गणित

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द स्कूल ऑफ एथेंस (1509-1511) से इस विवरण में राफेल द्वारा कल्पना की गई यूक्लिड एक परकार पकड़े हुए है।

गणित (from Ancient Greek μάθημα; máthēma: 'knowledge, study, learning') ज्ञान का एक क्षेत्र है जिसमें संख्याएं (अंकगणित और संख्या सिद्धांत), सूत्र और संबंधित संरचनाएं (बीजगणित), आकार जैसे विषय शामिल हैं। और वे स्थान जिनमें वे निहित हैं (ज्यामिति), और राशियाँ और उनके परिवर्तन (कलन और विश्लेषण)। अधिकांश गणितीय गतिविधि में अमूर्त वस्तुओं के गुणों को खोजने या सिद्ध करने के लिए शुद्ध कारण का उपयोग शामिल होता है, जिसमें या तो प्रकृति से अमूर्तताएं होती हैं या—आधुनिक गणित में—ऐसी वास्तविकताएं होती हैं जो कुछ गुणों के साथ निर्धारित होती हैं, जिन्हें स्वयम् सिद्ध वक्तव्य कहा जाता है। एक गणितीय प्रमाण में पहले से सिद्ध किए गए प्रमेयों, स्वयंसिद्धों और (प्रकृति से अमूर्तता की स्थति में) कुछ मूल गुणों सहित पहले से ज्ञात परिणामों के लिए कुछ निगमन नियमों के अनुप्रयोगों का उत्तराधिकार होता है, जिन्हें विचाराधीन सिद्धांत के सही प्रारंभिक बिंदु माना जाता है।

विज्ञान में गणित का उपयोग मॉडलिंग परिघटनाओं के लिए किया जाता है, जो तब प्रायोगिक नियमों से पूर्वानुमान लगाने की अनुमति देता है। किसी भी प्रयोग से गणितीय सत्य की स्वतंत्रता का तात्पर्य है कि ऐसी भविष्यवाणियों की सटीकता केवल मॉडल की उपयुक्तता पर निर्भर करती है। अयथार्थ भविष्यवाणियां, अनुचित गणित के कारण होने के बजाय, उपयोग किए गए गणितीय मॉडल को बदलने की आवश्यकता को दर्शाती हैं। उदाहरण के लिए, बुध के पेरिहेलियन पूर्वसर्ग को आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के उद्भव के बाद ही समझाया जा सकता है, जिसने न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को बेहतर गणितीय मॉडल के रूप में बदल दिया।

गणित विज्ञान, अभियांत्रिकी, चिकित्सा, वित्त, कंप्यूटर विज्ञान और सामाजिक विज्ञान में आवश्यक है। गणित के कुछ क्षेत्रों, जैसे कि सांख्यिकी और खेल सिद्धांत, को उनके अनुप्रयोगों के साथ घनिष्ठ पारस्परिक सम्बन्ध में विकसित किया गया है और अक्सर उन्हें अनुप्रयुक्त गणित के अंतर्गत समूहीकृत किया जाता है। अन्य गणितीय क्षेत्रों को किसी भी अनुप्रयोग से स्वतंत्र रूप से विकसित किया जाता है (और इसलिए उन्हें शुद्ध गणित कहा जाता है), लेकिन प्रायोगिक अनुप्रयोगों को अक्सर बाद में खोजा जाता है। एक उपयुक्त उदाहरण पूर्णांक गुणनखंडन की समस्या है, जो यूक्लिड में वापस जाता है, लेकिन जिसका RSA क्रिप्टोसिस्टम (कंप्यूटर नेटवर्क की सुरक्षा के लिए) में उपयोग करने से पहले कोई प्रायोगिक अनुप्रयोग नहीं था।

ऐतिहासिक रूप से, एक प्रमाण की अवधारणा और इससे जुड़ी गणितीय कठोरता पहली बार ग्रीक गणित में, विशेष रूप से यूक्लिड के तत्वों में दिखाई दी। इसकी शुरुआत के बाद से, गणित को अनिवार्य रूप से ज्यामिति, और अंकगणित (प्राकृतिक संख्याओं और अंशों का प्रकलन) में विभाजित किया गया, जब तक कि 16वीं और 17वीं शताब्दी तक, जब बीजगणित और अतिसूक्ष्म कलन को विषय के नए क्षेत्रों के रूप में प्रस्तावित किया गया। तब से, गणितीय नवाचारों और वैज्ञानिक खोजों के बीच पारस्परिक क्रिया ने गणित के विकास में तेजी से वृद्धि की है। उन्नीसवीं सदी के अंत में, गणित के मूलभूत संकट ने स्वयंसिद्ध पद्धति के व्यवस्थितकरण को जन्म दिया। इससे गणित के क्षेत्रों की संख्या और उनके अनुप्रयोगों के क्षेत्रों में नाटकीय वृद्धि हुई। इसका एक उदाहरण गणित विषय वर्गीकरण है, जिसमें गणित के 60 से अधिक प्रथम-स्तर के क्षेत्रों की सूची है।

शब्द व्युत्पत्ति

गणित शब्द की उत्पत्ति प्राचीन यूनानी गणित (μάθημα) से हुई है, जिसका अर्थ "जो सीखा जाता है," "जो कुछ भी पता चलता है," इसलिए "अध्ययन" और "विज्ञान" भी है। शास्त्रीय काल में भी "गणित" शब्द का संक्षिप्त और अधिक तकनीकी अर्थ "गणितीय अध्ययन" आया। इसका विशेषण Mathēmatikós (μαθηματικός) है, जिसका अर्थ है "सीखने से संबंधित" या "अध्ययनशील", जिसका अर्थ "गणितीय" भी है। विशेष रूप से, mathēmatikḗ tékhnē (μαθηματικὴ ; लैटिन: ars mathematica) का अर्थ "गणितीय कला" है।

इसी तरह, पाइथागोरसवाद में विचार के दो मुख्य विद्यालयों में से एक को गणितज्ञ (μαθηματικοί ) के रूप में जाना जाता था - जो उस समय आधुनिक अर्थों में "गणितज्ञ" के बजाय "शिक्षार्थी" था।

लैटिन में, और अंग्रेजी में लगभग 1700 तक, गणित शब्द का अर्थ "गणित" के बजाय "ज्योतिष" (या कभी-कभी "खगोल विज्ञान") से अधिक होता था; अर्थ धीरे-धीरे लगभग 1500 से 1800 तक अपने वर्तमान में बदल गया। इसके परिणामस्वरूप कई गलत अनुवाद हुए हैं। उदाहरण के लिए, सेंट ऑगस्टाइन की चेतावनी कि ईसाइयों को गणितज्ञ से सावधान रहना चाहिए, जिसका अर्थ है ज्योतिषी, कभी-कभी गणितज्ञों की निंदा के रूप में गलत अनुवाद किया जाता है।

अंग्रेजी में स्पष्ट बहुवचन रूप लैटिन नपुंसक बहुवचन गणित (सिसरो) में वापस चला जाता है, जो ग्रीक बहुवचन ta mathēmatiká (τὰ μαθηματικά) पर आधारित है, जिसका उपयोग अरस्तू (384-322 ईसा पूर्व) द्वारा किया गया था, और इसका अर्थ मोटे तौर पर "सभी चीजें गणितीय" हैं, हालांकि यह प्रशंसनीय है कि अंग्रेजी ने केवल विशेषण गणित (अल) को उधार लिया और भौतिकी और तत्वमीमांसा के पैटर्न के बाद संज्ञा गणित का गठन किया, जो ग्रीक से विरासत में मिला था। इसे अक्सर गणित या, उत्तरी अमेरिका में, गणित के रूप में संक्षिप्त किया जाता है।

गणित के क्षेत्र

पुनर्जागरण से पहले, गणित को दो मुख्य क्षेत्रों में विभाजित किया गया था: अंकगणित — संख्याओं के प्रकलन के बारे में, और ज्यामिति — आकृतियों के अध्ययन के बारे में। कुछ प्रकार के छद्म विज्ञान, जैसे अंकशास्त्र और ज्योतिष, तब स्पष्ट रूप से गणित से अलग नहीं थे।

पुनर्जागरण के दौरान दो और क्षेत्र सामने आए। गणितीय संकेतन ने बीजगणित की ओर अग्रसर किया, जो मोटे तौर पर, अध्ययन और सूत्रों के प्रकलन से बना है। कलन, दो उपक्षेत्रों अत्यल्प कलन और समाकलन गणित से मिलकर बना है, निरंतर कार्यों का अध्ययन है, जो अलग-अलग मात्राओं (चर) के बीच आम तौर पर अरेखीय संबंधों को मॉडल करता है। चार मुख्य क्षेत्रों में यह विभाजन — अंकगणित, ज्यामिति, बीजगणित, कलन — 19वीं शताब्दी के अंत तक बना रहा। खगोलीय यांत्रिकी और ठोस यांत्रिकी जैसे क्षेत्रों को अक्सर गणित का हिस्सा माना जाता था, लेकिन अब उन्हें भौतिकी से संबंधित माना जाता है। इस अवधि के दौरान विकसित कुछ विषय गणित से पहले के हैं और ऐसे क्षेत्रों में विभाजित हैं जैसे कि संभाव्यता सिद्धांत और संयोजन, जोस्वयंसिद्ध पद्ध बाद में स्वायत्त क्षेत्रों के रूप में माना जाने लगा।

19वीं शताब्दी के अंत में, गणित में मूलभूत संकट और परिणामी ति के व्यवस्थितकरण ने गणित के नए क्षेत्रों का विस्फोट किया। आज, गणित विषय वर्गीकरण में चौंसठ प्रथम-स्तरीय क्षेत्रों से कम नहीं है। इनमें से कुछ क्षेत्र पुराने विभाजन से मेल खाते हैं, जैसा कि संख्या सिद्धांत (उच्च अंकगणित के लिए आधुनिक नाम) और ज्यामिति के बारे में सच है। (हालांकि, कई अन्य प्रथम-स्तरीय क्षेत्रों में उनके नाम में "ज्यामिति" है या अन्यथा सामान्यतः ज्यामिति का हिस्सा माना जाता है।) बीजगणित और कलन प्रथम-स्तर के क्षेत्रों के रूप में प्रकट नहीं होते हैं, लेकिन क्रमशः कई प्रथम-स्तर के क्षेत्रों में विभाजित होते हैं। 20वीं शताब्दी के दौरान अन्य प्रथम-स्तरीय क्षेत्र उभरे (उदाहरण के लिए श्रेणी सिद्धांत, समजातीय बीजगणित, और कंप्यूटर विज्ञान) या पहले गणित के रूप में नहीं माना गया था, जैसे गणितीय तर्क और नींव (मॉडल सिद्धांत, संगणनीयता सिद्धांत, सेट सिद्धांत, प्रमाण सिद्धांत और बीजगणितीय तर्क सहित)।

संख्या सिद्धांत

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यह उलम सर्पिल है, जो अभाज्य संख्याओं के वितरण को दर्शाता है। सर्पिल में गहरे रंग की विकर्ण रेखाएं अभाज्य होने और द्विघात बहुपद के मूल्य होने के बीच अनुमानित सन्निकट स्वतंत्रता पर संकेत देती हैं, अनुमान जिसे अब हार्डी और लिटिलवुड के अनुमान एफ के रूप में जाना जाता है।

संख्या सिद्धांत संख्याओं के प्रकलन के साथ शुरू हुआ, अर्थात, प्राकृतिक संख्याएं $(\mathbb {N} ),$ और बाद में पूर्णांक $(\mathbb {Z} )$ और परिमेय संख्या $(\mathbb {Q} ).$ तक विस्तारित हुईं। पहले संख्या सिद्धांत को अंकगणित कहा जाता था, लेकिन आजकल इस शब्द का प्रयोग संख्यात्मक गणना के लिए किया जाता है।

कई आसानी से बताई गई संख्या की समस्याओं के समाधान होते हैं जिनके लिए गणित से परिष्कृत विधियों की आवश्यकता होती है। एक प्रमुख उदाहरण फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय है। यह अनुमान 1637 में पियरे डी फ़र्मेट द्वारा कहा गया था, लेकिन यह केवल 1994 में एंड्रयू विल्स द्वारा सिद्ध हुआ था, जिन्होंने बीजगणितीय ज्यामिति, श्रेणी सिद्धांत और समरूप बीजगणित से योजना सिद्धांत सहित उपकरणों का उपयोग किया था। एक अन्य उदाहरण गोल्डबैक का अनुमान है, जिसमें दावा किया गया है कि 2 से बड़ा प्रत्येक सम पूर्णांक दो अभाज्य संख्याओं का योग होता है। 1742 में क्रिश्चियन गोल्डबैक द्वारा कहा गया, यह काफी प्रयास के बावजूद आज तक अप्रमाणित है।

संख्या सिद्धांत में विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत, बीजगणितीय संख्या सिद्धांत, संख्याओं की ज्यामिति (विधि उन्मुख), डायोफैंटाइन समीकरण और पारगमन सिद्धांत (समस्या उन्मुख) सहित कई उपक्षेत्र शामिल हैं।

ज्यामिति

ज्यामिति गणित की प्राचीनतम शाखाओं में से एक है। यह आकृतियों से संबंधित अनुभवजन्य व्यंजनों के साथ शुरू हुआ, जैसे कि रेखाएं, कोण और मंडल, जिन्हें मुख्य रूप से सर्वेक्षण और वास्तुकला की जरूरतों के लिए विकसित किया गया था, लेकिन तब से कई अन्य उपक्षेत्रों में खिल गए हैं।

एक मूल नवीनीकरण प्राचीन यूनानियों द्वारा प्रमाणों की अवधारणा की शुरूआत थी, इस आवश्यकता के साथ कि हर दावे को साबित किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, माप द्वारा सत्यापित करना पर्याप्त नहीं है कि, मान लीजिए, दो लंबाइयाँ समान हैं, उनकी समानता को पहले स्वीकृत परिणामों (प्रमेय) और कुछ मूल कथनों के तर्क के माध्यम से सिद्ध किया जाना चाहिए। मूल कथन प्रमाण के अधीन नहीं हैं क्योंकि वे स्व-स्पष्ट (अनुमानित) हैं, या वे अध्ययन के विषय (स्वयंसिद्ध) की परिभाषा का हिस्सा हैं। यह सिद्धांत, जो सभी गणित के लिए आधारभूत है, पहले ज्यामिति के लिए विस्तृत किया गया था, और यूक्लिड द्वारा अपनी पुस्तक एलिमेंट्स में लगभग 300 ई.पू. में व्यवस्थित किया गया था।

परिणामी यूक्लिडियन ज्यामिति, यूक्लिडियन तल (समतल ज्यामिति) और (त्रि-विमीय) यूक्लिडियन क्षेत्र में रेखाओं, समतलो और वृत्तों से निर्मित आकृतियों और उनकी व्यवस्थाओं का अध्ययन है।

17 वीं शताब्दी तक यूक्लिडियन ज्यामिति विधियों या दायरे में बदलाव के बिना विकसित की गई थी, जब रेने डेसकार्टेस ने प्रस्तावित किया जिसे अब कार्तीय निर्देशांक कहा जाता है। यह प्रतिमान का एक बड़ा परिवर्तन था, क्योंकि वास्तविक संख्याओं को रेखा खंडों की लंबाई के रूप में परिभाषित करने के बजाय (संख्या रेखा देखें), इसने उनके निर्देशांक (जो संख्याएं हैं) का उपयोग करके बिंदुओं के प्रतिनिधित्व की अनुमति दी। यह किसी को ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए बीजगणित (और बाद में, कलन) का उपयोग करने की अनुमति देता है। इसने ज्यामिति को दो नए उपक्षेत्रों में विभाजित किया: संश्लिष्ट ज्यामिति, जो विशुद्ध रूप से ज्यामितीय विधियों का उपयोग करती है, और विश्लेषणात्मक ज्यामिति, जो व्यवस्थित रूप से निर्देशांक का उपयोग करती है।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति उन वक्रों के अध्ययन की अनुमति देती है जो वृत्त और रेखाओं से संबंधित नहीं हैं। इस तरह के वक्रों को कार्यों के ग्राफ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है (जिसके अध्ययन से अंतर ज्यामिति का नेतृत्व किया गया)। उन्हें निहित समीकरणों के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, अक्सर बहुपद समीकरण (जो बीजगणितीय ज्यामिति उत्पन्न करते हैं)। विश्लेषणात्मक ज्यामिति भी तीन आयामों से अधिक के रिक्त स्थान पर विचार करना संभव बनाता है।

19वीं सदी में, गणितज्ञों ने गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की खोज की, जो समानांतर अभिधारणा का पालन नहीं करते हैं। उस अभिधारणा की सत्यता पर प्रश्नचिह्न लगाकर, यह खोज रसेल के विरोधाभास में गणित के मूलभूत संकट को प्रकट करने के रूप में शामिल हो जाती है। संकट के इस पहलू को स्वयंसिद्ध पद्धति को व्यवस्थित करके हल किया गया था, और यह स्वीकार कर लिया गया था कि चुने हुए स्वयंसिद्धों की सच्चाई गणितीय समस्या नहीं है। बदले में, स्वयंसिद्ध विधि या तो स्वयंसिद्धों को बदलकर या अंतरिक्ष के विशिष्ट परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय गुणों पर विचार करके प्राप्त विभिन्न ज्यामिति के अध्ययन की अनुमति देती है।

आजकल, ज्यामिति के उपक्षेत्रों में निम्न शामिल हैं:

• 16 वीं शताब्दी में गिरार्ड डेसर्गेस द्वारा प्रस्तावित की गई प्रक्षेपीय (प्रोजेक्टिव) ज्यामिति, अनंत पर बिंदुओं को जोड़कर यूक्लिडियन ज्यामिति का विस्तार करती है जिस पर समानांतर रेखाएं एक दूसरे को काटती हैं। यह प्रतिच्छेदन और समानांतर रेखाओं के लिए उपचारों को एकीकृत करके शास्त्रीय ज्यामिति के कई पहलुओं को सरल करता है।
• सजातीय ज्यामिति, समानांतरवाद के सापेक्ष गुणों का अध्ययन और लंबाई की अवधारणा से स्वतंत्र।
• अवकल ज्यामिति, वक्रों, सतहों और उनके सामान्यीकरणों का अध्ययन, जिन्हें भिन्न कार्यों का उपयोग करके परिभाषित किया गया है
• विविध (मैनिफोल्ड) सिद्धांत, आकृतियों का अध्ययन जो जरूरी नहीं कि एक बड़े स्थान में अंतर्निहित हों
• रीमैनियन ज्यामिति, घुमावदार स्थानों में दूरी गुणों का अध्ययन
• बीजगणितीय ज्यामिति, वक्रों, सतहों और उनके सामान्यीकरणों का अध्ययन, जिन्हें बहुपदों का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है
• सांस्थिति (टोपोलॉजी), उन गुणों का अध्ययन जिन्हें निरंतर विकृतियों के तहत रखा जाता है
  • बीजगणितीय सांस्थिति (टोपोलॉजी), बीजगणितीय विधियों की सांस्थिति (टोपोलॉजी) में उपयोग, मुख्यतः समरूप बीजगणित
• असतत ज्यामिति, ज्यामिति में परिमित विन्यासों का अध्ययन
• मध्योन्नत ज्यामिति, उत्तल समुच्चयों का अध्ययन, जो अनुकूलन में अपने अनुप्रयोगों से इसका महत्व लेता है
• संकुल ज्यामिति, वास्तविक संख्याओं को सम्मिश्र संख्याओं से प्रतिस्थापित करके प्राप्त ज्यामिति

बीजगणित

बीजगणित समीकरणों और सूत्रों में प्रकलन की कला है। डायोफैंटस (तीसरी शताब्दी) और अल-ख्वारिज्मी (9वीं शताब्दी) बीजगणित के दो प्रमुख अग्रदूत थे। पहले व्यक्ति ने कुछ समीकरणों को हल किया जिसमें अज्ञात प्राकृतिक संख्याएं शामिल थीं, जब तक कि वह समाधान प्राप्त नहीं कर लेता। दूसरे ने समीकरणों को बदलने के लिए व्यवस्थित तरीकों की शुरुआत की (जैसे कि एक समीकरण के एक तरफ से दूसरी तरफ एक शब्द को स्थानांतरित करना)। बीजगणित शब्द अरबी शब्द अल-जबर से लिया गया है जिसका अर्थ है "टूटे हुए हिस्सों के लिए पुनर्मिलन" जिसका उपयोग उन्होंने अपने मुख्य ग्रंथ के शीर्षक में इन विधियों में से एक के नामकरण के लिए किया था।

File:Quadratic formula.svg

द्विघात सूत्र, जो सभी द्विघात समीकरणों के हल को संक्षेप में व्यक्त करता है

बीजगणित केवल फ्रांकोइस विएते (1540-1603) के साथ अपने आप में एक क्षेत्र बन गया, जिन्होंने अज्ञात या अनिर्दिष्ट संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए अक्षरों (चर) का उपयोग शुरू किया। यह गणितज्ञों को उन संक्रियाओं का वर्णन करने की �