लैग्रेंज उलटा प्रमेय

गणितीय विश्लेषण में, लैग्रेंज व्युत्क्रम प्रमेय, जिसे लैग्रेंज-बर्मन सूत्र के रूप में भी जाना जाता है, एक विश्लेषणात्मक कार्य के व्युत्क्रम कार्य का टेलर श्रृंखला विस्तार देता है।

कथन

मान लीजिए z के कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है w रूप के समीकरण द्वारा

$z=f(w)$

कहाँ पे f एक बिंदु पर विश्लेषणात्मक है a तथा $f'(a)\neq 0.$ तब के लिए समीकरण को उलटना या हल करना संभव है w, इसे रूप में व्यक्त करना $w=g(z)$ एक शक्ति श्रृंखला द्वारा दिया गया

$g(z)=a+\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}{\frac {(z-f(a))^{n}}{n!}},$

कहाँ पे

$g_{n}=\lim _{w\to a}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}\left[\left({\frac {w-a}{f(w)-f(a)}}\right)^{n}\right].$

प्रमेय आगे कहता है कि इस श्रृंखला में अभिसरण का गैर-शून्य त्रिज्या है, अर्थात, $g(z)$ के एक विश्लेषणात्मक कार्य का प्रतिनिधित्व करता है z के एक पड़ोस (गणित) में $z=f(a).$ इसे श्रृंखला का प्रत्यावर्तन भी कहा जाता है।

यदि विश्लेषणात्मकता के बारे में अभिकथनों को छोड़ दिया जाए, तो सूत्र औपचारिक शक्ति श्रृंखला के लिए भी मान्य है और इसे विभिन्न तरीकों से सामान्यीकृत किया जा सकता है: इसे कई चरों के कार्यों के लिए तैयार किया जा सकता है; इसके लिए एक तैयार फॉर्मूला प्रदान करने के लिए इसे बढ़ाया जा सकता है F(g(z)) किसी भी विश्लेषणात्मक कार्य के लिए F; और इसे मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है $f'(a)=0,$ जहां उलटा g एक बहुविकल्पीय कार्य है।

प्रमेय को जोसेफ लुइस लाग्रेंज ने सिद्ध किया था और हैंस हेनरिक बर्मन द्वारा सामान्यीकृत, दोनों 18वीं सदी के अंत में। जटिल विश्लेषण और समोच्च एकीकरण का उपयोग करते हुए एक सीधी व्युत्पत्ति है; जटिल औपचारिक शक्ति श्रृंखला संस्करण बहुपदों के सूत्र को जानने का परिणाम है, इसलिए विश्लेषणात्मक कार्यों के सिद्धांत को लागू किया जा सकता है। दरअसल, विश्लेषणात्मक कार्य सिद्धांत से मशीनरी इस प्रमाण में केवल एक औपचारिक तरीके से प्रवेश करती है, जिसमें वास्तव में आवश्यक है औपचारिक शक्ति श्रृंखला की कुछ संपत्ति # औपचारिक अवशेष, और एक अधिक प्रत्यक्ष औपचारिक औपचारिक शक्ति श्रृंखला # लैग्रेंज उलटा सूत्र है उपलब्ध।

यदि f एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला है, तो उपरोक्त सूत्र संरचनागत व्युत्क्रम श्रृंखला के गुणांक नहीं देता है g सीधे श्रृंखला के गुणांक के संदर्भ में f. यदि कोई कार्यों को व्यक्त कर सकता है f तथा g औपचारिक शक्ति श्रृंखला में के रूप में

$f(w)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}{\frac {w^{k}}{k!}}\qquad {\text{and}}\qquad g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}{\frac {z^{k}}{k!}}$

साथ f₀ = 0 तथा f₁ ≠ 0, तो प्रतिलोम गुणांकों का एक स्पष्ट रूप बेल बहुपदों के रूप में दिया जा सकता है:

$g_{n}={\frac {1}{f_{1}^{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}n^{(k)}B_{n-1,k}({\hat {f}}_{1},{\hat {f}}_{2},\ldots ,{\hat {f}}_{n-k}),\quad n\geq 2,$

कहाँ पे

${\begin{aligned}{\hat {f}}_{k}&={\frac {f_{k+1}}{(k+1)f_{1}}},\\g_{1}&={\frac {1}{f_{1}}},{\text{ and}}\\n^{(k)}&=n(n+1)\cdots (n+k-1)\end{aligned}}$

बढ़ती फैक्टोरियल है।

कब f₁ = 1, अंतिम सूत्र की व्याख्या असोसिएहेड्रोन के चेहरों के संदर्भ में की जा सकती है

$g_{n}=\sum _{F{\text{ face of }}K_{n}}(-1)^{n-\dim F}f_{F},\quad n\geq 2,$ कहाँ पे $f_{F}=f_{i_{1}}\cdots f_{i_{m}}$ प्रत्येक चेहरे के लिए $F=K_{i_{1}}\times \cdots \times K_{i_{m}}$ संघ का $K_{n}.$

उदाहरण

उदाहरण के लिए, डिग्री का बीजगणितीय समीकरण p

$x^{p}-x+z=0$

के लिए हल किया जा सकता है x फ़ंक्शन के लैग्रेंज उलटा सूत्र के माध्यम से f(x) = x − x^p, जिसके परिणामस्वरूप औपचारिक श्रृंखला समाधान होता है

$x=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {pk}{k}}{\frac {z^{(p-1)k+1}}{(p-1)k+1}}.$

अभिसरण परीक्षणों द्वारा, यह श्रृंखला वास्तव में अभिसारी है $|z|\leq (p-1)p^{-p/(p-1)},$ जो सबसे बड़ी डिस्क भी है जिसमें एक स्थानीय व्युत्क्रम होता है f परिभाषित किया जा सकता है।

प्रमाण का रेखाचित्र

सादगी के लिए मान लीजिए $z=0=f(w=0)$. हम तब गणना कर सकते हैं

$\oint _{w=0}{\frac {dw}{2\pi i}}{\frac {1}{f(w)-z}}=\oint _{w=0}{\frac {dw}{2\pi i}}{\frac {1}{f'(g(z))w+O(w^{2})}}={\frac {1}{f'(g(z))}}=g'(f(w))=g'(z).$

यदि हम ज्यामितीय श्रृंखला का उपयोग करके इंटीग्रैंड का विस्तार करते हैं तो हमें मिलता है

$\oint _{w=0}{\frac {dw}{2\pi i}}{\frac {1}{f(w)-z}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\oint _{w=0}{\frac {dw}{2\pi i}}{\frac {1}{(f(w))^{n+1}}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\oint _{w=0}{\frac {dw}{2\pi i}}{\frac {1}{w^{n+1}}}\left({\frac {w}{f(w)}}\right)^{n+1}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\left.{\frac {d^{n}}{dw^{n}}}\left({\frac {w}{f(w)}}\right)^{n+1}\right|_{w=0},$

जहां अंतिम चरण में हमने इस तथ्य का उपयोग किया कि $f(w)$ एक साधारण शून्य है।

अंत में हम एकीकृत कर सकते हैं $z$ ध्यान में रखना $g(0)=0$

$g'(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\left.{\frac {d^{n}}{dw^{n}}}\left({\frac {w}{f(w)}}\right)^{n+1}\right|_{w=0}~~\Longrightarrow ~~g(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n+1}}{(n+1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{dw^{n}}}\left({\frac {w}{f(w)}}\right)^{n+1}\right|_{w=0}.$

योग सूचकांक की पुनर्परिभाषा करने पर हमें कथित सूत्र प्राप्त होता है।

अनुप्रयोग

लैग्रेंज-बर्मन फॉर्मूला

लैग्रेंज व्युत्क्रम प्रमेय का एक विशेष मामला है जिसका उपयोग साहचर्य में किया जाता है और जब लागू होता है $f(w)=w/\phi (w)$ कुछ विश्लेषणात्मक के लिए $\phi (w)$ साथ $\phi (0)\neq 0.$ लेना $a=0$ प्राप्त करने के लिए $f(a)=f(0)=0.$ फिर उलटा के लिए $g(z)$ (संतुष्टि देने वाला $f(g(z))\equiv z$), अपने पास

${\begin{aligned}g(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}\left(\left({\frac {w}{w/\phi (w)}}\right)^{n}\right)\right]{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left[{\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}(\phi (w)^{n})\right]z^{n},\end{aligned}}$

जिसे वैकल्पिक रूप से लिखा जा सकता है

$[z^{n}]g(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}]\phi (w)^{n},$

कहाँ पे $[w^{r}]$ एक ऑपरेटर है जो के गुणांक को निकालता है $w^{r}$ के एक समारोह की टेलर श्रृंखला में w.

सूत्र का एक सामान्यीकरण लाग्रेंज-बर्मन सूत्र के रूप में जाना जाता है:

$[z^{n}]H(g(z))={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](H'(w)\phi (w)^{n})$

कहाँ पे H एक मनमाना विश्लेषणात्मक कार्य है।

कभी-कभी व्युत्पन्न H′(w) काफी जटिल हो सकता है। सूत्र का एक सरल संस्करण प्रतिस्थापित करता है H′(w) साथ H(w)(1 − φ′(w)/φ(w)) पाने के लिए और

$[z^{n}]H(g(z))=[w^{n}]H(w)\phi (w)^{n-1}(\phi (w)-w\phi '(w)),$

कौन शामिल है φ′(w) के बजाय H′(w).

लैम्बर्ट डब्ल्यू फ़ंक्शन

Main article: Lambert W function

लैम्बर्ट W समारोह समारोह है $W(z)$ यह स्पष्ट रूप से समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है

$W(z)e^{W(z)}=z.$

हम टेलर श्रृंखला की गणना करने के लिए प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं $W(z)$ पर $z=0.$ हम लेते हैं $f(w)=we^{w}$ तथा $a=0.$ यह पहचानते हुए

${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{\alpha x}=\alpha ^{n}e^{\alpha x},$

यह देता है

${\begin{aligned}W(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}e^{-nw}\right]{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{n-1}{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=z-z^{2}+{\frac {3}{2}}z^{3}-{\frac {8}{3}}z^{4}+O(z^{5}).\end{aligned}}$

इस श्रृंखला की अभिसरण की त्रिज्या है $e^{-1}$ (लैम्बर्ट फ़ंक्शन की मुख्य शाखा देते हुए)।

एक श्रृंखला जो बड़े के लिए अभिसरण करती है z (हालांकि सभी के लिए नहीं z) श्रृंखला व्युत्क्रम द्वारा भी प्राप्त किया जा सकता है। कार्यक्रम $f(z)=W(e^{z})-1$ समीकरण को संतुष्ट करता है

$1+f(z)+\ln(1+f(z))=z.$

फिर $z+\ln(1+z)$ एक शक्ति श्रृंखला में विस्तार किया जा सकता है और उलटा किया जा सकता है। यह के लिए एक श्रृंखला देता है $f(z+1)=W(e^{z+1})-1{\text{:}}$

$W(e^{1+z})=1+{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{16}}-{\frac {z^{3}}{192}}-{\frac {z^{4}}{3072}}+{\frac {13z^{5}}{61440}}-O(z^{6}).$

$W(x)$ प्रतिस्थापित करके गणना की जा सकती है $\ln x-1$ के लिये z उपरोक्त श्रृंखला में। उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापन −1 के लिये z का मान देता है $W(1)\approx 0.567143.$

बाइनरी पेड़

विचार करना सेट ${\mathcal {B}}$ बिना लेबल वाले बाइनरी ट्री। का एक तत्व ${\mathcal {B}}$ या तो आकार शून्य का एक पत्ता है, या दो सबट्री के साथ एक रूट नोड है। द्वारा निरूपित करें $B_{n}$ बाइनरी पेड़ों की संख्या पर $n$ नोड्स।

जड़ को हटाने से एक बाइनरी ट्री छोटे आकार के दो पेड़ों में टूट जाता है। यह जनरेटिंग फ़ंक्शन पर कार्यात्मक समीकरण उत्पन्न करता है $\textstyle B(z)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}z^{n}{\text{:}}$

$B(z)=1+zB(z)^{2}.$

दे $C(z)=B(z)-1$, एक इस प्रकार है $C(z)=z(C(z)+1)^{2}.$ के साथ प्रमेय लागू करना $\phi (w)=(w+1)^{2}$ पैदावार

$B_{n}=[z^{n}]C(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](w+1)^{2n}={\frac {1}{n}}{\binom {2n}{n-1}}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}.$

यह दर्शाता है कि $B_{n}$ है nवें कैटलन संख्या।

इंटीग्रल का एसिम्प्टोटिक सन्निकटन

लाप्लास-एर्डेली प्रमेय में जो लाप्लास-प्रकार के इंटीग्रल के लिए स्पर्शोन्मुख सन्निकटन देता है, फ़ंक्शन व्युत्क्रम को एक महत्वपूर्ण कदम के रूप में लिया जाता है।

यह भी देखें

• Fa di Bruno's सूत्र उन दो श्रृंखलाओं के गुणांकों के संदर्भ में दो औपचारिक शक्ति श्रृंखलाओं की संरचना के गुणांक देता है। समतुल्य रूप से, यह एक समग्र कार्य के n वें व्युत्पन्न के लिए एक सूत्र है।
• एक अन्य प्रमेय के लिए लैग्रेंज प्रत्यावर्तन प्रमेय जिसे कभी-कभी व्युत्क्रम प्रमेय कहा जाता है
• औपचारिक शक्ति श्रृंखला# लैग्रेंज उलटा सूत्र

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• उलटा काम करना
• प्रमुख शाखा

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Bürmann's Theorem". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Series Reversion". MathWorld.
• Bürmann–Lagrange series at Springer EOM