स्मूथनेस

"C infinity" redirects here. For the extended complex plane $\mathbb {C} _{\infty }$, see Riemann sphere.

"C^n" redirects here. For $\mathbb {C} ^{n}$, see Complex coordinate space.

For smoothness in number theory, see smooth number.

File:Bump2D illustration.png

एक टक्कर समारोह कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ एक सुचारू कार्य है।

गणितीय विश्लेषण में, एक फ़ंक्शन (गणित) की चिकनाई एक संपत्ति है जिसे निरंतर कार्य व्युत्पन्न (गणित) की संख्या से मापा जाता है, जो कि कुछ डोमेन पर होता है, जिसे 'भिन्नता वर्ग' कहा जाता है। बहुत कम से कम, एक फ़ंक्शन को सुचारू माना जा सकता है यदि यह हर जगह अलग-अलग हो (इसलिए निरंतर)। दूसरे छोर पर, यह एक फ़ंक्शन के अपने डोमेन में व्युत्पन्न के सभी ऑर्डर के डेरिवेटिव भी प्राप्त कर सकता है, इस मामले में इसे असीम रूप से भिन्न कहा जाता है और इसे सी-इन्फिनिटी फ़ंक्शन (या $C^{\infty }$ समारोह)।

भेदभाव वर्ग

विभेदकता वर्ग उनके डेरिवेटिव के गुणों के अनुसार कार्यों का वर्गीकरण है। यह व्युत्पन्न के उच्चतम क्रम का एक माप है जो किसी फ़ंक्शन के लिए मौजूद है और निरंतर है।

एक खुले सेट पर विचार करें $U$ वास्तविक रेखा और एक फ़ंक्शन पर $f$ पर परिभाषित $U$ वास्तविक मूल्यों के साथ। मान लीजिए k एक ऋणात्मक पूर्णांक है। कार्यक्रम $f$ अवकलनीयता वर्ग का कहा जाता है $C^{k}$ अगर डेरिवेटिव $f',f'',\dots ,f^{(k)}$ मौजूद हैं और निरंतर कार्य कर रहे हैं $U$. यदि $f$ है $k$पर अलग-अलग $U$, तो यह कम से कम कक्षा में है $C^{k-1}$ जबसे $f',f'',\dots ,f^{(k-1)}$ निरंतर हैं $U$. कार्यक्रम $f$ कहा जाता है कि यह असीम रूप से भिन्न, चिकना या वर्ग का है $C^{\infty }$, अगर उसके पास सभी ऑर्डर के डेरिवेटिव हैं $U$. (इसलिए ये सभी व्युत्पन्न निरंतर कार्य हैं $U$.) कार्यक्रम $f$ वर्ग का कहा जाता है $C^{\omega }$, या विश्लेषणात्मक कार्य, यदि $f$ चिकना है (यानी, $f$ कक्षा में है $C^{\infty }$) और इसके क्षेत्र में किसी भी बिंदु के आसपास इसकी टेलर श्रृंखला का विस्तार बिंदु के कुछ पड़ोस (गणित) में फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाता है। $C^{\omega }$ इस प्रकार सख्ती से निहित है $C^{\infty }$. बंप फंक्शन फंक्शन के उदाहरण हैं $C^{\infty }$ लेकिन में नहीं $C^{\omega }$.

इसे अलग तरीके से रखने के लिए, वर्ग $C^{0}$ सभी निरंतर कार्यों से मिलकर बनता है। कक्षा $C^{1}$ सभी अवकलनीय फलनों से मिलकर बना है जिनका अवकलज सतत है; ऐसे कार्यों को निरंतर अवकलनीय कहा जाता है। इस प्रकार, ए $C^{1}$ फ़ंक्शन वास्तव में एक ऐसा फ़ंक्शन है जिसका व्युत्पन्न मौजूद है और वर्ग का है $C^{0}$. सामान्य तौर पर, कक्षाएं $C^{k}$ घोषित करके रिकर्सन को परिभाषित किया जा सकता है $C^{0}$ सभी निरंतर कार्यों का सेट होना, और घोषित करना $C^{k}$ किसी धनात्मक पूर्णांक के लिए $k$ उन सभी अवकलनीय फलनों का समुच्चय होना, जिनका अवकलज में है $C^{k-1}$. विशेष रूप से, $C^{k}$ में निहित है $C^{k-1}$ हरएक के लिए $k>0$, और यह दिखाने के लिए उदाहरण हैं कि यह रोकथाम सख्त है ($C^{k}\subsetneq C^{k-1}$) कक्षा $C^{\infty }$ असीम रूप से भिन्न कार्यों का, वर्गों का प्रतिच्छेदन है $C^{k}$ जैसा $k$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों पर भिन्न होता है।

उदाहरण

File:C0 function.svg

सी⁰ समारोह f(x) = x के लिये x ≥ 0 और 0 अन्यथा।

फ़ाइल:X^2sin(x^ .)-1).svg|thumb|कार्यक्रम g(x) = x² sin(1/x) के लिये x > 0.

फ़ाइल: फ़ंक्शन x^2*sin(1 over x).svg|thumb|upright=1.3|कार्यक्रम $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ साथ $f(x)=x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)$ के लिये $x\neq 0$ तथा $f(0)=0$ अवकलनीय है। हालाँकि, यह फ़ंक्शन लगातार भिन्न नहीं है।

File:Mollifier Illustration.svg

एक सुचारू कार्य जो विश्लेषणात्मक नहीं है।

कार्यक्रम

$$f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{if }}x\geq 0,\\0&{\text{if }}x<0\end{cases}}$$

निरंतर है, लेकिन अवकलनीय नहीं है x = 0, तो यह कक्षा C . का है⁰, लेकिन कक्षा C . का नहीं^{1</सुप>.}

कार्यक्रम

$$g(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\left({\tfrac {1}{x}}\right)}&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}$$

अवकलनीय है, व्युत्पन्न के साथ

$$g'(x)={\begin{cases}-{\mathord {\cos \left({\tfrac {1}{x}}\right)}}+2x\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)&{\text{if }}x\neq 0,\\0&{\text{if }}x=0.\end{cases}}$$

इसलिये $\cos(1/x)$ के रूप में दोलन करता है x → 0, $g'(x)$ शून्य पर निरंतर नहीं है। इसलिए, $g(x)$ अवकलनीय है लेकिन वर्ग C का नहीं है^{1</सुप>. इसके अलावा, अगर कोई लेता है $g(x)=x^{4/3}\sin(1/x)$ (x ≠ 0) इस उदाहरण में, इसका उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि एक अलग-अलग फ़ंक्शन के व्युत्पन्न फ़ंक्शन को कॉम्पैक्ट सेट पर अनबाउंड किया जा सकता है और इसलिए, कॉम्पैक्ट सेट पर एक अलग-अलग फ़ंक्शन स्थानीय रूप से लिप्सचिट्ज़ निरंतर नहीं हो सकता है।}

कार्य

$$f(x)=|x|^{k+1}$$

कहाँ पे k सम है, निरंतर हैं और k समय अलग-अलग x. लेकिन पर x = 0 वो नहीं हैं (k + 1) समय भिन्न है, इसलिए वे वर्ग C . के हैं^k, लेकिन कक्षा C . का नहीं^j जहां j > k.

घातांकीय फलन विश्लेषणात्मक है, और इसलिए C . वर्ग में आता है. त्रिकोणमितीय फलन भी विश्लेषणात्मक होते हैं जहां कहीं भी उन्हें परिभाषित किया जाता है।

टक्कर समारोह

$$f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-x^{2}}}}&{\text{ if }}|x|<1,\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}$$

चिकना है, इसलिए कक्षा C . का है^∞, लेकिन यह विश्लेषणात्मक नहीं है x = ±1, और इसलिए कक्षा C . का नहीं है. कार्यक्रम f कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ एक सुचारू कार्य का एक उदाहरण है।

बहुभिन्नरूपी भिन्नता वर्ग

एक समारोह $f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ एक खुले सेट पर परिभाषित $U$ का $\mathbb {R} ^{n}$ कहा जाता है कि कक्षा का होना $C^{k}$ पर $U$, एक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $k$, यदि सभी आंशिक व्युत्पन्न

$${\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\,\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\,\cdots \,\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})$$

मौजूद हैं और निरंतर हैं, प्रत्येक के लिए $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, जैसे कि $\alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\leq k$, और हर $(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in U$. समान रूप से, $f$ कक्षा का है $C^{k}$ पर $U$ अगर $k$-वें क्रम के फ्रेचेट व्युत्पन्न $f$ मौजूद है और के हर बिंदु पर निरंतर है $U$. कार्यक्रम $f$ वर्ग का कहा जाता है $C$ या $C^{0}$ अगर यह लगातार चालू है $U$. कक्षा के कार्य $C^{1}$ लगातार भिन्न होने के लिए भी कहा जाता है।

एक समारोह $f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$, एक खुले सेट पर परिभाषित $U$ का $\mathbb {R} ^{n}$, वर्ग का कहा जाता है $C^{k}$ पर $U$, एक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $k$, यदि इसके सभी घटक

$$f_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(\pi _{i}\circ f)(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\pi _{i}(f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})){\text{ for }}i=1,2,3,\ldots ,m$$

वर्ग के हैं $C^{k}$, कहाँ पे $\pi _{i}$ प्राकृतिक प्रक्षेपण हैं (रैखिक बीजगणित) $\pi _{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ द्वारा परिभाषित $\pi _{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=x_{i}$. यह वर्ग का कहा जाता है $C$ या $C^{0}$ यदि यह निरंतर है, या समान रूप से, यदि सभी घटक $f_{i}$ निरंतर हैं, पर $U$.

C . का स्थान^k फंक्शन

होने देना $D$ वास्तविक रेखा का एक खुला उपसमुच्चय बनें। सभी का सेट $C^{k}$ पर परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन $D$ एक फ़्रेचेट स्पेस है|फ़्रेचेट वेक्टर स्पेस, सेमीनॉर्म्स के गणनीय परिवार के साथ

$$p_{K,m}=\sup _{x\in K}\left|f^{(m)}(x)\right|$$

कहाँ पे $K$ कॉम्पैक्ट सेटों के बढ़ते क्रम में भिन्न होता है जिसका संघ (सेट सिद्धांत) है $D$, तथा $m=0,1,\dots ,k$.

के समुच्चय $C^{\infty }$ कार्य खत्म $D$ एक फ्रेचेट स्थान भी बनाता है। ऊपर के समान ही सेमीनॉर्म्स का उपयोग किया जाता है, सिवाय इसके कि $m$ सभी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक मानों को श्रेणीबद्ध करने की अनुमति है।

उपरोक्त रिक्त स्थान स्वाभाविक रूप से उन अनुप्रयोगों में होते हैं जहां कुछ आदेशों के डेरिवेटिव वाले कार्य आवश्यक होते हैं; हालांकि, विशेष रूप से आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन में, कभी-कभी सोबोलेव रिक्त स्थान के साथ काम करना अधिक उपयोगी हो सकता है।

निरंतरता

पैरामीट्रिक निरंतरता की शर्तें (सी^k) और ज्यामितीय निरंतरता (G .)ⁿ) को ब्रायन ए. बार्स्की द्वारा पेश किया गया था, यह दिखाने के लिए कि वक्र की चिकनाई को गति पर प्रतिबंधों को हटाकर मापा जा सकता है, जिसके साथ पैरामीटर वक्र का पता लगाता है।

पैरामीट्रिक निरंतरता

पैरामीट्रिक निरंतरता (सी^k) एक अवधारणा है जो पैरामीट्रिक वक्रों पर लागू होती है, जो वक्र के साथ दूरी के साथ पैरामीटर के मान की चिकनाई का वर्णन करती है। ए (पैरामीट्रिक) वक्र $s:[0,1]\to \mathbb {R} ^{n}$ कक्षा सी . का कहा जाता है^{कश्मीर}, अगर $\textstyle {\frac {d^{k}s}{dt^{k}}}$ मौजूद है और निरंतर है $[0,1]$, जहां अंत-बिंदुओं पर डेरिवेटिव $0,1\in [0,1]$ अर्ध-भिन्नता के रूप में लिया जाता है (अर्थात, at $0$ दाईं ओर से, और पर $1$ बाएं से)।

इस अवधारणा के व्यावहारिक अनुप्रयोग के रूप में, समय के एक पैरामीटर के साथ किसी वस्तु की गति का वर्णन करने वाले वक्र में C . होना चाहिए¹ निरंतरता और उसका पहला अवकलज अवकलनीय है—वस्तु के लिए परिमित त्वरण है। चिकनी गति के लिए, जैसे कि फिल्म बनाते समय कैमरे का पथ, पैरामीट्रिक निरंतरता के उच्च क्रम की आवश्यकता होती है।

पैरामीट्रिक निरंतरता का क्रम

File:Parametric continuity C0.svg

दो बेज़ियर वक्र खंड जुड़े हुए हैं जो केवल C . है⁰ निरंतर

File:Parametric continuity vector.svg

दो बेज़ियर वक्र खंड इस तरह से जुड़े हुए हैं कि वे C . हैं¹ निरंतर

पैरामीट्रिक निरंतरता के विभिन्न क्रम को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:

• $C^{0}$: ज़ीरोथ व्युत्पन्न निरंतर है (वक्र निरंतर हैं)
• $C^{1}$: शून्य और प्रथम अवकलज सतत हैं
• $C^{2}$: शून्य, प्रथम और द्वितीय अवकलज सतत हैं
• $C^{n}$: 0-वें से $n$-वें डेरिवेटिव निरंतर हैं

ज्यामितीय निरंतरता

File:Curves g1 contact.svg

G . के साथ वक्र¹-संपर्क (मंडलियां, रेखा)

$(1-\varepsilon ^{2})x^{2}-2px+y^{2}=0,\ p>0\ ,\varepsilon \geq 0$
G . के साथ शंकु वर्गों की पेंसिल²-संपर्क करें: p ठीक करें, $\varepsilon$ चर
($\varepsilon =0$: घेरा,$\varepsilon =0.8$: अंडाकार, $\varepsilon =1$: परवलय, $\varepsilon =1.2$: अतिपरवलय)

ज्यामितीय निरंतरता या ज्यामितीय निरंतरता की अवधारणा (Gⁿ) मुख्य रूप से गॉटफ्रीड लाइबनिज़, जोहान्स केप्लर और जीन-विक्टर पोन्सलेट जैसे गणितज्ञों द्वारा शंकु वर्गों (और संबंधित आकृतियों) पर लागू किया गया था। अवधारणा, बीजगणित के बजाय ज्यामिति के माध्यम से, एक पैरामीट्रिक फ़ंक्शन के माध्यम से व्यक्त निरंतर कार्य की अवधारणा का वर्णन करने का एक प्रारंभिक प्रयास था।

ज्यामितीय निरंतरता के पीछे मूल विचार यह था कि पांच शंकु वर्ग वास्तव में एक ही आकार के पांच अलग-अलग संस्करण थे। एक दीर्घवृत्त एक वृत्त की ओर जाता है क्योंकि विलक्षणता (गणित) शून्य के करीब पहुंचती है, या एक परवलय की ओर जब यह एक के करीब पहुंचता है; और एक अतिपरवलय एक परवलय की ओर प्रवृत्त होता है क्योंकि विलक्षणता एक की ओर गिरती है; यह प्रतिच्छेदन रेखा (ज्यामिति) को भी प्रवृत्त कर सकता है। इस प्रकार, शंकु वर्गों के बीच निरंतरता थी। इन विचारों ने निरंतरता की अन्य अवधारणाओं को जन्म दिया। उदाहरण के लिए, यदि एक वृत्त और एक सीधी रेखा एक ही आकार के दो व्यंजक हैं, तो शायद एक रेखा को अनंत त्रिज्या के एक वृत्त के रूप में माना जा सकता है। ऐसा होने के लिए, बिंदु को अनुमति देकर लाइन को बंद करना होगा $x=\infty$ वृत्त पर एक बिंदु होने के लिए, और के लिए $x=+\infty$ तथा $x=\neg \infty$ समान होना। इस तरह के विचार आधुनिक, बीजगणितीय रूप से परिभाषित, एक फ़ंक्शन के निरंतर कार्य के विचार को तैयार करने में उपयोगी थे $\infty$ (अधिक के लिए अनुमानित रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा देखें)।

ज्यामितीय निरंतरता का क्रम

एक वक्र या सतह (टोपोलॉजी) को होने के रूप में वर्णित किया जा सकता है $G^{n}$ निरंतरता, साथ $n$ चिकनाई की बढ़ती माप होने के नाते। वक्र पर किसी बिंदु के दोनों ओर के खंडों पर विचार करें:

• $G^{0}$: वक्र जोड़ बिंदु पर स्पर्श करते हैं।
• $G^{1}$: वक्र भी जोड़ बिंदु पर एक सामान्य स्पर्शरेखा दिशा साझा करते हैं।
• $G^{2}$: वक्र भी जोड़ बिंदु पर वक्रता का एक सामान्य केंद्र साझा करते हैं।

सामान्य रूप में, $G^{n}$ निरंतरता मौजूद है यदि वक्रों को पुन: निर्धारित किया जा सकता है $C^{n}$ (पैरामीट्रिक) निरंतरता। वक्र का एक पुनर्मूल्यांकन ज्यामितीय रूप से मूल के समान है; केवल पैरामीटर प्रभावित होता है।

समान रूप से, दो सदिश फलन $f(t)$ तथा $g(t)$ पास होना $G^{n}$ निरंतरता अगर $f^{(n)}(t)\neq 0$ तथा $f^{(n)}(t)\equiv kg^{(n)}(t)$, एक अदिश के लिए $k>0$ (अर्थात, यदि दोनों सदिशों की दिशा, लेकिन परिमाण आवश्यक नहीं है, बराबर है)।

हालांकि यह स्पष्ट हो सकता है कि एक वक्र की आवश्यकता होगी $G^{1}$ सुचारू रूप से दिखने के लिए निरंतरता, अच्छे सौंदर्यशास्त्र के लिए, जैसे कि वास्तुकला और स्पोर्ट्स कार डिजाइन के इच्छुक लोगों के लिए, ज्यामितीय निरंतरता के उच्च स्तर की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, कार बॉडी में प्रतिबिंब तब तक चिकने नहीं दिखाई देंगे जब तक कि बॉडी में $G^{2}$ निरंतरता।

ए rounded rectangle (चारों कोनों पर नब्बे डिग्री वृत्ताकार चापों के साथ) है $G^{1}$ निरंतरता, लेकिन नहीं है $G^{2}$ निरंतरता। ए के लिए भी यही सच है rounded cube, इसके कोनों पर एक गोले के अष्टक और इसके किनारों के साथ क्वार्टर-सिलेंडर हैं। यदि के साथ एक संपादन योग्य वक्र $G^{2}$ निरंतरता की आवश्यकता होती है, फिर क्यूबिक स्प्लिंस को आम तौर पर चुना जाता है; इन वक्रों का उपयोग अक्सर औद्योगिक डिजाइन में किया जाता है।

अन्य अवधारणाएं

विश्लेषणात्मकता से संबंध

जबकि सभी विश्लेषणात्मक कार्य सुचारू होते हैं (अर्थात सभी डेरिवेटिव निरंतर होते हैं) जिस पर वे विश्लेषणात्मक होते हैं, उदाहरण जैसे कि बम्प फ़ंक्शन (ऊपर उल्लिखित) दिखाते हैं कि कनवर्स वास्तविक पर कार्यों के लिए सही नहीं है: ऐसे सुचारू वास्तविक कार्य मौजूद हैं जो विश्लेषणात्मक नहीं हैं। कार्यों के सरल उदाहरण जो गैर-विश्लेषणात्मक सुचारू कार्य हैं#एक सुचारू कार्य जो कहीं भी वास्तविक विश्लेषणात्मक नहीं है, फूरियर श्रृंखला के माध्यम से बनाया जा सकता है; एक अन्य उदाहरण फैबियस फ़ंक्शन है। हालांकि ऐसा लग सकता है कि इस तरह के कार्य नियम के बजाय अपवाद हैं, यह पता चला है कि विश्लेषणात्मक कार्य सुचारू लोगों के बीच बहुत पतले बिखरे हुए हैं; अधिक सख्ती से, विश्लेषणात्मक कार्य सुचारू कार्यों का एक अल्प सेट सबसेट बनाते हैं। इसके अलावा, वास्तविक रेखा के प्रत्येक खुले उपसमुच्चय A के लिए, ऐसे सुचारू कार्य मौजूद हैं जो A पर विश्लेषणात्मक हैं और कहीं नहीं.

स्थिति की वास्तविक रेखा पर पारलौकिक संख्याओं की सर्वव्यापकता से तुलना करना उपयोगी है। वास्तविक रेखा और सुचारू कार्यों के सेट पर, हम जिन उदाहरणों के साथ पहली बार विचार करते हैं (बीजगणितीय/तर्कसंगत संख्याएं और विश्लेषणात्मक कार्य) अधिकांश मामलों की तुलना में कहीं बेहतर व्यवहार करते हैं: अनुवांशिक संख्याएं और कहीं भी विश्लेषणात्मक कार्यों का पूर्ण माप नहीं होता है (उनके पूरक अल्प हैं)।

इस प्रकार वर्णित स्थिति जटिल अवकलनीय फलनों के विपरीत है। यदि कोई जटिल फलन खुले समुच्चय पर केवल एक बार अवकलनीय है, तो वह उस समुच्चय पर अपरिमित रूप से अवकलनीय और विश्लेषणात्मक दोनों है.

एकता के सहज विभाजन

दिए गए बंद समर्थन (गणित) के साथ सुचारू कार्यों का उपयोग एकता के सुचारू विभाजन के निर्माण में किया जाता है (देखें एकता का विभाजन और टोपोलॉजी शब्दावली); ये चिकनी मैनिफोल्ड्स के अध्ययन में आवश्यक हैं, उदाहरण के लिए यह दिखाने के लिए कि रीमैनियन मेट्रिक्स को उनके स्थानीय अस्तित्व से शुरू करके विश्व स्तर पर परिभाषित किया जा सकता है। एक साधारण मामला वास्तविक रेखा पर एक बम्प फ़ंक्शन का है, जो कि एक सुचारू फ़ंक्शन f है जो एक अंतराल के बाहर मान 0 लेता है [a,b] और ऐसा है कि

$$f(x)>0\quad {\text{ for }}\quad a<x<b.\,$$

लाइन पर कई अतिव्यापी अंतरालों को देखते हुए, उनमें से प्रत्येक पर और अर्ध-अनंत अंतराल पर बंप फ़ंक्शन का निर्माण किया जा सकता है $(-\infty ,c]$ तथा $[d,+\infty )$ पूरी लाइन को कवर करने के लिए, जैसे कि कार्यों का योग हमेशा 1 होता है।

जो अभी कहा गया है, उससे एकता के विभाजन होलोमोर्फिक कार्यों पर लागू नहीं होते हैं; अस्तित्व और विश्लेषणात्मक निरंतरता के सापेक्ष उनका अलग व्यवहार शेफ (गणित) सिद्धांत की जड़ों में से एक है। इसके विपरीत, सुचारू कार्यों के शीशों में अधिक टोपोलॉजिकल जानकारी नहीं होती है।

कई गुना पर और उसके बीच सुचारू कार्य

एक अलग कई गुना दिया गया $M$, आयाम का $m,$ और एक एटलस (टोपोलॉजी) ${\mathfrak {U}}=\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\}_{\alpha },$ फिर एक नक्शा $f:M\to \mathbb {R}$ चिकना है $M$ अगर सभी के लिए $p\in M$ एक चार्ट मौजूद है $(U,\phi )\in {\mathfrak {U}},$ ऐसा है कि $p\in U,$ तथा $f\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \mathbb {R}$ के पड़ोस से एक सुचारू कार्य है $\phi (p)$ में $\mathbb {R} ^{m}$ प्रति $\mathbb {R}$ (किसी दिए गए क्रम तक सभी आंशिक व्युत्पन्न निरंतर हैं)। एटलस के किसी भी चार्ट (टोपोलॉजी) के संबंध में चिकनाई की जाँच की जा सकती है जिसमें $p,$ चूंकि चार्ट के बीच संक्रमण कार्यों पर सुगमता की आवश्यकताएं सुनिश्चित करती हैं कि यदि $f$पास चिकना है $p$ एक चार्ट में यह करीब चिकना होगा $p$ किसी अन्य चार्ट में।

यदि $F:M\to N$ से एक नक्शा है $M$ यदि $n$-आयामी कई गुना $N$, फिर $F$ चिकना है अगर, हर के लिए $p\in M,$ एक चार्ट है $(U,\phi )$ युक्त $p,$ और एक चार्ट $(V,\psi )$ युक्त $F(p)$ ऐसा है कि $F(U)\subset V,$ तथा $\psi \circ F\circ \phi ^{-1}:\phi (U)\to \psi (V)$ से एक सुचारू कार्य है $\mathbb {R} ^{n}.$ मैनिफोल्ड्स के बीच चिकने नक्शे स्पर्शरेखा स्थानों के बीच रैखिक मानचित्रों को प्रेरित करते हैं: for $F:M\to N$, प्रत्येक बिंदु पर पुशफ़ोरवर्ड (अंतर) (या अंतर) स्पर्शरेखा वैक्टर को मैप करता है $p$ स्पर्शरेखा सदिशों पर $F(p)$: $F_{*,p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N,$ और स्पर्शरेखा बंडल के स्तर पर, पुशफॉरवर्ड एक वेक्टर बंडल होमोमोर्फिज्म है: $F_{*}:TM\to TN.$ पुशफॉरवर्ड के लिए दोहरी पुलबैक (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) है, जो कोवेक्टर को खींचती है $N$ कोवेक्टर पर वापस $M,$ तथा $k$-फॉर्म टू $k$-रूप: $F^{*}:\Omega ^{k}(N)\to \Omega ^{k}(M).$ इस तरह मैनिफोल्ड्स के बीच सुचारू कार्य शेफ (गणित), जैसे वेक्टर फ़ील्ड और डिफरेंशियल फॉर्म, को एक मैनिफोल्ड से दूसरे में या यूक्लिडियन स्पेस में ले जा सकते हैं, जहां कई गुना पर इंटीग्रेशन जैसी गणनाओं को अच्छी तरह से समझा जाता है।

सुचारू कार्यों के साथ प्रीइमेज और पुशफॉरवर्ड, सामान्य तौर पर, अतिरिक्त मान्यताओं के बिना कई गुना नहीं होते हैं। रेगुलर पॉइंट्स के प्रीइमेज (यानी, अगर प्रीइमेज पर डिफरेंशियल गायब नहीं होता है) मैनिफोल्ड्स हैं; यह प्रीइमेज प्रमेय है। इसी तरह, एम्बेडिंग के साथ पुशफॉरवर्ड कई गुना हैं।

कई गुना उपसमुच्चय के बीच सुचारू कार्य

मैनिफोल्ड के मनमाने उपसमुच्चय के लिए सुगम मानचित्र की एक संगत धारणा है। यदि $f:X\to Y$ एक फंक्शन (गणित) है जिसके एक फंक्शन का डोमेन और एक फंक्शन की रेंज मैनिफोल्ड्स के सबसेट हैं $X\subseteq M$ तथा $Y\subseteq N$ क्रमश। $f$ चिकनी कहा जाता है अगर सभी के लिए $x\in X$ एक खुला सेट है $U\subseteq M$ साथ $x\in U$ और एक सुचारू कार्य $F:U\to N$ ऐसा है कि $F(p)=f(p)$ सभी के लिए $p\in U\cap X.$

यह भी देखें

• Discontinuity
• Hadamard's lemma
• Non-analytic smooth function
• Quasi-analytic function
• Singularity (mathematics)
• Sinuosity
• Smooth scheme
• Smooth number (संख्या सिद्धांत)
• Smoothing
• Spline
• सोबोलेव मैपिंग