हाइड्रोडायनामिक स्थिरता

एक स्थिर प्रवाह से अशांत प्रवाह तक संक्रमण का एक सरल आरेख।ए) स्थिर, बी) अशांत

द्रव की गतिशीलता में, हाइड्रोडायनामिक स्थिरता वह क्षेत्र है जो स्थिरता और द्रव प्रवाह की अस्थिरता की शुरुआत का विश्लेषण करता है।हाइड्रोडायनामिक स्थिरता के अध्ययन का उद्देश्य यह पता लगाना है कि क्या किसी दिए गए प्रवाह को स्थिर या अस्थिर है, और यदि हां, तो इन अस्थिरता कैसे अशांति के विकास का कारण बनेगी। हाइड्रोडायनामिक स्थिरता की नींव, दोनों सैद्धांतिक और प्रयोगात्मक, हेल्महोल्ट्ज़, विलियम थॉमसन, 1 बैरन केल्विन | केल्विन, जॉन स्ट्रैट, 3rd बैरन रेलेह। रेले और रेनॉल्ड्स द्वारा उन्नीसवीं शताब्दी के दौरान सबसे विशेष रूप से रखी गई थी।इन नींवों ने हाइड्रोडायनामिक स्थिरता का अध्ययन करने के लिए कई उपयोगी उपकरण दिए हैं।इनमें रेनॉल्ड्स नंबर, यूलर समीकरण और नवियर -स्टोक्स समीकरण शामिल हैं।प्रवाह स्थिरता का अध्ययन करते समय यह अधिक सरलीकृत प्रणालियों को समझने के लिए उपयोगी है, उदा।असंगत और आक्रामक तरल पदार्थ जो तब अधिक जटिल प्रवाह पर आगे विकसित किए जा सकते हैं।1980 के दशक के बाद से, अधिक जटिल प्रवाह को मॉडल और विश्लेषण करने के लिए अधिक कम्प्यूटेशनल तरीकों का उपयोग किया जा रहा है।

स्थिर और अस्थिर प्रवाह

द्रव प्रवाह के विभिन्न राज्यों के बीच अंतर करने के लिए किसी को यह विचार करना चाहिए कि द्रव प्रारंभिक अवस्था में गड़बड़ी के लिए कैसे प्रतिक्रिया करता है। ये गड़बड़ी प्रणाली के प्रारंभिक गुणों से संबंधित होंगी, जैसे कि वेग, दबाव और घनत्व।जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने स्थिर और अस्थिर प्रवाह की गुणात्मक अवधारणा को अच्छी तरह से व्यक्त किया जब उन्होंने कहा:<clockquote> जब वर्तमान स्थिति की एक असीम रूप से छोटी भिन्नता केवल एक असीम रूप से छोटी मात्रा में कुछ भविष्य के समय में बदल जाएगी, तो सिस्टम की स्थिति, चाहे वह आराम से हो या गति में, स्थिर हो, लेकिन जब असीम रूप से छोटा होवर्तमान स्थिति में भिन्नता एक परिमित समय में सिस्टम की स्थिति में एक परिमित अंतर ला सकती है, सिस्टम को अस्थिर कहा जाता है।

इसका मतलब है कि एक स्थिर प्रवाह के लिए, किसी भी असीम रूप से छोटी भिन्नता, जिसे एक गड़बड़ी माना जाता है, सिस्टम की प्रारंभिक स्थिति पर कोई ध्यान देने योग्य प्रभाव नहीं होगा और अंततः समय में मर जाएगा।एक द्रव प्रवाह को स्थिर माना जाता है, यह हर संभव गड़बड़ी के संबंध में स्थिर होना चाहिए।इसका तात्पर्य यह है कि गड़बड़ी का कोई तरीका मौजूद नहीं है जिसके लिए यह अस्थिर है।

दूसरी ओर, एक अस्थिर प्रवाह के लिए, किसी भी भिन्नता का सिस्टम की स्थिति पर कुछ ध्यान देने योग्य प्रभाव पड़ेगा, जो तब गड़बड़ी को इस तरह से आयाम में बढ़ने का कारण होगा कि सिस्टम उत्तरोत्तर प्रारंभिक अवस्था से प्रस्थान करता है और कभी नहीं लौटता है।यह।इसका मतलब यह है कि कम से कम एक गड़बड़ी की गड़बड़ी है जिसके संबंध में प्रवाह अस्थिर है, और गड़बड़ी इसलिए मौजूदा बल संतुलन को विकृत करेगी।

प्रवाह स्थिरता का निर्धारण

रेनॉल्ड्स संख्या

एक प्रवाह की स्थिरता को निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जाने वाला एक प्रमुख उपकरण रेनॉल्ड्स नंबर (आरई) है, जो पहले 1850 के दशक की शुरुआत में जॉर्ज गेब्रियल स्टोक्स द्वारा आगे रखा गया था।ओसबोर्न रेनॉल्ड्स के साथ जुड़े, जिन्होंने 1880 के दशक की शुरुआत में इस विचार को विकसित किया, यह आयाम रहित संख्या जड़त्वीय शब्दों और चिपचिपा शब्दों का अनुपात देती है। एक भौतिक अर्थ में, यह संख्या उन बलों का अनुपात है जो द्रव (जड़त्वीय शब्दों) की गति के कारण होते हैं, और जो बल एक बहने वाले द्रव (चिपचिपा शब्दों) की विभिन्न परतों के सापेक्ष गति से उत्पन्न होते हैं।इसके लिए समीकरण है

$R_{e}={\frac {\text{inertial}}{\text{viscous}}}={\frac {\rho u^{2}}{\frac {\mu u}{L}}}={\frac {\rho uL}{\mu }}={\frac {uL}{\nu }}$

कहाँ पे

$\rho ={\text{density}}$

${\text{u}}={\text{velocity of the fluid flow}}$

$\mu ={\text{dynamic viscosity}}$ - कतरनी प्रवाह के लिए तरल पदार्थ प्रतिरोध को मापता है

${\text{L}}={\text{characteristic length}}$

$\nu ={\text{kinematic viscosity}}={\frac {\mu }{\rho }}$ - द्रव के घनत्व के लिए गतिशील चिपचिपापन का अनुपात

रेनॉल्ड्स संख्या उपयोगी है क्योंकि यह प्रवाह के लिए कट ऑफ अंक प्रदान कर सकता है जब प्रवाह स्थिर या अस्थिर है, अर्थात् महत्वपूर्ण रेनॉल्ड्स संख्या $R_{c}$।जैसे -जैसे यह बढ़ता है, एक गड़बड़ी का आयाम जो तब अस्थिरता को जन्म दे सकता है, छोटा हो सकता है।उच्च रेनॉल्ड्स संख्या में यह सहमति है कि द्रव प्रवाह अस्थिर होगा।उच्च रेनॉल्ड्स संख्या को कई तरीकों से प्राप्त किया जा सकता है, उदा।यदि $\mu$ एक छोटा मूल्य है या यदि $\rho$ तथा ${\text{u}}$ उच्च मूल्य हैं।इसका मतलब है कि अस्थिरता लगभग तुरंत उत्पन्न होगी और प्रवाह अस्थिर या अशांत हो जाएगा।

नवियर -स्टोक्स समीकरण और निरंतरता समीकरण

विश्लेषणात्मक रूप से द्रव प्रवाह की स्थिरता को खोजने के लिए, यह ध्यान रखना उपयोगी है कि हाइड्रोडायनामिक स्थिरता में अन्य क्षेत्रों में स्थिरता के साथ बहुत कुछ होता है, जैसे कि मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक्स, प्लाज्मा भौतिकी और लोच;यद्यपि प्रत्येक मामले में भौतिकी अलग है, गणित और उपयोग की जाने वाली तकनीकें समान हैं।आवश्यक समस्या nonlinear आंशिक अंतर समीकरणों द्वारा मॉडलिंग की जाती है और ज्ञात स्थिर और अस्थिर समाधानों की स्थिरता की जांच की जाती है।लगभग सभी हाइड्रोडायनामिक स्थिरता समस्याओं के लिए शासी समीकरण नवियर -स्टोक्स समीकरण और निरंतरता समीकरण हैं।नवियर -स्टोक्स समीकरण द्वारा दिया गया है:

${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\nabla p_{0}+\mathbf {b} .$

कहाँ पे

• $\mathbf {u} ={\text{velocity field of fluid}}$
• $p_{0}={\text{pressure of fluid}}$
• $\mathbf {b} ={\text{body force acting on fluid e.g gravity}}$
• $\nu ={\text{kinematic viscosity}}$
• ${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}={\text{partial derivative of the velocity field with respect to time}}$
• $\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$

यहां $\nabla$ समीकरण के बाएं हाथ की ओर वेग क्षेत्र पर अभिनय करने वाले ऑपरेटर के रूप में उपयोग किया जा रहा है और फिर दाहिने हाथ की तरफ दबाव पर काम कर रहा है।

और निरंतरता समीकरण द्वारा दिया गया है:

${\frac {D\mathbf {\rho } }{Dt}}+\rho \,\nabla \cdot \mathbf {u} =0$

कहाँ पे

• ${\frac {D\mathbf {\rho } }{Dt}}={\text{material derivative of the density}}$

एक बार फिर $\nabla$ एक ऑपरेटर के रूप में इस्तेमाल किया जा रहा है $\mathbf {u}$ और वेग के विचलन की गणना कर रहा है।

लेकिन अगर तरल पदार्थ पर विचार किया जा रहा है, तो यह असंगत है, जिसका अर्थ है कि घनत्व स्थिर है, तो ${\frac {D\mathbf {\rho } }{Dt}}=0$ और इसलिए:

$\nabla \cdot \mathbf {u} =0$

यह धारणा कि एक प्रवाह असंगत है एक अच्छा है और अधिकांश गति से यात्रा करने वाले अधिकांश तरल पदार्थों पर लागू होता है।यह इस फॉर्म की धारणा है जो कि एनरियर -स्टोक्स समीकरण को विभेदक समीकरणों में सरल बनाने में मदद करेगा, जैसे कि यूलर के समीकरण, जो काम करना आसान है।

यूलर का समीकरण

यदि कोई ऐसा प्रवाह मानता है जो आक्रामक है, तो यह वह जगह है जहां चिपचिपा बल छोटे होते हैं और इसलिए गणना में उपेक्षित किया जा सकता है, तो एक यूलर के समीकरणों पर आता है:

${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =-\nabla p_{0}$

यद्यपि इस मामले में हमने एक आक्रामक तरल पदार्थ माना है कि यह धारणा प्रवाह के लिए नहीं है जहां एक सीमा है।एक सीमा की उपस्थिति सीमा परत पर कुछ चिपचिपाहट का कारण बनती है जिसे उपेक्षित नहीं किया जा सकता है और एक नवियर -स्टोक्स समीकरण पर वापस आता है।विभिन्न परिस्थितियों में इन शासी समीकरणों के समाधान खोजना और उनकी स्थिरता का निर्धारण करना द्रव प्रवाह की स्थिरता का निर्धारण करने में मौलिक सिद्धांत है।

रैखिक स्थिरता विश्लेषण

यह निर्धारित करने के लिए कि क्या प्रवाह स्थिर है या अस्थिर है, एक अक्सर रैखिक स्थिरता विश्लेषण की विधि को नियोजित करता है।इस प्रकार के विश्लेषण में, शासी समीकरणों और सीमा की स्थिति रैखिक होती है।यह इस तथ्य पर आधारित है कि 'स्थिर' या 'अस्थिर' की अवधारणा एक असीम रूप से छोटी गड़बड़ी पर आधारित है।इस तरह की गड़बड़ी के लिए, यह मान लेना उचित है कि विभिन्न तरंग दैर्ध्य की गड़बड़ी स्वतंत्र रूप से विकसित होती है।(एक nonlinear शासी समीकरण विभिन्न तरंग दैर्ध्य की गड़बड़ी को एक दूसरे के साथ बातचीत करने की अनुमति देगा।)

प्रवाह स्थिरता का विश्लेषण

See also: Orr–Sommerfeld equation and Rayleigh's equation

द्विभाजन सिद्धांत

द्विभाजन सिद्धांत किसी दिए गए प्रवाह की स्थिरता का अध्ययन करने का एक उपयोगी तरीका है, किसी दिए गए सिस्टम की संरचना में होने वाले परिवर्तनों के साथ।हाइड्रोडायनामिक स्थिरता अंतर समीकरणों और उनके समाधानों की एक श्रृंखला है।एक द्विभाजन तब होता है जब सिस्टम के मापदंडों में एक छोटा सा परिवर्तन इसके व्यवहार में गुणात्मक परिवर्तन का कारण बनता है ,।हाइड्रोडायनामिक स्थिरता के मामले में जो पैरामीटर बदला जा रहा है, वह रेनॉल्ड्स संख्या है।यह दिखाया जा सकता है कि द्विभाजन की घटना अस्थिरताओं की घटना के अनुरूप आती है।

प्रयोगशाला और कम्प्यूटेशनल प्रयोग

प्रयोगशाला प्रयोग अधिक जटिल गणितीय तकनीकों का उपयोग किए बिना किसी दिए गए प्रवाह के बारे में जानकारी प्राप्त करने का एक बहुत ही उपयोगी तरीका है। कभी -कभी शारीरिक रूप से समय के साथ प्रवाह में परिवर्तन को देखना एक संख्यात्मक दृष्टिकोण के रूप में उपयोगी होता है और इन प्रयोगों से कोई भी निष्कर्ष अंतर्निहित सिद्धांत से संबंधित हो सकता है। प्रायोगिक विश्लेषण भी उपयोगी है क्योंकि यह एक को गवर्निंग मापदंडों को बहुत आसानी से अलग करने की अनुमति देता है और उनके प्रभाव दिखाई देंगे।

जब अधिक जटिल गणितीय सिद्धांतों जैसे द्विभाजन सिद्धांत और कमजोर रूप से गैर-सिद्धांत सिद्धांत के साथ काम करना, तो संख्यात्मक रूप से इस तरह की समस्याओं को हल करना बहुत मुश्किल और समय लेने वाला हो जाता है, लेकिन कंप्यूटरों की मदद से यह प्रक्रिया बहुत आसान और तेज हो जाती है। चूंकि 1980 के दशक का कम्प्यूटेशनल विश्लेषण अधिक से अधिक उपयोगी हो गया है, एल्गोरिदम का सुधार जो गवर्निंग समीकरणों को हल कर सकता है, जैसे कि नवियर -स्टोक्स समीकरण, का मतलब है कि उन्हें विभिन्न प्रकार के प्रवाह के लिए अधिक सटीक रूप से एकीकृत किया जा सकता है।

अनुप्रयोग

केल्विन -हेल्महोल्ट्ज़ अस्थिरता

[[File:Kelvin Helmholz wave clouds.jpg|thumb|383x383px | यह एक छवि है, जो सैन फ्रांसिस्को में कैप्चर की गई है, जो महासागर की लहर को दिखाती है जैसे कि केल्विन -हेल्महोल्ट्ज़ अस्थिरता के साथ जुड़े पैटर्न में क्लाउड्स में बनते हैं। केल्विन -हेल्महोल्ट्ज़ अस्थिरता (केएचआई) हाइड्रोडायनामिक स्थिरता का एक अनुप्रयोग है जो प्रकृति में देखा जा सकता है।।यह तब होता है जब अलग -अलग वेगों पर दो तरल पदार्थ बहते हैं।तरल पदार्थों के वेग में अंतर दो परतों के इंटरफ़ेस में एक कतरनी वेग का कारण बनता है।एक तरल पदार्थ का कतरनी वेग दूसरे पर एक कतरनी तनाव को प्रेरित करता है, जो कि यदि सतह के तनाव से अधिक है, तो उनके बीच इंटरफ़ेस के साथ एक अस्थिरता में परिणाम होता है।यह गति महासागर की लहरों को पलटने वाली एक श्रृंखला की उपस्थिति का कारण बनती है, केल्विन -हेल्महोल्ट्ज़ अस्थिरता की एक विशेषता।वास्तव में, स्पष्ट महासागर तरंग जैसी प्रकृति भंवर गठन का एक उदाहरण है, जो तब बनता है जब एक तरल पदार्थ कुछ अक्ष के बारे में घूम रहा होता है, और अक्सर इस घटना से जुड़ा होता है।

केल्विन -हेल्महोल्ट्ज़ अस्थिरता को सैटर्न और बृहस्पति जैसे ग्रहों के वायुमंडल में बैंड में देखा जा सकता है, उदाहरण के लिए विशाल रेड स्पॉट भंवर में।विशालकाय लाल स्थान के आसपास के माहौल में, केएचआई का सबसे बड़ा उदाहरण है, जो कि ज्ञात है और बृहस्पति के वातावरण की विभिन्न परतों के इंटरफ़ेस में कतरनी बल के कारण होता है।कई छवियों पर कब्जा कर लिया गया है, जहां महासागर-लहरों की तरह पहले चर्चा की गई विशेषताओं को स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है, जिसमें से 4 कतरनी परतें दिखाई देती हैं। मौसम के उपग्रह पानी के बड़े शरीर पर हवा की गति को मापने के लिए इस अस्थिरता का लाभ उठाते हैं।लहरें हवा से उत्पन्न होती हैं, जो इसके और आसपास की हवा के बीच के इंटरफ़ेस में पानी को कतराती है।सवार होने पर कंप्यूटर लहर की ऊंचाई को मापकर महासागर की खुरदरापन का निर्धारण करते हैं।यह रडार का उपयोग करके किया जाता है, जहां एक रेडियो सिग्नल सतह पर प्रेषित होता है और परावर्तित संकेत से देरी दर्ज की जाती है, जिसे उड़ान के समय के रूप में जाना जाता है।इस मौसम विज्ञानी से बादलों के आंदोलन और उनके पास अपेक्षित वायु अशांति को समझने में सक्षम हैं।

रेले -टायलर अस्थिरता

यह दो तरल पदार्थों के बीच होने वाली रेले -टायलर अस्थिरता का एक 2 डी मॉडल है।इस मॉडल में लाल तरल पदार्थ - शुरू में शीर्ष पर, और बाद में - एक अधिक घने द्रव का प्रतिनिधित्व करता है और नीला द्रव एक का प्रतिनिधित्व करता है जो कम घना होता है।

रेले -टायलर अस्थिरता हाइड्रोडायनामिक स्थिरता का एक और अनुप्रयोग है और दो तरल पदार्थों के बीच भी होता है लेकिन इस बार तरल पदार्थों की घनत्व अलग -अलग हैं। घनत्व में अंतर के कारण, दो तरल पदार्थ उनकी संयुक्त संभावित ऊर्जा को कम करने का प्रयास करेंगे। कम घने तरल पदार्थ अपने तरीके से ऊपर की ओर मजबूर करने की कोशिश करके ऐसा करेगा, और अधिक घना तरल पदार्थ नीचे की ओर अपने तरीके से मजबूर करने की कोशिश करेगा।इसलिए, दो संभावनाएं हैं: यदि हल्का तरल पदार्थ शीर्ष पर है, तो इंटरफ़ेस को स्थिर कहा जाता है, लेकिन यदि भारी तरल पदार्थ शीर्ष पर है, तो सिस्टम का संतुलन इंटरफ़ेस की किसी भी गड़बड़ी के लिए अस्थिर है।यदि यह मामला है तो दोनों तरल पदार्थ मिलाना शुरू कर देंगे।एक बार जब हल्की तरल पदार्थ की एक समान मात्रा के साथ भारी तरल पदार्थ की थोड़ी मात्रा नीचे की ओर विस्थापित हो जाती है, तो संभावित ऊर्जा अब प्रारंभिक अवस्था से कम है,इसलिए गड़बड़ी बढ़ेगी और रेले -टायलर अस्थिरता से जुड़े अशांत प्रवाह को जन्म देगी।

इस घटना को इंटरस्टेलर गैस में देखा जा सकता है, जैसे कि केकड़ा नेबुला।इसे चुंबकीय क्षेत्रों और कॉस्मिक किरणों द्वारा गांगेय विमान से बाहर धकेल दिया जाता है और फिर रेले -टायलर अस्थिर हो जाता है अगर इसे इसकी सामान्य पैमाने की ऊंचाई से आगे बढ़ाया जाता है।यह अस्थिरता मशरूम क्लाउड को भी बताती है जो ज्वालामुखी विस्फोट और परमाणु बम जैसी प्रक्रियाओं में बनती है।

रेले -टायलर अस्थिरता का पृथ्वी की जलवायु पर बड़ा प्रभाव पड़ता है।ग्रीनलैंड और आइसलैंड के तट से आने वाली हवाएं समुद्र की सतह के वाष्पीकरण का कारण बनती हैं, जिस पर वे गुजरते हैं, सतह के पास समुद्र के पानी की लवणता को बढ़ाते हैं, और सतह के पास पानी बनाते हैं।यह तब प्लम उत्पन्न करता है जो समुद्र की धाराओं को चलाता है।यह प्रक्रिया गर्मी पंप के रूप में कार्य करती है, जो गर्म भूमध्यरेखीय पानी को उत्तर में ले जाती है।महासागर के बिना, उत्तरी यूरोप को तापमान में भारी बूंदों का सामना करना पड़ेगा।

यह भी देखें

• हाइड्रोडायनामिक अस्थिरताओं की सूची
• लामिना -टर्बुलेंट ट्रांजिशन
• प्लाज्मा स्थिरता
• स्क्वायर का प्रमेय
• टेलर -कोट फ्लो

संदर्भ

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बाहरी संबंध

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• "Advanced Instability Methods (AIM) Network". various authors. Archived from the original on 21 February 2015. Retrieved 12 May 2013.
• Shankar, V (2014). "Introduction to Hydrodynamic stability" (PDF). Department of Mathematics, IIT Kanpur. Retrieved 31 October 2015.