टॉर्शन टेंसर

For other uses, see Torsion (disambiguation) and Torsion field (disambiguation).

File:Torsion along a geodesic.svg

जियोडेसिक के साथ मरोड़।

विभेदक ज्यामिति में, आघूर्ण बल की धारणा एक वक्र के चारों ओर एक गतिमान तंत्र के मोड़ या पेंच सिद्धांत को चिह्नित करने का एक तरीका है। वक्र का मरोड़, जैसा कि फ्रेनेट-सेरेट फ़ार्मुलों में प्रकट होता है, उदाहरण के लिए, इसके स्पर्शरेखा सदिश के बारे में एक वक्र के मोड़ की मात्रा निर्धारित करता है क्योंकि वक्र विकसित होता है (या स्पर्शरेखा सदिश के बारे में फ़्रेनेट-सेरेट फ़्रेम का रोटेशन)। सतहों की ज्यामिति में, जियोडेसिक मरोड़ वर्णन करता है कि कैसे एक सतह सतह पर एक वक्र के बारे में मुड़ जाती है। वक्रता की साथी धारणा यह मापती है कि कैसे चलते हुए फ्रेम बिना मुड़े वक्र के साथ लुढ़कते हैं।

अधिक आम तौर पर, एक एफ़िन कनेक्शन (यानी, स्पर्शरेखा बंडल में एक कनेक्शन (वेक्टर बंडल)) से लैस एक अलग-अलग मैनिफोल्ड पर, मरोड़ और वक्रता कनेक्शन के दो मूलभूत आविष्कारों का निर्माण करते हैं। इस संदर्भ में, मरोड़ एक आंतरिक लक्षण वर्णन देता है कि कैसे स्पर्शरेखा रिक्त स्थान एक वक्र के बारे में मुड़ते हैं जब वे समानांतर परिवहन करते हैं; जबकि वक्रता बताती है कि कैसे स्पर्शरेखा रिक्त स्थान वक्र के साथ घूमती है। मरोड़ को ठोस रूप से एक टेन्सर के रूप में वर्णित किया जा सकता है, या वेक्टर-वैल्यू फॉर्म के रूप में | वेक्टर-वैल्यू 2-फॉर्म मैनिफोल्ड पर। अगर ∇ डिफरेंशियल मैनिफोल्ड पर एक एफ़िन कनेक्शन है, तो वेक्टर फ़ील्ड्स X और Y के संदर्भ में मरोड़ वाले टेंसर को परिभाषित किया जाता है।

$T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]$

जहां [X,Y] सदिश क्षेत्रों का लाइ ब्रैकेट है।

जियोडेसिक्स की ज्यामिति के अध्ययन में मरोड़ विशेष रूप से उपयोगी है। पैरामीट्रिज्ड जियोडेसिक्स की एक प्रणाली को देखते हुए, उन जियोडेसिक्स वाले एफाइन कनेक्शन के एक वर्ग को निर्दिष्ट कर सकते हैं, लेकिन उनके मरोड़ से भिन्न होते हैं। एक अनूठा कनेक्शन है जो मरोड़ को अवशोषित करता है, लेवी-सिविता कनेक्शन को अन्य, संभवतः गैर-मीट्रिक स्थितियों (जैसे फिन्सलर ज्यामिति) के लिए सामान्यीकृत करता है। मरोड़ के साथ एक संबंध और बिना मरोड़ के संबंधित संबंध के बीच का अंतर एक टेंसर है, जिसे कंटोर्शन टेंसर कहा जाता है। जी-संरचनाओं और कार्टन की तुल्यता पद्धति के अध्ययन में मरोड़ का अवशोषण भी एक मौलिक भूमिका निभाता है। संबंधित प्रक्षेप्य कनेक्शन के माध्यम से, जियोडेसिक्स के अप्रतिबंधित परिवारों के अध्ययन में मरोड़ भी उपयोगी है। सापेक्षता सिद्धांत में, इस तरह के विचारों को आइंस्टीन-कार्टन सिद्धांत के रूप में लागू किया गया है।

मरोड़ टेंसर

M को स्पर्शरेखा बंडल (उर्फ सहसंयोजक व्युत्पन्न) ∇ पर एक affine कनेक्शन के साथ कई गुना होने दें। ∇ का 'मरोड़ टेन्सर' (कभी-कभी कार्टन (मरोड़) टेन्सर कहा जाता है) सदिश-मूल्यवान रूप है | सदिश-मूल्यवान 2-रूप सदिश क्षेत्रों X और Y पर परिभाषित

$T(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]$

कहाँ पे [X, Y] दो सदिश क्षेत्रों के सदिश क्षेत्रों का लाई कोष्ठक है। लीबनिज नियम (सामान्यीकृत उत्पाद नियम) द्वारा, किसी भी सुचारू कार्य f के लिए T(fX, Y) = T(X, fY) = fT(X, Y)। इसलिए टी टेंसोरियल है, कनेक्शन (वेक्टर बंडल) के संदर्भ में परिभाषित होने के बावजूद, जो एक प्रथम क्रम अंतर ऑपरेटर है: यह स्पर्शरेखा वैक्टर पर 2-फॉर्म देता है, जबकि सहसंयोजक व्युत्पन्न केवल वेक्टर क्षेत्रों के लिए परिभाषित किया गया है।

मरोड़ टेंसर के घटक

आघूर्ण बल प्रदिश के घटक $T^{c}{}_{ab}$ सदिश स्थान के स्थानीय आधार के संदर्भ में (e₁, ..., e_n) स्पर्शरेखा बंडल के खंड (फाइबर बंडल) की स्थापना करके प्राप्त किया जा सकता है X = e_i, Y = e_j और कम्यूटेटर गुणांक का परिचय देकर γ^k_ije_k := [e_i, e_j]. मरोड़ के घटक तब हैं

$T^{k}{}_{ij}:=\Gamma ^{k}{}_{ij}-\Gamma ^{k}{}_{ji}-\gamma ^{k}{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.$

यहां ${\Gamma ^{k}}_{ij}$ कनेक्शन को परिभाषित करने वाले कनेक्शन गुणांक हैं। यदि आधार होलोनोमिक आधार है तो झूठ कोष्ठक गायब हो जाते हैं, $\gamma ^{k}{}_{ij}=0$. इसलिए $T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}$. विशेष रूप से (नीचे देखें), जबकि जियोडेसिक कनेक्शन के सममित भाग को निर्धारित करता है, मरोड़ टेंसर एंटीसिमेट्रिक भाग को निर्धारित करता है।

मरोड़ रूप

मरोड़ रूप, मरोड़ का एक वैकल्पिक लक्षण वर्णन, कई गुना एम के फ्रेम बंडल एफएम पर लागू होता है। यह प्रिंसिपल बंडल एक कनेक्शन (प्रिंसिपल बंडल) ω, a gl(n) से लैस है - वैल्यू वन-फॉर्म जो gl(n' में सही एक्शन के जनरेटर के लिए वर्टिकल वैक्टर को मैप करता है। ') और FM के स्पर्शरेखा बंडल पर GL(n) की सही क्रिया को समान रूप से परस्पर जोड़ता है, जो कि gl(n) पर एक लाइ समूह के आसन्न प्रतिनिधित्व के साथ है। फ्रेम बंडल में एक सोल्डर फॉर्म भी होता है। कैनोनिकल वन-फॉर्म θ, आर में मानों के साथⁿ, एक फ्रेम में परिभाषित u ∈ F_xM (एक रैखिक कार्य के रूप में माना जाता है u : Rn → T_xM) द्वारा

$\theta (X)=u^{-1}(\pi _{*}(X))$

कहाँ पे π  : FM → M प्रिंसिपल बंडल के लिए प्रोजेक्शन मैपिंग है और π∗ इसका पुश-फॉरवर्ड है। मरोड़ रूप तब है

$\Theta =d\theta +\omega \wedge \theta .$

समतुल्य रूप से, Θ = Dθ, जहां D संबंध द्वारा निर्धारित बाह्य सहपरिवर्ती व्युत्पन्न है।

मरोड़ रूप 'आर' में मूल्यों के साथ एक (क्षैतिज) तन्य रूप हैⁿ, जिसका अर्थ है कि की सही कार्रवाई के तहत g ∈ GL(n) यह समान रूप से रूपांतरित होता है:

$R_{g}^{*}\Theta =g^{-1}\cdot \Theta$

जहां जी 'आर' पर अपने आसन्न प्रतिनिधित्व के माध्यम से दाहिने हाथ की ओर कार्य करता है^एन.

एक फ्रेम में मरोड़ रूप

See also: connection form

टेंगेंट बंडल के एक विशेष फ्रेम में लिखे गए बेस मैनिफोल्ड एम पर एक कनेक्शन फॉर्म के रूप में टॉर्सन फॉर्म को व्यक्त किया जा सकता है (e₁, ..., e_n). कनेक्शन प्रपत्र इन बुनियादी वर्गों के बाहरी सहसंयोजक व्युत्पन्न को व्यक्त करता है:

$D\mathbf {e} _{i}=\mathbf {e} _{j}{\omega ^{j}}_{i}.$

स्पर्शरेखा बंडल (इस फ्रेम के सापेक्ष) के लिए सोल्डर फॉर्म दोहरा आधार है θⁱ ∈ T^∗M तुझ से_i, ताकि θⁱ(e_j) = δⁱ_j (क्रोनेकर डेल्टा)। फिर मरोड़ 2-रूप में घटक होते हैं

$\Theta ^{k}=d\theta ^{k}+{\omega ^{k}}_{j}\wedge \theta ^{j}={T^{k}}_{ij}\theta ^{i}\wedge \theta ^{j}.$

सबसे सही अभिव्यक्ति में,

${T^k}_{ij}={\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^k({\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{{\mathbf{e}}_i}{\mathbf{e}}_j-<!--\; -\; -->{}_{}$