घातांक

"प्रतिपादक" redirects here. For other uses, see प्रतिपादक (disambiguation).

bn
अंकन पद्धति
आधार b तथा प्रतिपादक n

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के रेखांकन y = b^x विभिन्न आधारों के लिए b:   base 10,   base e,   base 2,   base 1/2. प्रत्येक वक्र बिंदु से होकर गुजरता है (0, 1) क्योंकि कोई भी शून्येतर संख्या 0 की घात 1 होती है x = 1, y का मान आधार के बराबर होता है क्योंकि 1 की घात तक बढ़ाई गई कोई भी संख्या स्वयं संख्या होती है।

घातांक एक गणित प्रवर्तन(गणित) है, जिसे bⁿ लिखा जाता है, इसमें दो संख्याएँ, आधार b और प्रतिपादक या घात n सम्मिलित हैं, और "b(उठाया गया) से(की घात) n" के रूप में उच्चारित किया जाता है। [1] जब n एक सकारात्मक पूर्णांक होता है, तो घातांक आधार के बार-बार गुणन के अनुरूप होता है: अर्थात, bn n आधारों को गुणा करने का गुणनफल होता है

$$b^{n}=\underbrace {b\times b\times \dots \times b\times b} _{n{\text{ times}}}.$$

प्रतिपादक को सामान्यतः आधार के दाईं ओर ऊपर की ओर लिखा हुआ दिखाया जाता है। उस प्रकर्ण में, bn को n ^th की घात तक बढ़ा दिया जाता है", "b(उठाया गया) को n की घात", "b की n ^th घात", "b को n th की घात", [2] या संक्षेप में "b से n th" के रूप में कहा जाता है।

ऊपर बताए गए मूल तथ्य से शुरू करते हुए, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक $n$ के लिए , $b^{n}$ $n$ की घटनाएं $b$ है और सभी को एक दूसरे से गुणा किया जाता है, घातांक के कई अन्य गुण सीधे अनुसरण करते हैं। विशेष रूप से:

$${\begin{aligned}b^{n+m}&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n+m{\text{ times}}}\\[1ex]&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n{\text{ times}}}\times \underbrace {b\times \dots \times b} _{m{\text{ times}}}\\[1ex]&=b^{n}\times b^{m}\end{aligned}}$$

दूसरे शब्दों में, जब एक आधार को एक घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, उसी आधार को दूसरे घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, तो घातांक जुड़ जाते हैं। इस मूल नियम से जो घातांक जोड़ते हैं, हम उसे प्राप्त कर सकते हैं। निम्नानुसार हम यह व्युत्त्पन्न कर सकते हैं की $b^{0}$को 1 के बराबर होना चाहिए। किसी $n$ के लिए, $b^{0}\cdot b^{n}=b^{0+n}=b^{n}$ दोनों पक्षों को $b^{n}$ द्वारा विभाजित करना $b^{0}=b^{n}/b^{n}=1$ देता है।

$b^{1}=b$ यह तथ्य समान नियम से प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $(b^{1})^{3}=b^{1}\cdot b^{1}\cdot b^{1}=b^{1+1+1}=b^{3}$. दोनों पक्षों का घनमूल निकालने पर $b^{1}=b$ प्राप्त होता है।

नियम है कि गुणा करने से घातांक जुड़ते हैं, इसका उपयोग ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के गुणों को प्राप्त करने के लिए भी किया जा सकता है। इस प्रश्न पर विचार करें कि $b^{-1}$ का क्या मतलब होना चाहिए। घातांक जोड़ने के नियम का सम्मान करने के लिए, यह आवेष्टन $b^{-1}\cdot b^{1}=b^{-1+1}=b^{0}=1$ होना चाहिए। दोनों पक्षों द्वारा $b^{1}$ को विभाजित करना $b^{-1}=1/b^{1}$ देता है, जिसे अधिक आसानी से ऊपर से परिणाम $b^{1}=b$ का उपयोग करके $b^{-1}=1/b$ लिखा जा सकता है और इसी तरह के तर्क से $b^{-n}=1/b^{n}$ लिखा जा सकता है।

भिन्नात्मक घातांकों के गुण भी इसी नियम का पालन करते हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम विचार करते हैं ${\sqrt {b}}$ और पूछें कि क्या कोई उपयुक्त प्रतिपादक है, जिसे हम $r$ कह सकते हैं , ऐसा कि $b^{r}={\sqrt {b}}$. वर्गमूल की परिभाषा से, हमारे पास ${\sqrt {b}}\cdot {\sqrt {b}}=b$ है इसलिए, प्रतिपादक $r$ $b^{r}\cdot b^{r}=b$ जैसा होना चाहिए। इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि गुणा करने से घातांक जुड़ते हैं और $b^{r+r}=b$ देता है। $b$ h> को दायीं ओर $b^{1}$ रूप में भी लिखा जा सकता है, $b^{r+r}=b^{1}$दिया गया है। दोनों पक्षों के घातांकों की बराबरी करने पर, हमारे पास $r+r=1$ है इसलिए, $r={\frac {1}{2}}$, इसलिए $$