक जोड़ी (नॉन इक्वल) गैर-बराबर मान, अनुकूल माध्य हमेशा तीन माध्य में से कम से कम होता है, जबकि समान्तर माध्य हमेशा तीनों में से सबसे बड़ा होता है और ज्यामितीय माध्य हमेशा बीच में होता है। (यदि एक गैर-खाली डेटासेट में सभी मान समान हैं, तो तीन माध्य हमेशा एक दूसरे के बराबर होते हैं, उदाहरण के लिए, {2, 2, 2} के अनुकूल, ज्यामितीय और अंकगणितीय माध्य सभी 2 हैं।)

यह विशेष स्थिति M₋₁ सामान्यीकृत माध्य:

$H\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=M_{-1}\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)={\frac {n}{x_{1}^{-1}+x_{2}^{-1}+\cdots +x_{n}^{-1}}}$

चूंकि संख्याओं की सूची का अनुकूल माध्य सूची के कम से कम तत्वों की ओर दृढ़ता से झुकता है, यह बड़े आउटलेयर के प्रभाव को कम करने और छोटे के प्रभाव को बढ़ाने के लिए (अंकगणित माध्य की तुलना में) जाता है।

समान्तर माध्य अधिकांशतः गलती से अनुकूल माध्य के लिए कॉल करने वाले स्थानों में उपयोग किया जाता है। गति के उदाहरण के लिए, 40 का समान्तर माध्य गलत है, और बहुत बड़ा है।

अनुकूल माध्य अन्य पायथागॉरियन माध्य से संबंधित है, जैसा कि नीचे दिए गए समीकरण में देखा गया है। इसे भाजक की व्याख्या n बार संख्याओं के गुणनफल के समान्तर माध्य के रूप में करके देखा जा सकता है, लेकिन हर बार j-वें पद को छोड़ दिया जाता है। अर्थात्, पहले पद के लिए, हम पहले को छोड़कर सभी n संख्याओं को गुणा करते हैं, दूसरे के लिए, हम दूसरे को छोड़कर सभी n संख्याओं को गुणा करते हैं, और इसी तरह अंश, n को छोड़कर, जो समान्तर माध्य के साथ जाता है, घात n का ज्यामितीय माध्य है। इस प्रकार n-th अनुकूल माध्य n-th ज्यामितीय और अंकगणितीय माध्य से संबंधित है। सामान्य सूत्र है

$H\left(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)=\frac{{\left(G\left(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)\right)}^n}{A(}$