विकर्ण

For the avenue in Barcelona, see Avinguda Diagonal. For the Spanish newspaper, see Diagonal (newspaper).

File:Cube diagonals.svg

भुजा की लंबाई 1 वाले घन के विकर्ण। AC' (नीले रंग में दिखाया गया है) लंबाई के साथ एक अंतरिक्ष विकर्ण है ${\sqrt {3}}$, जबकि AC (लाल रंग में दिखाया गया है) एक फलक विकर्ण है और इसकी लंबाई है ${\sqrt {2}}$.

ज्यामिति में, एक विकर्ण एक बहुभुज या बहुतल के दो शीर्षों (ज्यामिति) को जोड़ने वाला एक रेखा खंड होता है, जब वे शीर्ष एक ही किनारे (ज्यामिति) पर नहीं होते हैं। अनौपचारिक रूप से, किसी भी झुकी हुई रेखा को विकर्ण कहा जाता है। विकर्ण शब्द प्राचीन यूनानी διαγώνιος डायगोनियोस से निकला है, कोण से कोण तक (διά- दीया-, के माध्यम से, पार और γωνία गोनिया, कोण, गोनी घुटने से संबंधित); इसका उपयोग स्ट्रैबो दोनों द्वारा किया गया था और यूक्लिड समचतुर्भुज या घनाभ के दो शीर्षों को जोड़ने वाली रेखा को संदर्भित करने के लिए, और बाद में लैटिन में डायगोनस (तिरछी रेखा) के रूप में अपनाया गया।

मैट्रिक्स बीजगणित में, एक वर्ग मैट्रिक्स (गणित) के विकर्ण में ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएं कोने तक की रेखा पर प्रविष्टियाँ होती हैं।

अन्य, गैर-गणितीय उपयोग भी हैं।

गैर-गणितीय उपयोग

एक घर के निर्माण स्थल पर बुनियादी मचान का एक स्टैंड, इसकी संरचना को बनाए रखने के लिए विकर्ण ब्रेसिज़ के साथ

अभियांत्रिकी में, एक विकर्ण ब्रेस एक बीम है जिसका उपयोग एक आयताकार संरचना (जैसे मचान) को मजबूती से धकेलने के लिए किया जाता है; हालांकि एक विकर्ण कहा जाता है, व्यावहारिक विचारों के कारण विकर्ण ब्रेसिज़ अक्सर आयत के कोनों से जुड़े नहीं होते हैं।

विकर्ण सरौता तार काटने वाले सरौता हैं जो जबड़े के काटने वाले किनारों द्वारा परिभाषित होते हैं जो संयुक्त कीलक को एक कोण पर या एक विकर्ण पर काटते हैं, इसलिए यह नाम है।

विकर्ण दंड एक प्रकार का लैशिंग है जिसका उपयोग स्पार्स या डंडे को एक साथ बांधने के लिए किया जाता है ताकि लैशिंग एक कोण पर डंडे के ऊपर से पार हो जाए।

फ़ुटबॉल संघ में, विकर्ण (फ़ुटबॉल) नियंत्रण प्रणाली वह विधि है जो रेफरी और सहायक रेफरी पिच के चार चतुर्भुजों में से एक में खुद को स्थापित करने के लिए उपयोग करते हैं।

File:Display size measurements.png

विकर्ण द्वि-आयामी प्रदर्शन आकार का एक सामान्य माप है।

बहुभुज

जैसा कि एक बहुभुज पर लागू होता है, एक विकर्ण किसी भी दो गैर-लगातार शीर्षों को जोड़ने वाला रेखा खंड होता है। इसलिए, एक चतुर्भुज के दो विकर्ण होते हैं, जो शीर्षों के विपरीत युग्मों को मिलाते हैं। किसी भी उत्तल बहुभुज के लिए, सभी विकर्ण बहुभुज के अंदर होते हैं, लेकिन पुन: प्रवेश करने वाले बहुभुजों के लिए, कुछ विकर्ण बहुभुज के बाहर होते हैं।

कोई भी n-भुजा बहुभुज (n ≥ 3), उत्तल बहुभुज या अवतल बहुभुज, होता है ${\tfrac {n(n-3)}{2}}$ विकर्ण, क्योंकि प्रत्येक शीर्ष में स्वयं और दो आसन्न शीर्षों, या n − 3 विकर्णों को छोड़कर अन्य सभी शीर्षों के विकर्ण होते हैं, और प्रत्येक विकर्ण को दो शीर्षों द्वारा साझा किया जाता है।

Sides Diagonals 3 0 4 2 5 5 6 9 7 14 8 20 9 27 10 35

Sides Diagonals 11 44 12 54 13 65 14 77 15 90 16 104 17 119 18 135

Sides Diagonals 19 152 20 170 21 189 22 209 23 230 24 252 25 275 26 299

Sides Diagonals 27 324 28 350 29 377 30 405 31 434 32 464 33 495 34 527

Sides Diagonals 35 560 36 594 37 629 38 665 39 702 40 740 41 779 42 819

विकर्णों द्वारा गठित क्षेत्र

एक उत्तल बहुभुज में, यदि कोई भी तीन विकर्ण आंतरिक में एक बिंदु पर समवर्ती रेखाएँ नहीं हैं, तो विकर्ण आंतरिक भाग को विभाजित करने वाले क्षेत्रों की संख्या द्वारा दी गई है

${\binom {n}{4}}+{\binom {n-1}{2}}={\frac {(n-1)(n-2)(n^{2}-3n+12)}{24}}.$

n = 3, 4, ... के साथ n-gons के लिए क्षेत्रों की संख्या है

1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246...

यह OEIS अनुक्रम A006522 है।

विकर्णों के प्रतिच्छेदन

यदि एक उत्तल बहुभुज के कोई भी तीन विकर्ण अंतः में किसी बिंदु पर संगामी नहीं हैं, तो विकर्णों के आंतरिक चौराहों की संख्या इस प्रकार दी गई है ${\binom {n}{4}}$. यह, उदाहरण के लिए, विषम संख्या में भुजाओं वाले किसी भी नियमित बहुभुज के लिए लागू होता है। सूत्र इस तथ्य से अनुसरण करता है कि प्रत्येक चौराहा विशिष्ट रूप से दो अन्तर्विभाजक विकर्णों के चार समापन बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया जाता है: चौराहों की संख्या इस प्रकार एक समय में चार n कोने के संयोजन की संख्या है।

नियमित बहुभुज

See also: Quadrilateral § Diagonals, Hexagon § Convex equilateral hexagon, and Heptagon § Diagonals and heptagonal triangle

भुजाओं की सम या विषम संख्या वाले नियमित बहुभुजों में सबसे लंबे विकर्ण की लंबाई की गणना करने के लिए अलग-अलग सूत्र मौजूद हैं।

n भुजाओं और पार्श्व लंबाई a के साथ सम-पक्षीय नियमित बहुभुज में, सबसे लंबे विकर्ण की लंबाई इसके परिवृत्त के व्यास के बराबर होती है क्योंकि लंबे विकर्ण सभी बहुभुज के केंद्र में एक-दूसरे को काटते हैं। यह निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है।

$d={\frac {a}{\sin(\pi /n)}}={\frac {a}{\sin(180/n){\text{ degrees}}}}.$

भुजा की लंबाई a के साथ किसी विषम-भुजा वाले नियमित n-भुजा वाले बहुभुज (n ≥ 5) के सबसे लंबे विकर्ण की लंबाई निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी गई है।

$d={\frac {a}{2\sin(\pi /2n)}}={\frac {a}{2\sin(90/n){\text{ degrees}}}}.$

बहुभुज के सबसे छोटे विकर्ण की लंबाई की गणना निम्नलिखित सूत्र के साथ सभी बहुभुजों (n ≥ 4) के लिए भी की जा सकती है। जैसे-जैसे भुजाओं की संख्या अनंत तक पहुँचती है, सबसे छोटा विकर्ण 2a तक पहुँचता है।

$d=2a\cos(\pi /n)=2a\cos(180/n){\text{ degrees}}.$

ये उस त्रिभुज के लिए लागू नहीं होते हैं जिसका कोई विकर्ण नहीं है।
विशेष मामलों में शामिल हैं:

एक वर्ग में समान लंबाई के दो विकर्ण होते हैं, जो वर्ग के केंद्र पर प्रतिच्छेद करते हैं। एक विकर्ण का एक भुजा से अनुपात होता है ${\sqrt {2}}\approx 1.414.$ एक नियमित पेंटागन में समान लंबाई के पाँच विकर्ण होते हैं। एक भुजा के विकर्ण का अनुपात सुनहरा अनुपात है, ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618.$ एक नियमित षट्भुज में नौ विकर्ण होते हैं: छह छोटे विकर्ण लंबाई में एक दूसरे के बराबर होते हैं; तीन लंबे वाले लंबाई में एक दूसरे के बराबर हैं और षट्भुज के केंद्र में एक दूसरे को काटते हैं। एक लंबे विकर्ण का एक भुजा से अनुपात 2 है, और एक छोटे विकर्ण का एक भुजा से अनुपात है ${\sqrt {3}}$.

एक सम सप्तभुज में 14 विकर्ण होते हैं। सात छोटे एक दूसरे के बराबर हैं, और सात बड़े एक दूसरे के बराबर हैं। पक्ष का व्युत्क्रम एक छोटे और एक लंबे विकर्ण के व्युत्क्रम के योग के बराबर होता है।

सामान्य तौर पर एक नियमित एन-गॉन होता है $\lfloor {\frac {n-2}{2}}\rfloor$ लंबाई में अलग-अलग विकर्ण, जो एक वर्ग से शुरू होकर पैटर्न 1,1,2,2,3,3... का अनुसरण करता है।

पॉलीहेड्रॉन

एक पॉलीहेड्रॉन (त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक ठोस वस्तु, द्वि-आयामी अंतरिक्ष से घिरा हुआ है| द्वि-आयामी चेहरा (ज्यामिति)) में दो अलग-अलग प्रकार के विकर्ण हो सकते हैं: विभिन्न चेहरों पर चेहरे के विकर्ण, एक ही पर गैर-आसन्न कोने को जोड़ते हुए चेहरा; और अंतरिक्ष विकर्ण, पूरी तरह से पॉलीहेड्रॉन के आंतरिक भाग में (कोने पर अंत बिंदुओं को छोड़कर)।

जिस प्रकार एक त्रिभुज का कोई विकर्ण नहीं होता है, उसी प्रकार एक चतुष्फलक (चार त्रिभुजाकार फलकों के साथ) का कोई फलक विकर्ण नहीं होता है और कोई स्थान विकर्ण नहीं होता है।

एक घनाभ के छह फलकों और चार अंतरिक्ष विकर्णों में से प्रत्येक पर दो विकर्ण होते हैं।

मैट्रिक्स

एक स्क्वायर मैट्रिक्स के लिए, विकर्ण (मुख्य विकर्ण या मुख्य विकर्ण का) शीर्ष-बाएँ कोने से नीचे-दाएँ कोने तक चलने वाली प्रविष्टियों की विकर्ण रेखा है। एक मैट्रिक्स के लिए $A$ द्वारा निर्दिष्ट पंक्ति सूचकांक के साथ $i$ और कॉलम इंडेक्स द्वारा निर्दिष्ट $j$, ये प्रविष्टियां होंगी $A_{ij}$ साथ $i=j$. उदाहरण के लिए, पहचान मैट्रिक्स को मुख्य विकर्ण पर 1 की प्रविष्टियां और कहीं और शून्य के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

शीर्ष-दाएं से नीचे-बाएं विकर्ण को कभी-कभी मामूली विकर्ण या एंटीडायगोनल के रूप में वर्णित किया जाता है।

ऑफ-विकर्ण प्रविष्टियां वे हैं जो मुख्य विकर्ण पर नहीं हैं। एक विकर्ण मैट्रिक्स वह है जिसकी ऑफ-विकर्ण प्रविष्टियाँ सभी शून्य हैं। एक सुपरडायगोनल प्रविष्टि वह है जो सीधे ऊपर और मुख्य विकर्ण के दाईं ओर है। जैसे विकर्ण प्रविष्टियाँ हैं $A_{ij}$ साथ $j=i$, सुपरडाइगोनल प्रविष्टियाँ वे हैं जिनके साथ $j=i+1$. उदाहरण के लिए, निम्नलिखित मैट्रिक्स की गैर-शून्य प्रविष्टियां सुपरडाइगोनल में स्थित हैं:

${\begin{pmatrix}0&2&0\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}$

इसी तरह, एक सबडायगोनल प्रविष्टि वह है जो सीधे नीचे और मुख्य विकर्ण के बाईं ओर है, जो कि एक प्रविष्टि है $A_{ij}$ साथ $j=i-1$. सामान्य मैट्रिक्स विकर्णों को एक सूचकांक द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है $k$ मुख्य विकर्ण के सापेक्ष मापा जाता है: मुख्य विकर्ण में होता है $k=0$; सुपरडायगोनल है $k=1$; सबडायगोनल है $k=-1$; और सामान्य तौर पर, $k$-विकर्ण में प्रविष्टियाँ होती हैं $A_{ij}$ साथ $j=i+k$.

ज्यामिति

समानता से, किसी भी सेट एक्स के कार्टेशियन उत्पाद एक्स × एक्स का सबसेट, जिसमें सभी जोड़े (एक्स, एक्स) शामिल हैं, को विकर्ण कहा जाता है, और समानता (गणित) संबंध (गणित) के संबंध का ग्राफ है ) X पर या समकक्ष रूप से X से X तक पहचान फ़ंक्शन के फ़ंक्शन का ग्राफ़। यह ज्यामिति में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है; उदाहरण के लिए, किसी फलन (गणित) के नियत बिंदु (गणित) को X से स्वयं F के ग्राफ को विकर्ण के साथ प्रतिच्छेद करके प्राप्त किया जा सकता है।

ज्यामितीय अध्ययनों में, विकर्ण को स्वयं से प्रतिच्छेद करने का विचार सामान्य है, प्रत्यक्ष रूप से नहीं, बल्कि एक तुल्यता वर्ग के भीतर इसे परेशान करके। यह गहरे स्तर पर यूलर विशेषता और सदिश क्षेत्रों के शून्य से संबंधित है। उदाहरण के लिए, घेरा एस¹ में बेट्टी नंबर 1, 1, 0, 0, 0, और इसलिए यूलर विशेषता 0 है। इसे व्यक्त करने का एक ज्यामितीय तरीका दो-टोरस्र्स एस पर विकर्ण को देखना है।¹xS¹ और निरीक्षण करें कि यह छोटी गति (θ, θ) से (θ, θ + ε) तक स्वयं से दूर जा सकता है। सामान्य तौर पर, विकर्ण के साथ किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की प्रतिच्छेदन संख्या की गणना Lefschetz निश्चित-बिंदु प्रमेय के माध्यम से होमोलॉजी का उपयोग करके की जा सकती है; विकर्ण का स्व-चौराहा पहचान समारोह का विशेष मामला है।

यह भी देखें

• जॉर्डन का सामान्य रूप
• मुख्य विकर्ण
• विकर्ण फ़ैक्टर

संदर्भ

• Bronson, Richard (1970), Matrix Methods: An Introduction, New York: Academic Press, LCCN 70097490
• Cullen, Charles G. (1966), Matrices and Linear Transformations, Reading: Addison-Wesley, LCCN 66021267
• Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
• Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd ed.), New York: Wiley, LCCN 76091646

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• घनक्षेत्र
• चेहरा विकर्ण
• शिखर (ज्यामिति)
• किनारा (ज्यामिति)
• विषमकोण
• विकर्ण (फुटबॉल)
• चतुष्कोष
• पुन: प्रवेशी बहुभुज
• त्रिकोण
• सातकोणक
• चतुर्पाश्वीय
• द्वि-आयामी स्थान
• त्रि-आयामी स्थान
• कार्तीय गुणन
• पहचान समारोह
• वेक्टर क्षेत्र
• किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़
• निश्चित बिंदु (गणित)
• समारोह (गणित)
• किसी संबंध का ग्राफ़
• Lefschetz फिक्स्ड-पॉइंट प्रमेय
• जॉर्डन सामान्य रूप

बाहरी संबंध

• Diagonals of a polygon with interactive animation
• Polygon diagonal from MathWorld.
• Diagonal of a matrix from MathWorld.