अभिन्न समीकरण

For equations of integer unknowns, see Diophantine equation.

गणित में, समाकल समीकरण वे समीकरण होते हैं जिनमें एक अज्ञात फलन एक समाकल चिन्ह के अंतर्गत आता है। गणितीय संकेतन में, समाकल समीकरणों को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

$$f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n};u(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n});I^{1}(u),I^{2}(u),I^{3}(u),...,I^{m}(u))=0$$

जहां $I^{i}(u)$ आप पर अभिनय करने वाला एक अभिन्न संकारक है। इसलिए, अभिन्न समीकरणों को अवकल समीकरणों के अनुरूप के रूप में देखा जा सकता है जहां डेरिवेटिव वाले समीकरण के बजाय, समीकरण में अभिन्न शामिल हैं। उपरोक्त सामान्य अभिन्न समीकरण के गणितीय रूप के साथ एक प्रत्यक्ष तुलना को एक अंतर समीकरण के सामान्य रूप के साथ देखा जा सकता है जिसे निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

$$f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n};u(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n});D^{1}(u),D^{2}(u),D^{3}(u),...,D^{m}(u))=0$$

जहां $D^{i}(u)$ को ऑर्डर i के डिफरेंशियल ऑपरेटर के रूप में देखा जा सकता है। डिफरेंशियल और इंटीग्रल समीकरणों के बीच इस घनिष्ठ संबंध के कारण, कोई भी अक्सर दोनों के बीच रूपांतरण कर सकता है। उदाहरण के लिए, एक सीमा मूल्य समस्या को हल करने का एक तरीका अंतर समीकरण को इसकी सीमा शर्तों के साथ एक अभिन्न समीकरण में परिवर्तित करके और अभिन्न समीकरण को हल करना है। इसके अलावा, क्योंकि कोई भी दोनों के बीच रूपांतरण कर सकता है, मैक्सवेल के समीकरणों जैसे भौतिक विज्ञान में अंतर समीकरणों में अक्सर एक एनालॉग इंटीग्रल और डिफरेंशियल फॉर्म होता है। यह भी देखें, उदाहरण के लिए, ग्रीन का कार्य और फ्रेडहोम सिद्धांत।

वर्गीकरण और सिंहावलोकन

समाकल समीकरणों के लिए विभिन्न वर्गीकरण पद्धतियां मौजूद हैं। कुछ मानक वर्गीकरणों में रेखीय और अरैखिक के बीच अंतर शामिल हैं; सजातीय और अमानवीय; फ़्रेडहोल्म और वोल्टेरा; पहला ऑर्डर, दूसरा ऑर्डर और तीसरा ऑर्डर; और एकवचन और नियमित समाकल समीकरण। ये अंतर आम तौर पर कुछ मौलिक संपत्ति पर आधारित होते हैं जैसे समीकरण की रैखिकता या समीकरण की एकरूपता पर विचार करना। इन टिप्पणियों को निम्नलिखित परिभाषाओं और उदाहरणों के माध्यम से ठोस बनाया गया है:

रैखिकता

रेखीय: एक समाकल समीकरण रेखीय होता है यदि अज्ञात फलन u(x) और इसके समाकल समीकरण में रैखिक दिखाई देते हैं। इसलिए, एक रैखिक समीकरण का एक उदाहरण होगा:

$$u(x)=f(x)+\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}K(x,t)\cdot u(t)dt$$

नामकरण परिपाटी पर एक नोट के रूप में: i) u(x) को अज्ञात फ़ंक्शन कहा जाता है, ii) f(x) को ज्ञात फ़ंक्शन कहा जाता है, iii) K(x,t) दो चरों का एक फलन है और इसे अक्सर कर्नेल फलन कहा जाता है, और iv) λ एक अज्ञात कारक या प्राचल है, जो रैखिक बीजगणित में आइगेनमान के समान भूमिका निभाता है।

अरैखिक: एक समाकल समीकरण अरैखिक होता है यदि अज्ञात फलन u(x) या इसका कोई भी समाकल समीकरण में अरैखिक दिखाई देता है। इसलिए, यदि हम u(t) को $u^{2}(x),\,\,cos(u(x)),\,{\text{or }}\,e^{u(x)}$ से प्रतिस्थापित करते हैं, तो गैर-रैखिक समीकरणों के उदाहरण ऊपर दिए गए समीकरण होंगे, जैसे:

$$u(x)=f(x)+\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}K(x,t)\cdot u^{2}(t)dt$$

कुछ प्रकार के गैर-रैखिक अभिन्न समीकरणों के विशिष्ट नाम होते हैं। ऐसे समीकरणों का एक चयन है:

• दूसरे प्रकार के अरैखिक वोल्टेरा अभिन्न समीकरण जिनका सामान्य रूप है: $u(x)=f(x)+$