क्रमित युग्म

विश्लेषणात्मक ज्यामिति यूक्लिडियन विमान में प्रत्येक बिंदु को एक आदेशित जोड़ी से जोड़ती है। लाल दीर्घवृत्त सभी युग्मों (x, y) के समुच्चय से जुड़ा है जैसे कि x²/4+य²=1.

गणित में, एक क्रमित जोड़ी (a, b) वस्तुओं की एक जोड़ी है। जिस क्रम में जोड़ी में वस्तुएं दिखाई देती हैं वह महत्वपूर्ण है: आदेशित जोड़ी (ए, बी) आदेशित जोड़ी से अलग है (बी, ए) जब तक ' 'ए' = 'बी'। (इसके विपरीत, बिना क्रम वाली जोड़ी {a, b} बिना क्रम वाली जोड़ी {b, a} के बराबर है।)

क्रमित जोड़े को tuple|2-tuples, या अनुक्रम (कभी-कभी, कंप्यूटर विज्ञान के संदर्भ में सूचियाँ) लंबाई 2 भी कहा जाता है। अदिश (गणित) के क्रमित जोड़े को कभी-कभी 2-आयामी वेक्टर (गणित और भौतिकी) कहा जाता है। (तकनीकी रूप से, यह शब्दावली का दुरुपयोग है क्योंकि ऑर्डर किए गए जोड़े को सदिश स्थल का तत्व नहीं होना चाहिए।) ऑर्डर किए गए जोड़े की प्रविष्टियां अन्य ऑर्डर किए गए जोड़े हो सकते हैं, जो ऑर्डर किए गए n-tuple|n-tuples (n ऑब्जेक्ट्स की ऑर्डर की गई सूचियां) की रिकर्सिव परिभाषा परिभाषा को सक्षम करते हैं। उदाहरण के लिए, आदेशित ट्रिपल (a,b,c) को (a, (b,c)) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। , यानी, एक जोड़ी के रूप में दूसरे में नेस्टेड।

आदेशित जोड़ी (a, b) में, वस्तु a को पहली प्रविष्टि कहा जाता है, और वस्तु b दूसरी प्रविष्टि कहलाती है जोड़ी का। वैकल्पिक रूप से, वस्तुओं को पहले और दूसरे घटक, पहले और दूसरे निर्देशांक, या आदेशित जोड़ी के बाएं और दाएं अनुमान कहा जाता है।

कार्तीय गुणनफल और द्विआधारी संबंध (और इसलिए फलन (गणित)) क्रमित युग्मों के रूप में परिभाषित किए गए हैं, cf. चित्र।

सामान्यता

होने देना $(a_{1},b_{1})$ तथा $(a_{2},b_{2})$ जोड़े का आदेश दिया जाए। फिर आदेशित जोड़ी की विशेषता (या परिभाषित) संपत्ति है:

$(a_{1},b_{1})=(a_{2},b_{2}){\text{ if and only if }}a_{1}=a_{2}{\text{ and }}b_{1}=b_{2}.$

सभी क्रमित युग्मों का समुच्चय (गणित) जिसकी पहली प्रविष्टि किसी समुच्चय A में है और जिसकी दूसरी प्रविष्टि किसी समुच्चय B में है, A और B का कार्तीय गुणन कहलाता है, और A × B लिखा जाता है। समुच्चय A और B के बीच एक द्विआधारी संबंध A × B का उपसमुच्चय है। (a, b) }} संकेतन का उपयोग अन्य उद्देश्यों के लिए किया जा सकता है, विशेष रूप से वास्तविक संख्या रेखा पर खुले अंतराल को दर्शाने के रूप में। ऐसी स्थितियों में, संदर्भ आमतौर पर यह स्पष्ट कर देगा कि कौन सा अर्थ अभिप्रेत है। अतिरिक्त स्पष्टीकरण के लिए, आदेशित जोड़ी को वेरिएंट नोटेशन द्वारा दर्शाया जा सकता है ${\textstyle \langle a,b\rangle }$, लेकिन इस अंकन के अन्य उपयोग भी हैं।

<स्पैन आईडी = प्रोजेक्शन> एक जोड़ी p के बाएँ और दाएँ प्रक्षेपण को आमतौर पर द्वारा निरूपित किया जाता है π₁(पी) और π₂(पी), या द्वारा π_ℓ(पी) और π_r(पी), क्रमशः। ऐसे संदर्भों में जहां मनमाने ढंग से एन-टुपल्स पर विचार किया जाता है, πⁿ
_i(टी) एन-ट्यूपल टी के आई-वें घटक के लिए एक आम संकेत है।

अनौपचारिक और औपचारिक परिभाषाएँ

कुछ परिचयात्मक गणित की पाठ्यपुस्तकों में क्रमबद्ध युग्म की एक अनौपचारिक (या सहज) परिभाषा दी गई है, जैसे <ब्लॉककोट> किन्हीं दो वस्तुओं के लिए a तथा b, आदेशित जोड़ी (a, b) दो वस्तुओं को निर्दिष्ट करने वाला एक अंकन है a तथा b, उस क्रम में। </ब्लॉककोट> इसके बाद आमतौर पर दो तत्वों के एक सेट की तुलना की जाती है; यह इंगित करते हुए कि एक सेट में a तथा b अलग होना चाहिए, लेकिन एक आदेशित जोड़ी में वे समान हो सकते हैं और जबकि एक सेट के तत्वों को सूचीबद्ध करने का क्रम मायने नहीं रखता है, एक आदेशित जोड़ी में अलग-अलग प्रविष्टियों के क्रम को बदलने से क्रमित जोड़ी बदल जाती है।

यह परिभाषा असंतोषजनक है क्योंकि यह केवल वर्णनात्मक है और आदेश की सहज समझ पर आधारित है। हालांकि, जैसा कि कभी-कभी बताया गया है, इस विवरण पर भरोसा करने से कोई नुकसान नहीं होगा और लगभग हर कोई इस तरीके से आदेशित जोड़े के बारे में सोचता है। एक अधिक संतोषजनक दृष्टिकोण यह देखना है कि गणित में क्रमित युग्मों की भूमिका को समझने के लिए ऊपर दिए गए क्रमित युग्मों के चारित्रिक गुणों की आवश्यकता है। इसलिए आदेशित जोड़ी को एक आदिम धारणा के रूप में लिया जा सकता है, जिसका संबद्ध अभिगृहीत अभिलाक्षणिक गुण है। यह निकोलस बॉरबाकी द्वारा लिया गया दृष्टिकोण था | एन। 1954 में प्रकाशित अपने थ्योरी ऑफ सेट्स में बोरबाकी समूह। हालांकि, इस दृष्टिकोण में इसकी कमियां भी हैं क्योंकि आदेशित जोड़े के अस्तित्व और उनकी विशिष्ट संपत्ति दोनों को स्वयंसिद्ध माना जाना चाहिए।

आदेशित जोड़े से सख्ती से निपटने का एक और तरीका उन्हें सेट सिद्धांत के संदर्भ में औपचारिक रूप से परिभाषित करना है। यह कई तरीकों से किया जा सकता है और इसका लाभ यह है कि सेट सिद्धांत को परिभाषित करने वाले स्वयंसिद्धों से अस्तित्व और विशिष्ट संपत्ति को सिद्ध किया जा सकता है। इस परिभाषा के सबसे उद्धृत संस्करणों में से एक कुराटोव्स्की (नीचे देखें) के कारण है और उनकी परिभाषा का उपयोग 1970 में प्रकाशित बॉरबाकी के थ्योरी ऑफ़ सेट्स के दूसरे संस्करण में किया गया था। यहां तक ​​कि उन गणितीय पाठ्यपुस्तकों में भी जो आदेशित जोड़े की अनौपचारिक परिभाषा देती हैं एक अभ्यास में कुराटोस्की की औपचारिक परिभाषा का उल्लेख कीजिए।

== समुच्चय सिद्धान्त == का उपयोग करके ऑर्डर किए गए जोड़े को परिभाषित करना

यदि कोई इस बात से सहमत है कि सेट सिद्धांत गणित की एक आकर्षक नींव है, तो सभी गणितीय वस्तुओं को किसी प्रकार के सेट (गणित) के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए। इसलिए यदि क्रमित युग्म आदिम के रूप में नहीं लिया जाता है, तो इसे समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए। आदेशित जोड़ी की कई सेट-सैद्धांतिक परिभाषाएँ नीचे दी गई हैं (यह भी देखें ).

वीनर की परिभाषा

नॉर्बर्ट वीनर ने 1914 में आदेशित जोड़ी की पहली सेट सैद्धांतिक परिभाषा प्रस्तावित की:

$\left(a,b\right):=\left\{\left\{\left\{a\right\},\,\emptyset \right\},\,\left\{\left\{b\right\}\right\}\right\}.$

उन्होंने देखा कि इस परिभाषा ने गणितीय सिद्धांत के प्रकार सिद्धांत को सेट के रूप में परिभाषित करना संभव बना दिया। प्रिन्सिपिया मैथेमेटिका ने आदिम धारणा के रूप में प्रकार, और इसलिए सभी अर्थों का संबंध (गणित) लिया था।

वीनर ने का इस्तेमाल किया{{b}} {बी} के बजाय परिभाषा को प्रकार सिद्धांत के साथ संगत बनाने के लिए जहां कक्षा में सभी तत्व एक ही प्रकार के होने चाहिए। बी के साथ एक अतिरिक्त सेट के भीतर नेस्टेड, इसका प्रकार इसके बराबर है $\{\{a\},\emptyset \}$'एस।

हौसडॉर्फ की परिभाषा

लगभग उसी समय वीनर (1914) के रूप में, फेलिक्स हॉसडॉर्फ ने अपनी परिभाषा प्रस्तावित की:

$(a,b):=\left\{\{a,1\},\{b,2\}\right\}$

जहाँ 1 और 2 a और b से भिन्न दो अलग-अलग वस्तुएँ हैं।

कुराटोस्की की परिभाषा

1921 में काज़िमिर्ज़ कुराटोव्स्की ने अब स्वीकृत परिभाषा की पेशकश की आदेशित जोड़ी की (ए, बी):

$(a,\ b)_{K}\;:=\ \{\{a\},\ \{a,\ b\}\}.$

ध्यान दें कि इस परिभाषा का उपयोग तब भी किया जाता है जब पहले और दूसरे निर्देशांक समान हों:

$(x,\ x)_{K}=\{\{x\},\{x,\ x\}\}=\{\{x\},\ \{x\}\}=\{\{x\}\}$

कुछ क्रमित युग्म p को देखते हुए, गुण x, p का पहला निर्देशांक है, इस प्रकार तैयार किया जा सकता है:

$\forall Y\in p:x\in Y.$

संपत्ति x p का दूसरा निर्देशांक है जिसे इस प्रकार तैयार किया जा सकता है:

$(\exists Y\in p:x\in Y)\land (\forall Y_{1},Y_{2}\in p:Y_{1}\neq Y_{2}\rightarrow (x\notin Y_{1}\lor x\notin Y_{2})).$

इस मामले में कि बाएँ और दाएँ निर्देशांक समान हैं, दाएँ संयोजन $(\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}{Y}_1,Y_{}$