अवमुख समुच्चय

File:Convex polygon illustration1.svg

उत्तल समुच्चय का चित्रण जो कुछ-कुछ विकृत वृत्त जैसा दिखता है। रेखा खंड, जो ऊपर काले रंग में दिखाया गया है, बिंदु x और y को मिलाते हुए, समुच्चय के भीतर पूरी तरह से स्थित है, जिसे हरे रंग में दिखाया गया है। चूंकि यह उपरोक्त समुच्चय के भीतर किन्हीं दो बिंदुओं के संभावित स्थानों के लिए सही है, समुच्चय उत्तल है।

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एक गैर-उत्तल समुच्चय का चित्रण। उपरोक्त रेखा खंड द्वारा चित्रित किया गया है जिससे यह काले रंग से लाल रंग में बदल जाता है। हरे रंग में दिखाया गया यह उपरोक्त समुच्चय गैर-उत्तल क्यों है इसका उदाहरण।

ज्यामिति में, एक यूक्लिडियन अंतरिक्ष का एक उपसमुच्चय, या अधिक सामान्यतः वास्तविक संख्या पर एक संबधित स्थान उत्तल होता है, यदि उपसमुच्चय में कोई दो बिंदु दिए गए हों, तो उपसमुच्चय में उनसे जुड़ने वाला संपूर्ण रेखा खंड होता है। समतुल्य रूप से, उत्तल समुच्चय या उत्तल क्षेत्र एक उपसमुच्चय है जो प्रत्येक रेखा (ज्यामिति) को एक रेखा खंड (संभवतः खाली) में प्रतिच्छेद करता है।

उदाहरण के लिए, एक ठोस घन (ज्यामिति) एक उत्तल समुच्चय है, लेकिन कुछ भी जो खोखला या मांगपत्र है, उदाहरण के लिए, एक वर्धमान आकार, उत्तल नहीं है।

उत्तल समुच्चय की सीमा (सांस्थिति) हमेशा एक उत्तल वक्र होती है। दिए गए सबसमुच्चय वाले सभी उत्तल समूह का प्रतिच्छेदन A यूक्लिडियन अंतरिक्ष की उत्तल पतवार कहा जाता है A. यह युक्त सबसे छोटा उत्तल समुच्चय है A.

एक उत्तल फलन एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है जो एक अंतराल पर इस गुण के साथ परिभाषित होता है कि इसका पुरालेख (फलन के किसी फलन के ग्राफ़ पर या उसके ऊपर बिंदुओं का समुच्चय) एक उत्तल समुच्चय है। उत्तल न्यूनीकरण गणितीय अनुकूलन का एक उपक्षेत्र है जो उत्तल समूह पर उत्तल कार्यों को कम करने की समस्या का अध्ययन करता है। उत्तल समुच्चय और कार्यों के गुणों के अध्ययन के लिए समर्पित गणित की शाखा उत्तल विश्लेषण कहलाती है।

उत्तल समुच्चय की धारणा को नीचे वर्णित के अनुसार सामान्यीकृत किया जा सकता है।

परिभाषाएँ

File:Convex supergraph.svg

एक उत्तल फलन उत्तल होता है यदि और केवल यदि इसका एपीग्राफ (गणित), इसके फलन के ग्राफ़ के ऊपर का क्षेत्र (हरे रंग में) एक उत्तल समुच्चय है।

मान लीजिए कि S सदिश समष्टि हो या वास्तविक संख्याओं के ऊपर एक संबंद्ध स्थान हो, या, सामान्यतः, कुछ आदेशित क्षेत्र पर। इसमें यूक्लिडियन स्पेस सम्मलित हैं, जो एफ़िन स्पेस हैं। उपसमुच्चय C का S उत्तल है यदि, सभी के लिए x तथा y में C, जोड़ने वाला रेखा खंड x तथा y में सम्मलित है C. इसका मतलब है कि एफ़िन संयोजन (1 − t)x + ty का है C, सभी के लिए x तथा y में C, तथा t अंतराल में (गणित) [0, 1]. इसका तात्पर्य है कि उत्तलता (उत्तल होने की संपत्ति) एफ़िन परिवर्तनों के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। इसका तात्पर्य यह भी है कि वास्तविक संख्या या जटिल संख्या सांस्थितिक सदिश स्पेस में एक उत्तल समुच्चय पथ से जुड़ा हुआ है, इस प्रकार जुड़ा हुआ स्थान है।

एक समुच्चय C सख्ती से उत्तल है यदि प्रत्येक बिंदु जुड़ा हुआ है रेखा खंड पर x तथा y अंतिमबिंदु के अतिरिक्त अन्य की आंतरिक सांस्थिति के अंदर है C. एक बंद उत्तल उपसमुच्चय सख्ती से उत्तल होता है यदि और केवल यदि इसकी प्रत्येक सीमा एक चरम बिंदु है।

एक समुच्चय C उत्तल और संतुलित समुच्चय होने पर बिल्कुल उत्तल है।

R का उत्तल उपसमुच्चय (वास्तविक संख्याओं का समुच्चय) अंतराल और R के बिंदु हैं . यूक्लिडियन विमान के उत्तल उपसमुच्चय के कुछ उदाहरण ठोस नियमित बहुभुज, ठोस त्रिकोण और ठोस त्रिकोण के चौराहे हैं। यूक्लिडियन अंतरिक्ष के उत्तल उपसमुच्चय के कुछ उदाहरण| यूक्लिडियन-3 आयामी अंतरिक्ष आर्किमिडीयन ठोस और प्लेटोनिक ठोस हैं। केप्लर-पॉइन्सॉट पॉलीहेड्रा गैर-उत्तल समुच्चय के उदाहरण हैं।

गैर-उत्तल समुच्चय

एक समुच्चय जो उत्तल नहीं होता है उसे गैर-उत्तल समुच्चय कहा जाता है। एक बहुभुज जो उत्तल बहुभुज नहीं है, उसे कभी-कभी अवतल बहुभुज कहा जाता है, और कुछ स्रोत अधिक सामान्यतः अवतल समुच्चय शब्द का उपयोग गैर-उत्तल समुच्चय के लिए करते हैं, लेकिन अधिकांश अधिकारी इस प्रयोग पर रोक लगाते हैं। एक उत्तल समुच्चय का पूरक (समुच्चय सिद्धांत), जैसे एक अवतल फलन के एपिग्राफ, को कभी-कभी रिवर्स उत्तल समुच्चय कहा जाता है, विशेष रूप से गणितीय अनुकूलन के संदर्भ में।

गुण

दिया गया r अंक u₁, ..., u_r उत्तल समुच्चय में S, तथा r नकारात्मक संख्या λ₁, ..., λ_r ऐसा है कि λ₁ + ... + λ_r = 1, एफाइन संयोजन

$$\sum _{k=1}^{r}\lambda _{k}u_{k}$$

का है S. जैसा कि एक उत्तल समुच्चय की परिभाषा है r = 2, यह संपत्ति उत्तल समूह की विशेषता है।

इस तरह के एक एफाइन संयोजन को एक उत्तल संयोजन कहा जाता है u₁, ..., u_r.

चौराहे और संघ

सदिश स्पेस, एफाइन स्पेस या यूक्लिडियन स्पेस के उत्तल उपसमुच्चय के संग्रह में निम्नलिखित गुण होते हैं:

1. खाली समुच्चय और पूरा स्थान उत्तल है।
2. उत्तल समूह के किसी भी संग्रह का प्रतिच्छेदन उत्तल है।
3. उत्तल समूह के एक अनुक्रम का संघ (समुच्चय) उत्तल है, यदि वे समावेशन के लिए कुल क्रम चेन| गैर-घटती श्रृंखला बनाते हैं। इस संपत्ति के लिए, जंजीरों पर प्रतिबंध महत्वपूर्ण है, क्योंकि दो उत्तल समूह के मिलन को उत्तल होने की आवश्यकता नहीं है।

बंद उत्तल समुच्चय

बंद समुच्चय उत्तल समुच्चय होते हैं जिनमें उनके सभी सीमा बिंदु होते हैं। उन्हें बंद आधे स्थान के इंटरसेक्शन के रूप में चित्रित किया जा सकता है।

अभी जो कहा गया है, उससे यह स्पष्ट है कि ऐसे चौराहे उत्तल हैं, और वे बंद समुच्चय भी होंगे। उलटा सिद्ध करने के लिए, अर्थात, प्रत्येक बंद उत्तल समुच्चय को इस तरह के चौराहे के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, किसी को अधिसमतल प्रमेय को इस रूप में समर्थन देने की आवश्यकता होती है कि किसी दिए गए बंद उत्तल समुच्चय के लिए C और बिंदु P इसके बाहर एक बंद अर्ध-आकाश है H उसमें सम्मिलित है C और नहीं P. सहायक अधिसमतल प्रमेय कार्यात्मक विश्लेषण के हन-बनाक प्रमेय का एक विशेष मामला है।

उत्तल समुच्चय और आयत

होने देना C विमान में एक उत्तल शरीर हो (एक उत्तल समुच्चय जिसका आंतरिक खाली नहीं है)। हम एक आयत r को अंदर अंकित कर सकते हैं C जैसे कि r की एक होमोथेटिक परिवर्तन कॉपी R के बारे में बताया गया है C. धनात्मक समरूपता अनुपात अधिक से अधिक 2 है और:

$${\tfrac {1}{2}}\cdot \operatorname {Area} (R)\leq \operatorname {Area} (C)\leq 2\cdot \operatorname {Area} (r)$$

ब्लाश्के-संतालो आरेख

समुच्चय ${\mathcal {K}}^{2}$ उत्तल शरीर व्यास सामान्यीकरण d, इसके अंतःत्रिज्या r (उत्तल शरीर में निहित सबसे बड़ा वृत्त) और इसकी परिधि r (उत्तल शरीर वाला सबसे छोटा वृत्त) के संदर्भ में सभी तलीय उत्तल पिंडों को परिचालित किया जा सकता है। वास्तव में, इस समुच्चय को असमानताओं के समुच्चय द्वारा वर्णित किया जा सकता है

$$2r\leq D\leq 2R$$

$$R\leq {\frac {\sqrt {3}}{3}}D$$

$$r+R\leq D$$

$$D^{2}{\sqrt {4R^{2}-D^{2}}}\leq 2R(2R+{\sqrt {4R^{2}-D^{2}}})$$

और फलन g की छवि के रूप में देखा जा सकता है जो एक उत्तल शरीर को प्रतिचित्रित करता है R² (r/r, d/2,r) द्वारा दिया गया बिंदु। इस फलन की छवि को एक (r, d, r) ब्लाचके-संतालो आरेख के रूप में जाना जाता है।फ़ाइल: ब्लास्चके-सैंटलो_डायग्राम_फॉर_प्लानर_कोनवेक्स_बॉडीज़.पीडीएफ|alt=|center|thumb|673x673px|ब्लाशके-सैंटलो (r, d, r) प्लानर उत्तल पिंडों के लिए आरेख। $\mathbb {L}$ रेखा खंड को दर्शाता है, $\mathbb {I} _{\frac {\pi }{3}}$ समबाहु त्रिभुज, $\mathbb {RT}$ Reuleaux त्रिकोण और $\mathbb {B} _{2}$ यूनिट सर्कल। वैकल्पिक रूप से, समुच्चय ${\mathcal {K}}^{2}$ इसकी चौड़ाई (किसी भी दो अलग-अलग समानांतर समर्थन अधिसमतल के बीच की सबसे छोटी दूरी), परिधि और क्षेत्र द्वारा पैरामीट्रिज्ड किया जा सकता है।

अन्य गुण

मान लीजिए कि X एक सांस्थितिक सदिश समष्टि है और $C\subseteq X$ उत्तल हो।

• $\operatorname {Cl} C$ तथा $\operatorname {Int} C$ दोनों उत्तल हैं (अर्थात उत्तल समुच्चय का संवरण और आंतरिक भाग उत्तल हैं)।
• यदि $a\in \operatorname {Int} C$ तथा $b\in \operatorname {Cl} C$ फिर $[a,b[\,\subseteq \operatorname {Int} C$ (कहाँ पे $[a,b[\,:=\left\{(1-r)a+rb:0\leq r<1\right\}$).
• यदि $\operatorname {Int} C\neq \emptyset$ फिर:
  • $\mathrm{cl}<!--\; \; -->\left(\mathrm{Int}<!--\; \; -->C\right)$