अनुकूल माध्य

गणित में, हार्मोनिक माध्य औसत के कई प्रकारों में से एक है, और विशेष रूप से, पायथागॉरियन माध्यों में से एक है। यह कभी-कभी परिस्थितियों के लिए उपयुक्त होता है जब औसत दर (गणित) वांछित है।

हार्मोनिक माध्य को प्रेक्षणों के दिए गए समुच्चय के व्युत्क्रम के अंकगणितीय माध्य के गुणक व्युत्क्रम के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। एक साधारण उदाहरण के रूप में, 1, 4 और 4 का हार्मोनिक माध्य है

$\left({\frac {1^{-1}+4^{-1}+4^{-1}}{3}}\right)^{-1}={\frac {3}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}}}={\frac {3}{1.5}}=2\,.$

परिभाषा

धनात्मक वास्तविक संख्याओं का हार्मोनिक माध्य H $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ होना परिभाषित किया गया है

$H={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {n}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}=\left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{-1}}{n}}\right)^{-1}.$

उपरोक्त समीकरण में तीसरा सूत्र हार्मोनिक माध्य को व्युत्क्रम के अंकगणितीय माध्य के व्युत्क्रम के रूप में व्यक्त करता है।

निम्नलिखित सूत्र से:

$H={\frac {n\cdot \prod \limits _{j=1}^{n}x_{j}}{\sum \limits _{i=1}^{n}\left\{{\frac {1}{x_{i}}}{\prod \limits _{j=1}^{n}x_{j}}\right\}}}.$

यह अधिक स्पष्ट है कि हार्मोनिक माध्य अंकगणितीय माध्य और ज्यामितीय साधनों से संबंधित है। यह सकारात्मक आदानों के लिए अंकगणितीय माध्य का पारस्परिक दोहरा (गणित) है:

$1/H(1/x_{1}\ldots 1/x_{n})=A(x_{1}\ldots x_{n})$

हार्मोनिक माध्य एक शूर-अवतल कार्य है, और इसके न्यूनतम तर्कों का वर्चस्व है, इस अर्थ में कि तर्कों के किसी भी सकारात्मक सेट के लिए, $\min(x_{1}\ldots x_{n})\leq H(x_{1}\ldots x_{n})\leq n\min(x_{1}\ldots x_{n})$. इस प्रकार, हार्मोनिक माध्य को कुछ मानों को बड़े मानों में बदलकर मनमाने ढंग से बड़ा नहीं बनाया जा सकता है (कम से कम एक मान अपरिवर्तित होने पर)।

हार्मोनिक माध्य अवतल फलन भी है, जो शूर-अवतलता से भी अधिक प्रबल गुण है। हालांकि केवल सकारात्मक संख्याओं का उपयोग करने के लिए ध्यान रखना होगा, क्योंकि ऋणात्मक मानों का उपयोग किए जाने पर माध्य अवतल होने में विफल रहता है।

अन्य साधनों से संबंध

File:QM AM GM HM inequality visual proof.svg

Geometric proof without words that max (a,b) > root mean square (RMS) or quadratic mean (QM) > arithmetic mean (AM) > geometric mean (GM) > harmonic mean (HM) > min (a,b) of two distinct positive numbers a and b

हार्मोनिक माध्य तीन पायथागॉरियन साधनों में से एक है। सभी सकारात्मक डेटा सेटों के लिए कम से कम एक जोड़ी गैर-बराबर मान, हार्मोनिक माध्य हमेशा तीन साधनों में से कम से कम होता है, जबकि अंकगणितीय माध्य हमेशा तीनों में से सबसे बड़ा होता है और ज्यामितीय माध्य हमेशा बीच में होता है। (यदि एक गैर-खाली डेटासेट में सभी मान समान हैं, तो तीन साधन हमेशा एक दूसरे के बराबर होते हैं; उदाहरण के लिए, {2, 2, 2} के हार्मोनिक, ज्यामितीय और अंकगणितीय साधन सभी 2 हैं।)

यह विशेष मामला एम₋₁ शक्ति का मतलब:

$H\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=M_{-1}\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)={\frac {n}{x_{1}^{-1}+x_{2}^{-1}+\cdots +x_{n}^{-1}}}$

चूंकि संख्याओं की सूची का हार्मोनिक माध्य सूची के कम से कम तत्वों की ओर दृढ़ता से झुकता है, यह बड़े आउटलेयर के प्रभाव को कम करने और छोटे लोगों के प्रभाव को बढ़ाने के लिए (अंकगणित माध्य की तुलना में) जाता है।

अंकगणितीय माध्य अक्सर गलती से हार्मोनिक माध्य के लिए कॉल करने वाले स्थानों में उपयोग किया जाता है। गति के उदाहरण #Examples उदाहरण के लिए, 40 का अंकगणितीय माध्य गलत है, और बहुत बड़ा है।

हार्मोनिक माध्य अन्य पायथागॉरियन साधनों से संबंधित है, जैसा कि नीचे दिए गए समीकरण में देखा गया है। इसे भाजक की व्याख्या n बार संख्याओं के गुणनफल के अंकगणितीय माध्य के रूप में करके देखा जा सकता है, लेकिन हर बार j-वें पद को छोड़ दिया जाता है। अर्थात्, पहले पद के लिए, हम पहले को छोड़कर सभी n संख्याओं को गुणा करते हैं; दूसरे के लिए, हम दूसरे को छोड़कर सभी n संख्याओं को गुणा करते हैं; और इसी तरह। अंश, n को छोड़कर, जो अंकगणितीय माध्य के साथ जाता है, घात n का ज्यामितीय माध्य है। इस प्रकार एन-वें हार्मोनिक माध्य एन-वें ज्यामितीय और अंकगणितीय साधनों से संबंधित है। सामान्य सूत्र है

$H\left(x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\right)=$