गणित

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तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड ने कैलीपर्स को पकड़े हुए, जैसा कि एथेंस के स्कूल से इस विस्तार से राफेल द्वारा कल्पना की गई थी (1509-1511)

गणित (from Ancient Greek μάθημα; máthēma: 'knowledge, study, learning') ज्ञान का एक क्षेत्र है जिसमें ऐसे विषय शामिल हैं संख्या (अंकगणित, संख्या सिद्धांत), सूत्र और संबंधित संरचनाएं (बीजगणित), आकृतियाँ और वे स्थान जिनमें वे निहित हैं (ज्यामिति),और मात्रा और उनके परिवर्तन (पथरी और विश्लेषण)। अधिकांश गणितीय गतिविधि में शुद्ध तर्क द्वारा अमूर्त वस्तुओं के गुणों की खोज और साबित करना शामिल है।ये वस्तुएं या तो प्रकृति से अमूर्त हैं, जैसे कि प्राकृतिक संख्या या रेखाएँ, या — आधुनिक गणित में — कुछ गुणों के साथ निर्धारित की जाती हैं, जिन्हें स्वयंसिद्ध कहा जाता है।एक प्रमाण में पहले से ही ज्ञात परिणामों के लिए कुछ कटौतीत्मक नियमों के अनुप्रयोगों का उत्तराधिकार शामिल है, जिसमें पहले से सिद्ध प्रमेय, स्वयंसिद्ध और (प्रकृति से अमूर्तता के मामले में) कुछ बुनियादी गुण शामिल हैं, जिन्हें विचाराधीन सिद्धांत के सच्चे शुरुआती बिंदुओं के रूप में माना जाता है।एक प्रमाण के परिणाम को एक प्रमेय कहा जाता है।

मॉडलिंग घटनाओं के लिए विज्ञान में गणित का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह प्रयोगात्मक कानूनों से मात्रात्मक भविष्यवाणियों की निष्कर्षण को सक्षम करता है। उदाहरण के लिए, गणितीय गणना के साथ संयुक्त रूप से न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के कानून का उपयोग करके ग्रहों के आंदोलन की सटीक भविष्यवाणी की जा सकती है। किसी भी प्रयोग से गणितीय सत्य की स्वतंत्रता का अर्थ है कि इस तरह की भविष्यवाणियों की सटीकता वास्तविकता का वर्णन करने के लिए मॉडल की पर्याप्तता पर निर्भर करती है। गलत भविष्यवाणियों का अर्थ गणितीय मॉडल को सुधारने या बदलने की आवश्यकता है, न कि यह कि गणित स्वयं मॉडल में गलत है। उदाहरण के लिए, बुध के पेरिहेलियन पूर्ववर्ती को न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम द्वारा नहीं समझाया जा सकता है, लेकिन आइंस्टीन की सामान्य सापेक्षता द्वारा सटीक रूप से समझाया गया है। आइंस्टीन के सिद्धांत के इस प्रायोगिक सत्यापन से पता चलता है कि न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण का नियम केवल एक अनुमान है, हालांकि रोजमर्रा के आवेदन में सटीक है।

प्राकृतिक विज्ञान, इंजीनियरिंग, चिकित्सा, वित्त, कंप्यूटर विज्ञान और सामाजिक विज्ञान सहित कई क्षेत्रों में गणित आवश्यक है। गणित के कुछ क्षेत्र, जैसे कि सांख्यिकी और खेल सिद्धांत, को उनके अनुप्रयोगों के साथ घनिष्ठ संबंध में विकसित किया जाता है और अक्सर लागू गणित के तहत समूहीकृत किया जाता है। अन्य गणितीय क्षेत्रों को किसी भी अनुप्रयोग से स्वतंत्र रूप से विकसित किया जाता है (और इसलिए इसे शुद्ध गणित कहा जाता है), लेकिन व्यावहारिक अनुप्रयोगों को अक्सर बाद में खोजा जाता है।एक फिटिंग उदाहरण पूर्णांक कारक की समस्या है, जो यूक्लिड में वापस चला जाता है, लेकिन आरएसए क्रिप्टोसिस्टम (कंप्यूटर नेटवर्क की सुरक्षा के लिए) में इसके उपयोग से पहले कोई व्यावहारिक अनुप्रयोग नहीं था।

गणित के इतिहास में, एक प्रमाण और उसके संबद्ध गणितीय कठोरता की अवधारणा पहली बार ग्रीक गणित में दिखाई दी, विशेष रूप से यूक्लिड के यूक्लिड के तत्वों में सबसे विशेष रूप से। तत्व। गणित जब तक पुनर्जागरण तक अपेक्षाकृत धीमी गति से विकसित हुआ, जब बीजगणित और इनफिनिटिमल कैलकुलस को गणित के मुख्य क्षेत्रों के रूप में अंकगणित और ज्यामिति में जोड़ा गया।तब से, गणितीय नवाचारों और वैज्ञानिक खोजों के बीच बातचीत ने गणित के विकास में तेजी से वृद्धि की है।19 वीं शताब्दी के अंत में, गणित के मूलभूत संकट ने स्वयंसिद्ध विधि का व्यवस्थित किया।यह, बदले में, गणित क्षेत्रों की संख्या और अनुप्रयोगों के उनके क्षेत्रों में नाटकीय वृद्धि को जन्म दिया।इसका एक उदाहरण गणित विषय वर्गीकरण है, जो गणित के साठ से अधिक प्रथम-स्तरीय क्षेत्रों को सूचीबद्ध करता है।

गणित के क्षेत्र

पुनर्जागरण से पहले, गणित को दो मुख्य क्षेत्रों में विभाजित किया गया था: अंकगणित — संख्याओं के हेरफेर के बारे में, और ज्यामिति — आकृतियों के अध्ययन के बारे में।कुछ प्रकार के छद्म विज्ञान, जैसे कि संख्या विज्ञान और ज्योतिष, तब स्पष्ट रूप से गणित से अलग नहीं थे।

पुनर्जागरण के दौरान, दो और क्षेत्र दिखाई दिए।गणितीय संकेतन ने बीजगणित किया, जो मोटे तौर पर बोलते हुए, अध्ययन और सूत्रों का हेरफेर होता है।कैलकुलस, दो सबफील्ड्स इन्फिनिटिमल कैलकुलस और इंटीग्रल कैलकुलस से मिलकर, निरंतर कार्यों का अध्ययन है, जो अलग -अलग मात्रा (चर) के बीच आमतौर पर गैर -संबंध संबंधों को मॉडल करता है।यह विभाजन चार मुख्य क्षेत्रों में है — अंकगणित, ज्यामिति, बीजगणित, कैलकुलस — 19 वीं शताब्दी के अंत तक समाप्त हो गया। खगोलीय यांत्रिकी और ठोस यांत्रिकी जैसे क्षेत्रों को अक्सर गणित का हिस्सा माना जाता था, लेकिन अब इसे भौतिकी से संबंधित माना जाता है। इस अवधि के दौरान विकसित कुछ विषय गणित की भविष्यवाणी करते हैं और संभावना सिद्धांत और संयोजक के रूप में ऐसे क्षेत्रों में विभाजित होते हैं, जिन्हें बाद में केवल स्वायत्त क्षेत्रों के रूप में माना जाता है।

19 वीं शताब्दी के अंत में, गणित में मूलभूत संकट और स्वयंसिद्ध विधि के परिणामस्वरूप व्यवस्थितकरण ने गणित के नए क्षेत्रों का विस्फोट किया। आज, गणित विषय वर्गीकरण में चौंसठ से कम प्रथम-स्तरीय क्षेत्रों से कम नहीं है। इनमें से कुछ क्षेत्र पुराने डिवीजन के अनुरूप हैं, जैसा कि संख्या सिद्धांत (उच्च अंकगणित के लिए आधुनिक नाम) और ज्यामिति के बारे में सच है। (हालांकि, कई अन्य प्रथम-स्तरीय क्षेत्रों में उनके नामों में ज्यामिति होती है या उन्हें आमतौर पर ज्यामिति का हिस्सा माना जाता है।) बीजगणित और कैलकुलस प्रथम-स्तरीय क्षेत्रों के रूप में दिखाई नहीं देते हैं, लेकिन क्रमशः कई प्रथम-स्तरीय क्षेत्रों में विभाजित होते हैं। 20 वीं शताब्दी (उदाहरण के लिए श्रेणी सिद्धांत; होमोलॉजिकल बीजगणित, और कंप्यूटर विज्ञान) के दौरान अन्य प्रथम-स्तरीय क्षेत्र उभरे थे या पहले गणित के रूप में नहीं माना जाता था, जैसे कि गणितीय तर्क और नींव (मॉडल सिद्धांत, कम्प्यूटिबिलिटी सिद्धांत, सेट सिद्धांत, प्रूफ सहित सिद्धांत, और बीजगणितीय तर्क)।

संख्या सिद्धांत

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यह उलम सर्पिल है, जो प्रमुख संख्याओं के वितरण को दर्शाता है।सर्पिल संकेत में अंधेरे विकर्ण रेखाएं प्राइम होने और एक द्विघात बहुपद का मूल्य होने के बीच अनुमानित स्वतंत्रता पर परिकल्पना की गई, एक अनुमान जिसे अब उलम सर्पिल#हार्डी और लिटिलवुड के अनुमान के रूप में जाना जाता है। हार्डी और लिटिलवुड के अनुमान एफ।

संख्या सिद्धांत संख्याओं के हेरफेर के साथ शुरू हुआ, यानी प्राकृतिक संख्या $(\mathbb {N} ),$ और बाद में पूर्णांक तक विस्तारित किया गया $(\mathbb {Z} )$ और तर्कसंगत संख्याएँ $(\mathbb {Q} ).$ पूर्व में, संख्या सिद्धांत को अंकगणित कहा जाता था, लेकिन आजकल यह शब्द ज्यादातर संख्यात्मक गणना के लिए उपयोग किया जाता है।

कई आसानी से बताई गई संख्या की समस्याओं में ऐसे समाधान होते हैं जिनके लिए गणित से परिष्कृत तरीकों की आवश्यकता होती है।एक प्रमुख उदाहरण फर्माट का अंतिम प्रमेय है। फर्मेट का अंतिम प्रमेय।यह अनुमान 1637 में पियरे डी फर्मेट द्वारा कहा गया था, लेकिन यह फर्मेट के अंतिम प्रमेय का वाइल्स का प्रमाण था। केवल 1994 में एंड्रयू विल्स द्वारा साबित हुआ, जिन्होंने बीजगणितीय ज्यामिति, श्रेणी सिद्धांत और होमोलॉजिकल बीजगणित से योजना सिद्धांत सहित उपकरणों का उपयोग किया था।एक अन्य उदाहरण गोल्डबैक का अनुमान है, जो दावा करता है कि 2 से अधिक पूर्णांक भी दो प्रमुख संख्याओं का योग है।क्रिश्चियन गोल्डबैक द्वारा 1742 में कहा गया है, यह काफी प्रयास के बावजूद आज भी अप्रमाणित है।

संख्या सिद्धांत में कई सबरियस शामिल हैं, जिनमें विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत, बीजगणितीय संख्या सिद्धांत, संख्याओं की ज्यामिति (विधि उन्मुख), डायोफेंटाइन समीकरण और पारगमन सिद्धांत (समस्या उन्मुख) शामिल हैं।

ज्यामिति

ज्यामिति गणित की सबसे पुरानी शाखाओं में से एक है। इसकी शुरुआत आकृतियों से संबंधित अनुभवजन्य व्यंजनों के साथ हुई, जैसे कि लाइनें, कोण और सर्कल, जो मुख्य रूप से सर्वेक्षण और वास्तुकला की जरूरतों के लिए विकसित किए गए थे, लेकिन तब से कई अन्य उपक्षेत्रों में खिल गए हैं।

एक मौलिक नवाचार प्राचीन यूनानियों द्वारा सबूतों की अवधारणा की शुरूआत था, इस आवश्यकता के साथ कि प्रत्येक दावे को साबित किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, यह माप द्वारा सत्यापित करने के लिए पर्याप्त नहीं है, कहते हैं, दो लंबाई समान हैं; उनकी समानता को पहले से स्वीकृत परिणामों (प्रमेय) और कुछ बुनियादी बयानों से तर्क के माध्यम से साबित किया जाना चाहिए। मूल कथन सबूत के अधीन नहीं हैं क्योंकि वे स्व-स्पष्ट (पोस्टुलेट्स) हैं, या वे अध्ययन के विषय (स्वयंसिद्ध) की परिभाषा का एक हिस्सा हैं। यह सिद्धांत, जो सभी गणित के लिए मूलभूत है, पहले ज्यामिति के लिए विस्तृत किया गया था, और अपनी पुस्तक यूक्लिड के तत्वों में 300 ईसा पूर्व के आसपास यूक्लिड द्वारा व्यवस्थित किया गया था। तत्व।

परिणामस्वरूप यूक्लिडियन ज्यामिति आकार और उनकी व्यवस्था है, जो यूक्लिडियन विमान (विमान ज्यामिति) और (तीन-आयामी) यूक्लिडियन स्थान में लाइनों, विमानों और हलकों से निर्मित हैं। यूक्लिडियन ज्यामिति को 17 वीं शताब्दी तक तरीकों या गुंजाइश के परिवर्तन के बिना विकसित किया गया था, जब रेने डेसकार्टेस ने पेश किया, जिसे अब कार्टेशियन निर्देशांक कहा जाता है। यह प्रतिमान का एक बड़ा परिवर्तन था, क्योंकि लाइन सेगमेंट (नंबर लाइन देखें) की लंबाई के रूप में वास्तविक संख्याओं को परिभाषित करने के बजाय, इसने अपने निर्देशांक (जो संख्याएं हैं) का उपयोग करके बिंदुओं के प्रतिनिधित्व की अनुमति दी। यह एक को ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए बीजगणित (और बाद में, पथरी) का उपयोग करने की अनुमति देता है। यह दो नए उपक्षेत्रों में ज्यामिति को विभाजित करता है: सिंथेटिक ज्यामिति, जो विशुद्ध रूप से ज्यामितीय तरीकों और विश्लेषणात्मक ज्यामिति का उपयोग करता है, जो व्यवस्थित रूप से निर्देशांक का उपयोग करता है।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति घटता के अध्ययन की अनुमति देती है जो मंडलियों और लाइनों से संबंधित नहीं हैं। इस तरह के घटता को फ़ंक्शंस के ग्राफ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है (जिसका अध्ययन अंतर ज्यामिति का कारण बना)। उन्हें अंतर्निहित समीकरणों के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, अक्सर बहुपद समीकरण (जो बीजगणितीय ज्यामिति पैदा करते हैं)। विश्लेषणात्मक ज्यामिति भी तीन आयामों से अधिक के रिक्त स्थान पर विचार करना संभव बनाता है।

19 वीं शताब्दी में, गणितज्ञों ने गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की खोज की, जो समानांतर पोस्टुलेट का पालन नहीं करते हैं। उस पोस्टुलेट की सच्चाई पर सवाल उठाते हुए, यह खोज गणित के मूलभूत संकट का खुलासा करने के रूप में रसेल के विरोधाभास में शामिल हो जाती है। संकट का यह पहलू स्वयंसिद्ध विधि को व्यवस्थित करके हल किया गया था, और यह अपनाना कि चुने हुए स्वयंसिद्धों की सच्चाई एक गणितीय समस्या नहीं है। बदले में, स्वयंसिद्ध विधि या तो स्वयंसिद्धों को बदलकर या अंतरिक्ष के विशिष्ट परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय गुणों पर विचार करके प्राप्त विभिन्न ज्यामितीयों के अध्ययन के लिए अनुमति देती है।

आजकल, ज्यामिति के सबरियस में शामिल हैं:

• प्रोजेक्टिव ज्यामिति, 16 वीं शताब्दी में गिरार्ड देसार्गस द्वारा पेश किया गया, अनंत पर अंक जोड़कर यूक्लिडियन ज्यामिति का विस्तार करता है, जिस पर समानांतर रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं। यह चौराहे और समानांतर लाइनों के उपचारों को एकजुट करके शास्त्रीय ज्यामिति के कई पहलुओं को सरल बनाता है।
• अफाइन ज्यामिति, समानता के सापेक्ष गुणों का अध्ययन और लंबाई की अवधारणा से स्वतंत्र।
• डिफरेंशियल ज्यामिति, वक्रों, सतहों और उनके सामान्यीकरण का अध्ययन, जो कि अलग -अलग कार्यों का उपयोग करके परिभाषित किए गए हैं
• कई गुना सिद्धांत, आकृतियों का अध्ययन जो जरूरी नहीं कि एक बड़े स्थान में एम्बेडेड न हो
• Riemannian ज्यामिति, घुमावदार स्थानों में दूरी के गुणों का अध्ययन
• बीजगणितीय ज्यामिति, वक्रों, सतहों और उनके सामान्यीकरण का अध्ययन, जो कि बहुपद का उपयोग करके परिभाषित किया गया है
• टोपोलॉजी, गुणों का अध्ययन जो निरंतर विकृति के तहत रखा जाता है
  • बीजगणितीय टोपोलॉजी, बीजगणितीय तरीकों के टोपोलॉजी में उपयोग, मुख्य रूप से होमोलॉजिकल बीजगणित
• असतत ज्यामिति, ज्यामिति में परिमित विन्यास का अध्ययन
• उत्तल ज्यामिति, उत्तल सेट का अध्ययन, जो अनुकूलन में इसके अनुप्रयोगों से इसका महत्व लेता है
• जटिल ज्यामिति, जटिल संख्याओं के साथ वास्तविक संख्याओं को प्रतिस्थापित करके प्राप्त ज्यामिति

बीजगणित

बीजगणित समीकरणों और सूत्रों में हेरफेर करने की कला है।डायोफेंटस (तीसरी शताब्दी) और मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज़मी | अल-ख्वारिज़मी (9 वीं शताब्दी) बीजगणित के दो मुख्य अग्रदूत थे।पहले वाले ने कुछ समीकरणों को हल किया जिसमें अज्ञात प्राकृतिक संख्याओं को शामिल किया गया था, जब तक कि उन्होंने समाधान प्राप्त नहीं किया।दूसरे ने समीकरणों को बदलने के लिए व्यवस्थित तरीके पेश किए (जैसे कि एक समीकरण के एक पक्ष से दूसरी तरफ एक शब्द को स्थानांतरित करना)।बीजगणित शब्द अरबी शब्द से लिया गया है जिसका उपयोग उन्होंने अपने मुख्य ग्रंथ के शीर्षक में इन तरीकों में से एक का नामकरण के लिए किया था।

File:Quadratic formula.svg

द्विघात सूत्र, जो सभी द्विघात समीकरणों के समाधानों को व्यक्त करता है

बीजगणित केवल फ्रांस्वा विएटे (1540–1603) के साथ अपने आप में एक क्षेत्र बन गया, जिसने अज्ञात या अनिर्दिष्ट संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए अक्षरों (चर) का उपयोग शुरू किया। यह गणितज्ञों को उन संचालन का वर्णन करने की अनुमति देता है जो गणितीय सूत्रों का उपयोग करके प्रतिनिधित्व किए गए नंबरों पर किए जाने वाले संचालन का वर्णन करते हैं।

19 वीं शताब्दी तक, बीजगणित में मुख्य रूप से रैखिक समीकरणों (वर्तमान में रैखिक बीजगणित) का अध्ययन शामिल था, और एक ही अज्ञात में बहुपद समीकरण, जिन्हें बीजगणितीय समीकरण कहा जाता था (एक शब्द जो अभी भी उपयोग में है, हालांकि यह अस्पष्ट हो सकता है)। 19 वीं शताब्दी के दौरान, गणितज्ञों ने संख्याओं के अलावा अन्य चीजों का प्रतिनिधित्व करने के लिए चर का उपयोग करना शुरू कर दिया (जैसे कि मैट्रिसेस, मॉड्यूलर पूर्णांक और ज्यामितीय परिवर्तन), जिस पर अंकगणित संचालन के सामान्यीकरण अक्सर मान्य होते हैं। बीजगणितीय संरचना की अवधारणा इसे संबोधित करती है, जिसमें एक सेट शामिल है, जिसके तत्व अनिर्दिष्ट हैं, सेट के तत्वों पर कार्य करने वाले संचालन के, और नियमों का पालन करते हैं जो इन संचालन का पालन करना चाहिए। इस परिवर्तन के कारण, बीजगणितीय संरचनाओं के अध्ययन को शामिल करने के लिए बीजगणित का दायरा बढ़ा। बीजगणित की इस वस्तु को आधुनिक बीजगणित या अमूर्त बीजगणित कहा जाता था। (उत्तरार्द्ध शब्द मुख्य रूप से एक शैक्षिक संदर्भ में दिखाई देता है, प्राथमिक बीजगणित के विरोध में, जो कि हेरफेर करने के पुराने तरीके से संबंधित है।)

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