गणितीय भ्रांति

"अमान्य प्रमाण" redirects here. For गणित के अतिरिक्त किसी भी प्रकार का अमान्य प्रमाण, see हेत्वाभास.

"0 = 1" redirects here. For the algebraic structure where this equality holds, see Null ring.

गणित में, कुछ प्रकार के गलत प्रमाण अक्सर प्रदर्शित किए जाते हैं, और कभी-कभी एकत्र किए जाते हैं, गणितीय भ्रम नामक अवधारणा के चित्रण के रूप में। एक प्रमाण में एक साधारण गलती और एक गणितीय त्रुटि के बीच एक अंतर है, जिसमें एक सबूत में एक गलती एक अमान्य सबूत की ओर ले जाती है, जबकि गणितीय भ्रम के सबसे प्रसिद्ध उदाहरणों में प्रस्तुति में छिपाने या धोखे का कुछ तत्व होता है सबूत।

उदाहरण के लिए, वैधता विफल होने का कारण शून्य से विभाजन को जिम्मेदार ठहराया जा सकता है जो बीजगणितीय संकेतन द्वारा छिपा हुआ है। गणितीय भ्रांति का एक निश्चित गुण है: जैसा कि सामान्यतः प्रस्तुत किया जाता है, यह न केवल एक बेतुके परिणाम की ओर ले जाता है, बल्कि एक चालाक या चतुर तरीके से ऐसा करता है। इसलिए, ये भ्रांतियां, शैक्षणिक कारणों से, सामान्यतः स्पष्ट विरोधाभासों के मिथ्या गणितीय प्रमाण का रूप ले लेती हैं। हालांकि प्रमाण त्रुटिपूर्ण हैं, त्रुटियां, सामान्यतः चित्र द्वारा, तुलनात्मक रूप से सूक्ष्म होती हैं, या यह दिखाने के लिए चित्र  की जाती हैं कि कुछ चरण सशर्त हैं, और उन स्थितियों में लागू नहीं होते हैं जो नियमों के अपवाद हैं।

गणितीय भ्रांति को प्रस्तुत करने का पारंपरिक तरीका वैध चरणों के साथ मिश्रित कटौती का एक अमान्य चरण देना है, ताकि भ्रांति का अर्थ यहाँ तार्किक भ्रांति से थोड़ा अलग हो। उत्तरार्द्ध सामान्यतः तर्क के एक रूप पर लागू होता है जो तर्क के वैध निष्कर्ष नियमों का पालन नहीं करता है, जबकि समस्याग्रस्त गणितीय चरण आमतौर पर एक गलत गलत धारणा के साथ लागू एक सही नियम है। अध्यापन से परे, एक भ्रम के संकल्प से एक विषय में गहरी अंतर्दृष्टि हो सकती है (उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन ज्यामिति के पास्च के स्वयंसिद्ध का परिचय, ग्राफ सिद्धांत के पांच रंग प्रमेय)। स्यूडरिया, झूठे प्रमाण की एक प्राचीन खोई हुई किताब है, जिसका श्रेय यूक्लिड को दिया जाता है। गणित की कई शाखाओं में गणितीय भ्रांतियां मौजूद हैं। प्रारंभिक बीजगणित में, विशिष्ट उदाहरणों में एक चरण शामिल हो सकता है जहां शून्य से विभाजन किया जाता है, जहां फलन की जड़ गलत तरीके से निकाली जाती है या अधिक सामान्यतः जहां एक से अधिक मूल्यवान फलन के विभिन्न मान समान होते हैं। प्रारंभिक यूक्लिडियन ज्यामिति और गणना में प्रसिद्ध भ्रम भी मौजूद हैं।

हाउलर्स

${\begin{array}{l}\;\;\;{\dfrac {d}{dx}}{\dfrac {1}{x}}\\={\dfrac {d}{d}}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\={\dfrac {d\!\!\!\backslash }{d\!\!\!\backslash }}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\=-{\dfrac {1}{x^{2}}}\end{array}}$

Anomalous cancellation in calculus

तर्क की गलत पंक्तियों द्वारा व्युत्पन्न गणितीय रूप से सही परिणामों के उदाहरण मौजूद हैं। इस तरह का एक तर्क, चूंकि निष्कर्ष सत्य प्रतीत होता है, गणितीय रूप से वैधता (तर्क) है और इसे सामान्यतः हाउलर के रूप में जाना जाता है। निम्नलिखित असंगत निरस्तीकरण से जुड़े हाउलर का एक उदाहरण है:

$${\frac {16}{64}}={\frac {16\!\!\!/}{6\!\!\!/4}}={\frac {1}{4}}.$$

यहाँ, चूंकि निष्कर्ष 16/64 = 1/4 सही है, मध्य चरण में एक भ्रामक, अमान्य रद्दीकरण है।। हाउलर का एक और शास्त्रीय उदाहरण केली-हैमिल्टन प्रमेय एक गलत प्रमाण है: p(A) = det(AIn − A) = det(A − A) = 0|केली-हैमिल्टन प्रमेय को केवल स्केलर चरों को प्रतिस्थापित करके सिद्ध करना मैट्रिक्स द्वारा विशेषता बहुपद है।

गलत तर्क या संचालन के बावजूद सही परिणाम उत्पन्न करने के लिए बनाए गए गलत प्रमाण, गणना या व्युत्पत्ति को मैक्सवेल द्वारा हाउलर करार दिया गया था।गणित के क्षेत्र के बाहर हाउलर शब्द के विभिन्न अर्थ हैं, सामान्यतः कम विशिष्ट।

शून्य से भाग

शून्य द्वारा विभाजन|विभाजन-दर-शून्य भ्रम के कई रूप हैं। निम्न उदाहरण 2 = 1 को प्रमाण करने के लिए शून्य से छिपे हुए विभाजन का उपयोग करता है, लेकिन यह प्रमाण करने के लिए संशोधित किया जा सकता है कि कोई भी संख्या किसी अन्य संख्या के बराबर है।

1. मान लीजिए a और b बराबर, अशून्य मात्राएँ हैं

   $a=b$

2. ए से गुणा करें

   $a^{2}=ab$

3. बी घटाएं^{2</उप> #:$a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}$दोनों पक्षों का गुणनखंडन:}
4. दोनों पक्षों का गुणनखंड करें: वर्गों के अंतर के रूप में बायां गुणनखंड, दोनों पदों से b निकालने के द्वारा दायां गुणनखंड किया जाता है

   $(a-b)(a+b)=b(a-b)$

5. विभाजित करें (ए - बी)

   $a+b=b$

6. इस तथ्य का प्रयोग करें कि ए = बी

   $b+b=b$

7. बाईं ओर समान पदों को संयोजित करें

   $2b=b$

8. अशून्य ख से विभाजित करें

   $2=1$

Q.E.D.

भ्रम पंक्ति 5 में है: पंक्ति 4 से पंक्ति 5 तक की प्रगति में a − b द्वारा विभाजन शामिल है, जो a = b के बाद से शून्य है। चूंकि शून्य से विभाजन अपरिभाषित है, तर्क अमान्य है।

विश्लेषण

गणितीय विश्लेषण परिवर्तन और एक फलन की सीमा के गणितीय अध्ययन के रूप में गणितीय भ्रांतियों को जन्म दे सकता है - यदि अभिन्न और अवकलन (गणित) के गुणों की उपेक्षा की जाती है। उदाहरण के लिए, भागों द्वारा एकीकरण का एक सरल उपयोग गलत प्रमाण देने के लिए किया जा सकता है कि 0 = 1। यू =1/log x और डीवी =dx/x, हम लिख सकते हैं:

$\int {\frac {1}{x\,\log x}}\,dx=1+\int {\frac {1}{x\,\log x}}\,dx$

जिसके बाद एंटीडेरिवेटिव्स को 0 = 1 उत्पन्न करने के लिए रद्द किया जा सकता है। समस्या यह है कि एंटीडेरिवेटिव्स को केवल एक लगातार कार्य तक परिभाषित किया जाता है और उन्हें 1 या वास्तव में किसी भी संख्या में स्थानांतरित करने की अनुमति है। त्रुटि वास्तव में तब सामने आती है जब हम मनमाना एकीकरण सीमा ए और बी पेश करते हैं।

$\int _{a}^{b}{\frac {1}{x\,\log x}}\,dx=1|_{a}^{b}+\int _{a}^{b}{\frac {1}{x\,\log x}}\,dx=0+\int _{a}^{b}{\frac {1}{x\log x}}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {1}{x\log x}}\,dx$

चूँकि एक नियत फलन के दो मानों के बीच का अंतर लुप्त हो जाता है, समीकरण के दोनों ओर एक ही निश्चित समाकल प्रकट होता है

बहुविकल्पीय कार्य

Main article: बहुविकल्पी समारोह

कई कार्यों में एक अद्वितीय उलटा कार्य नहीं होता है। उदाहरण के लिए, जबकि किसी संख्या का वर्ग करना एक विशिष्ट मान देता है, एक धनात्मक संख्या के दो संभावित वर्गमूल होते हैं। वर्गमूल बहुविकल्पीय फलन है। एक मूल्य को परिपाटी द्वारा प्रमुख मूल्य के रूप में चुना जा सकता है; वर्गमूल के मामले में गैर-ऋणात्मक मान मुख्य मान होता है, लेकिन इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि किसी संख्या के वर्ग के मूल मान के रूप में दिया गया वर्गमूल मूल संख्या के बराबर होगा (उदाहरण के लिए मुख्य वर्गमूल) -2 का वर्ग 2 है)। यह nवें मूल के लिए सत्य रहता है।

सकारात्मक और नकारात्मक जड़ें

एक समानता (गणित) के दोनों पक्षों का वर्गमूल निकालते समय सावधानी बरतनी चाहिए। ऐसा करने में विफल होने के परिणामस्वरूप इसका प्रमाण मिलता है 5 = 4।

सबूत:

से शुरु करें

$-20=-20$

इसे ऐसे लिखें

$25-45=16-36$

के रूप में फिर से लिखें

$5^2-<!--\; -\; -->5\times <!--\; \times \; -->9=4^2-<!--\; -\; -->4\times <!--\; \times \; -->9$