घातीय ऑब्जेक्ट

"घातीय वस्तु" redirects here. For टोपोस सिद्धांत में घातीय वस्तु, see टोपोस.

गणित में, विशेष रूप से श्रेणी सिद्धांत में, एक घातीय वस्तु या मानचित्र वस्तु सेट सिद्धांत में एक कार्य स्थान का श्रेणीबद्ध सामान्यीकरण है। सभी परिमित उत्पादों और घातीय वस्तुओं वाली श्रेणियों को कार्तीय बंद श्रेणियां कहा जाता है। संलग्न उत्पादों के बिना श्रेणियाँ (जैसे शीर्ष की उपश्रेणियाँ) अभी भी एक घातीय नियम हो सकती हैं।

परिभाषा

मान लीजिये $\mathbf {C}$ एक श्रेणी हो, और $Z$ तथा $Y$ $\mathbf {C}$ की वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) हो, और $\mathbf {C}$ के पास $Y$ के साथ सभी बाइनरी उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) हैं. एक वस्तु ${\textstyle Z^{Y}}$ एक साथ एक आकारिकी के साथ ${\textstyle \mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\to Z}$ किसी भी वस्तु के लिए एक चरघातीय वस्तु है किसी वस्तु के लिये $X$ और ${\textstyle g\colon X\times Y\to Z}$ एक अद्वितीय आकारिकी ${\textstyle \lambda g\colon X\to Z^{Y}}$ (का स्थानांतरण कहा जाता है $g$) है, जैसे कि निम्न आरेख क्रमविनिमेय आरेख में बदलना:

प्रत्येक $g$ के लिए एक अद्वितीय $\lambda g$ का यह कार्य होम-सेट का एक समरूपता (आक्षेप) ${\textstyle \mathrm {Hom} (X\times Y,Z)\cong \mathrm {Hom} (X,Z^{Y})}$ को स्थापित करता है

यदि ${\textstyle Z^{Y}}$सभी वस्तुओं के लिए उपस्थित है $Z,Y$ में $\mathbf {C}$, फिर गुणन $(-)^{Y}\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C}$ द्वारा वस्तुओं पर परिभाषित $Z\mapsto Z^{Y}$ और तीर पर $(f\colon X\to Z)\mapsto (f^{Y}\colon X^{Y}\to Z^{Y})$, उत्पाद फ़ंक्टर के लिए एक सही आसन्न है $-\times Y$. इस कारण से, आकारिकी $\lambda g$ तथा $g$ कभी-कभी एक दूसरे के चरघातांकी संलग्नक कहलाते हैं।

समान परिभाषा

वैकल्पिक रूप से, घातीय वस्तु को समीकरणों के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है:

• $\lambda g$ की उपस्थितगी के अस्तित्व की आश्वस्त संचालन $\lambda -$ के मौजूद होने से मिलती है।
• उपरोक्त आरेखों की क्रमविनिमेयता समानता $\forall g\colon X\times Y\to Z,\ \mathrm {eval} \circ (\lambda g\times \mathrm {id} _{Y})=g$ द्वारा आश्वस्तकृत है।
• $\lambda g$ की विशिष्टता की आश्वस्त समानता $\forall h\colon X\to Z^{Y},\ \lambda (\mathrm {eval} \circ (h\times \mathrm {id} _{Y}))=h$. द्वारा दी जाती है।

सार्वभौमिक संपत्ति

घातीय $Z^{Y}$ उत्पाद प्रकार्यक से एक सार्वभौमिक आकारिकी $-\times Y$ वस्तु को $Z$ द्वारा दिया गया है. इस सार्वभौमिक रूपवाद में एक वस्तु $Z^{Y}$और एक रूपवाद ${\textstyle \mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\to Z}$ होती है.

उदाहरण

सेट की श्रेणी में, एक घातीय वस्तु $Z^{Y}$ सभी कार्यों (गणित) का सेट $Y\to Z$ है. नक्शा $\mathrm {eval} \colon (Z^{Y}\times Y)\to Z$ केवल वह लागू होता है, जो जोड़ी $($