विभेदक वक्र

This article is about curves in Euclidean space. For curves in an arbitrary topological space, see Curve.

डिफरेंशियल ज्योमेट्री ऑफ कर्व्स, ज्योमेट्री की वह शाखा है जो डिफरेंशियल कैलकुलस और इंटीग्रल कैलकुलस के तरीकों से यूक्लिडियन प्लेन और यूक्लिडियन स्पेस में स्मूथनेस (गणित) कर्व्स से संबंधित है।

सिंथेटिक ज्यामिति का उपयोग करके वक्रों की कई सूची की गहन जांच की गई है। डिफरेंशियल ज्योमेट्री एक और रास्ता अपनाती है: कर्व्स को पैरामीट्रिक समीकरण में दर्शाया जाता है, और उनके ज्यामितीय गुण और उनसे जुड़ी विभिन्न मात्राएं, जैसे कि वक्रता और चाप की लंबाई, वेक्टर कैलकुलस का उपयोग करके डेरिवेटिव और इंटीग्रल के माध्यम से व्यक्त की जाती हैं। वक्र का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किए जाने वाले सबसे महत्वपूर्ण उपकरणों में से एक फ्रेनेट फ्रेम है, एक चलती फ्रेम जो वक्र के प्रत्येक बिंदु पर एक समन्वय प्रणाली प्रदान करती है जो उस बिंदु के पास वक्र के लिए सबसे अच्छी तरह अनुकूलित होती है।

वक्रों का सिद्धांत सतहों की अंतर ज्यामिति और इसके उच्च-आयामी सामान्यीकरण की तुलना में बहुत सरल और संकीर्ण है क्योंकि यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक नियमित वक्र में कोई आंतरिक ज्यामिति नहीं होती है। किसी भी नियमित वक्र को चाप की लंबाई ("प्राकृतिक पैरामीट्रिजेशन") द्वारा पैरामीट्रिज किया जा सकता है। वक्र पर एक परीक्षण कण के दृष्टिकोण से जो परिवेश स्थान के बारे में कुछ भी नहीं जानता है, सभी वक्र समान दिखाई देंगे। अलग-अलग स्पेस कर्व केवल इस बात से अलग होते हैं कि वे कैसे झुकते और मुड़ते हैं। मात्रात्मक रूप से, यह एक वक्र के वक्रता और वक्रों का मरोड़ कहे जाने वाले विभेदक-ज्यामितीय अपरिवर्तनीयों द्वारा मापा जाता है। वक्रों का मूल सिद्धांत इस बात पर जोर देता है कि इन अपरिवर्तनीयों का ज्ञान वक्र को पूरी तरह से निर्धारित करता है।

परिभाषाएं

Main article: Curve

एक पैरामीट्रिक C^r-वक्र या ए C^r-पैरामेट्राइज़ेशन एक वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन है

$\gamma :I\to \mathbb {R} ^{n}$

वह है r-समय लगातार अलग-अलग (अर्थात, के घटक कार्य) γ लगातार अलग-अलग होते हैं), जहां $n\in \mathbb {N}$, $r\in \mathbb {N} \cup \{\infty \}$, तथा I वास्तविक संख्याओं का एक गैर-रिक्त अंतराल (गणित) है। image }} पैरामीट्रिक वक्र का है $\gamma [I]\subseteq \mathbb {R} ^{n}$. पैरामीट्रिक वक्र γ और इसकी छवि γ[I] अलग किया जाना चाहिए क्योंकि का दिया गया सबसेट $\mathbb {R} ^{n}$ कई अलग-अलग पैरामीट्रिक वक्रों की छवि हो सकती है। पैरामीटर t में γ(t) समय का प्रतिनिधित्व करने के रूप में सोचा जा सकता है, और γ अंतरिक्ष में एक गतिमान बिंदु का प्रक्षेपवक्र। कब I एक बंद अंतराल है [a,b], γ(a) प्रारंभिक बिंदु कहा जाता है और γ(b) का समापन बिंदु है γ. यदि प्रारंभ और अंत बिंदु मेल खाते हैं (अर्थात, γ(a) = γ(b)), फिर γ एक बंद वक्र या एक लूप है। होना चाहिए C^r-लूप, फंक्शन γ होना चाहिए r-समय लगातार भिन्न और संतुष्ट γ^(k)(a) = γ^(k)(b) के लिये 0 ≤ k ≤ r.

पैरामीट्रिक वक्र है simple यदि

$\gamma |_{(a,b)}:(a,b)\to \mathbb {R} ^{n}$

इंजेक्शन है। यह है analytic यदि प्रत्येक घटक कार्य करता है γ एक विश्लेषणात्मक कार्य है, अर्थात यह वर्ग का है C^ω.

वक्र γ आदेश का नियमित है m (कहाँ पे m ≤ r) यदि, प्रत्येक के लिए t ∈ I,

$\left\{\gamma '(t),\gamma ''(t),\ldots ,{\gamma ^{(m)}}(t)\right\}$

का एक रैखिक रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय है $\mathbb {R} ^{n}$. विशेष रूप से, एक पैरामीट्रिक C¹-वक्र γ है regular अगर और केवल अगर γ′(t) ≠ 0 किसी के लिए t ∈ I.

पुन: parametrization और तुल्यता संबंध

See also: Position vector and Vector-valued function

पैरामीट्रिक वक्र की छवि को देखते हुए, पैरामीट्रिक वक्र के कई अलग-अलग पैरामीटर हैं। डिफरेंशियल ज्योमेट्री का उद्देश्य पैरामीट्रिक कर्व्स के गुणों का वर्णन करना है जो कि कुछ रिपैरेट्रिजेशन के तहत अपरिवर्तनीय हैं। सभी पैरामीट्रिक वक्रों के सेट पर एक उपयुक्त तुल्यता संबंध परिभाषित किया जाना चाहिए। एक पैरामीट्रिक वक्र के अंतर-ज्यामितीय गुण (जैसे कि इसकी लंबाई, इसका #फ्रेनेट फ्रेम, और इसकी सामान्यीकृत वक्रता) पुनरावर्तन के तहत अपरिवर्तनीय हैं और इसलिए समकक्ष वर्ग के गुण हैं। तुल्यता वर्ग कहलाते हैं C^r-वक्र और वक्र के अंतर ज्यामिति में अध्ययन की जाने वाली केंद्रीय वस्तुएं हैं।

दो पैरामीट्रिक C^r-वक्र, $\gamma _{1}:I_{1}\to \mathbb {R} ^{n}$ तथा $\gamma _{2}:I_{2}\to \mathbb {R} ^{n}$, कहा जाता है equivalent यदि और केवल यदि कोई विशेषण मौजूद है C^r-नक्शा φ : I₁ → I₂ ऐसा है कि

$\forall t\in I_{1}:\quad \varphi '(t)\neq 0$

तथा

$\forall t\in I_{1}:\quad \gamma _{2}{\bigl (}\varphi (t){\bigr )}=\gamma _{1}(t).$

γ₂ तब a . कहा जाता है re-parametrization का γ₁.

पुन: पैरामीट्रिजेशन सभी पैरामीट्रिक के सेट पर एक तुल्यता संबंध को परिभाषित करता है C^r-वर्ग के वक्र C^r. इस संबंध का तुल्यता वर्ग बस a C^r-वक्र।

उन्मुख पैरामीट्रिक का एक और भी बेहतर तुल्यता संबंध C^r-वक्रों को आवश्यकता द्वारा परिभाषित किया जा सकता है φ को पूरा करने के φ′(t) > 0.

समतुल्य पैरामीट्रिक C^r-वक्रों की एक ही छवि होती है, और समकक्ष उन्मुख पैरामीट्रिक C^r-वक्र भी छवि को उसी दिशा में पार करते हैं।

लंबाई और प्राकृतिक पैरामीट्रिजेशन

Main article: Arc length

See also: Curve § Length of a curve

लंबाई l एक पैरामीट्रिक का C¹-वक्र $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ की तरह परिभाषित किया गया है

$l~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}\left\|\gamma '(t)\right\|\,\mathrm {d} {t}.$

पैरामीट्रिक वक्र की लंबाई पुनरावर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है और इसलिए पैरामीट्रिक वक्र की एक अंतर-ज्यामितीय संपत्ति है।

प्रत्येक नियमित पैरामीट्रिक के लिए C^r-वक्र $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$, कहाँ पे r ≥ 1, फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है

$\forall t\in [a,b]:\quad s(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{t}\left\|\gamma '(x)\right\|\,\mathrm {d} {x}.$

लिख रहे हैं γ(s) = γ(t(s)), कहाँ पे t(s) का उलटा कार्य है s(t). यह एक पुन: पैरामीट्रिजेशन है γ का γ जिसे अनी कहा जाता हैarc-length parametrization, प्राकृतिक पैरामीट्रिजेशन, यूनिट-स्पीड पैरामीट्रिजेशन। पैरामीटर s(t) कहा जाता है natural parameter का γ.

यह पैरामीट्रिजेशन पसंद किया जाता है क्योंकि प्राकृतिक पैरामीटर s(t) की छवि को पार करता है γ इकाई गति से, ताकि

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}t\in <!--\; \in \; -->I:\Vert {\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}}^{\prime }(s$