लेवल सेट

For the computational technique, see Level-set method. For level surfaces of force fields, see Equipotential surface.

File:Level sets linear function 2d.svg

Points at constant slices of x₂ = f (x₁).

File:Level sets linear function 3d.svg

Lines at constant slices of x₃ = f (x₁, x₂).

File:Level sets linear function 4d.svg

Planes at constant slices of x₄ = f (x₁, x₂, x₃).

(n − 1)-dimensional level sets for functions of the form f (x₁, x₂, …, x_n) = a₁x₁ + a₂x₂ + ⋯ + a_nx_n where a₁, a₂, …, a_n are constants, in (n + 1)-dimensional Euclidean space, for n = 1, 2, 3.

File:Level sets non-linear function 2d.svg

Points at constant slices of x₂ = f (x₁).

File:Level sets non-linear function 3d.svg

Contour curves at constant slices of x₃ = f (x₁, x₂).

File:Level sets non-linear function 4d.svg

Curved surfaces at constant slices of x₄ = f (x₁, x₂, x₃).

(n − 1)-dimensional level sets of non-linear functions f (x₁, x₂, …, x_n) in (n + 1)-dimensional Euclidean space, for n = 1, 2, 3.

गणित में, वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन का एक स्तर सेट f का n अनेक वास्तविक चरों का फलन एक समुच्चय (गणित) होता है, जहाँ फलन एक निश्चित स्थिरांक (गणित) मान लेता है। c, वह है:

$L_{c}(f)=\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid f(x_{1},\ldots ,x_{n})=c\right\}~,$

जब स्वतंत्र चरों की संख्या दो होती है, तो एक स्तर सेट को एक स्तर वक्र कहा जाता है, जिसे समोच्च रेखा या आइसोलिन भी कहा जाता है; तो एक स्तर वक्र दो चर में एक समीकरण के सभी वास्तविक-मूल्यवान समाधानों का समूह है x₁ तथा x₂. कब n = 3, एक स्तर सेट को एक स्तर सतह (गणित) (या आइसोसुरफेस) कहा जाता है; इसलिए एक समतल सतह तीन चरों वाले समीकरण के सभी वास्तविक-मूल्यवान मूलों का समुच्चय है x₁, x₂ तथा x₃. के उच्च मूल्यों के लिए n, स्तर सेट एक स्तर हाइपरसर्फेस है, एक समीकरण के सभी वास्तविक-मूल्यवान जड़ों का सेट n > 3 चर।

एक स्तर सेट एक फाइबर (गणित) का एक विशेष मामला है।

वैकल्पिक नाम

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एक ट्रेफिल गाँठ के साथ एक समन्वय समारोह स्तर सतहों का प्रतिच्छेदन। लाल वक्र दर्शक के सबसे निकट होते हैं, जबकि पीले वक्र सबसे दूर होते हैं।

स्तर सेट कई अनुप्रयोगों में दिखाई देते हैं, अक्सर अलग-अलग नामों के तहत। उदाहरण के लिए, एक निहित वक्र एक स्तर वक्र है, जिसे अपने पड़ोसी वक्रों से स्वतंत्र रूप से माना जाता है, इस बात पर बल देते हुए कि इस तरह के वक्र को एक निहित समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है। समान रूप से, एक स्तर की सतह को कभी-कभी एक अंतर्निहित सतह या एक आइसोसर्फ़ कहा जाता है।

isocontour नाम का भी प्रयोग किया जाता है, जिसका अर्थ है समान ऊंचाई का एक समोच्च। विभिन्न अनुप्रयोग क्षेत्रों में, isocontours को विशिष्ट नाम प्राप्त हुए हैं, जो अक्सर माना कार्य के मूल्यों की प्रकृति को इंगित करते हैं, जैसे कि आइसोबार (मौसम विज्ञान), इज़ोटेर्म (समोच्च रेखा), कंटूर लाइन # प्रकार, आइसोक्रोन मानचित्र, आइसोक्वेंट और उदासीनता वक्र।

उदाहरण

2-आयामी यूक्लिडियन दूरी पर विचार करें:

$$d(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$$

एक स्तर सेट $L_{r}(d)$ इस फ़ंक्शन में वे बिंदु होते हैं जो की दूरी पर स्थित होते हैं $r$ मूल से, जो एक वृत्त बनाते हैं। उदाहरण के लिए, $(3,4)\in L_{5}(d)$, इसलिये $d(3,4)=5$. ज्यामितीय रूप से, इसका मतलब है कि बिंदु $(3,4)$ मूल बिंदु पर केन्द्रित त्रिज्या 5 के वृत्त पर स्थित है। अधिक सामान्यतः, मीट्रिक स्थान में एक गोला $(M,m)$ त्रिज्या के साथ $r$ पर केंद्रित $x\in M$ स्तर सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $L_{r}(y\mapsto m(x,y))$.

एक दूसरा उदाहरण हिमेलब्लौ के कार्य का प्लॉट है जो कि चित्र में दाईं ओर दिखाया गया है। दिखाया गया प्रत्येक वक्र फ़ंक्शन का एक स्तर वक्र है, और उन्हें लघुगणक रूप से स्थान दिया जाता है: यदि कोई वक्र दर्शाता है $L_{x}$, वक्र सीधे भीतर का प्रतिनिधित्व करता है $L_{x/10}$, और वक्र सीधे बाहर का प्रतिनिधित्व करता है $L_{10x}$.

File:Himmelblau contour.svg

हिमेलब्लौ के फ़ंक्शन का लॉग-स्पेस लेवल कर्व प्लॉट

स्तर सेट बनाम ग्रेडिएंट

एक फलन f पर विचार करें जिसका ग्राफ एक पहाड़ी जैसा दिखता है। नीले वक्र स्तर सेट हैं; लाल वक्र ढाल की दिशा का अनुसरण करते हैं। सतर्क यात्री नीले रास्तों का अनुसरण करता है; बोल्ड हाइकर लाल रास्तों का अनुसरण करता है। ध्यान दें कि नीले और लाल रास्ते हमेशा समकोण पर पार करते हैं।

:प्रमेय: यदि फलन f अवकलनीय कार्य है, का ग्रेडिएंट f एक बिंदु पर या तो शून्य है, या के स्तर के सेट के लंबवत है f उस बिंदु पर।

इसका अर्थ समझने के लिए, कल्पना कीजिए कि दो पर्वतारोही एक ही स्थान पर एक पहाड़ पर हैं। उनमें से एक बोल्ड है, और वह उस दिशा में जाने का फैसला करता है जहां ढलान सबसे तेज है। दूसरा अधिक सतर्क है; वह न तो चढ़ना चाहता है और न ही उतरना चाहता है, एक ऐसा रास्ता चुनता है जो उसे समान ऊंचाई पर रखे। हमारे सादृश्य में, उपरोक्त प्रमेय कहता है कि दो यात्री एक दूसरे के लंबवत दिशाओं में प्रस्थान करेंगे।

इस प्रमेय का एक परिणाम (और इसका प्रमाण) यह है कि यदि f अवकलनीय है, एक स्तर सेट एक हाइपरसर्फेस है और महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) के बाहर कई गुना है f. एक महत्वपूर्ण बिंदु पर, एक स्तर सेट को एक बिंदु तक कम किया जा सकता है (उदाहरण के लिए स्थानीय चरम सीमा पर f ) या हो सकता है a एक बीजगणितीय किस्म का एकवचन बिंदु जैसे प्रतिच्छेदन सिद्धांत|स्व-प्रतिच्छेदन बिंदु या एक पुच्छ (विलक्षण)।

सबलेवल और सुपरलेवल सेट

फॉर्म का एक सेट

$L_{c}^{-}(f)=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})\leq c\right\}$

इसे f (या, वैकल्पिक रूप से, निचले स्तर का सेट या f का ट्रेंच) का सबलेवल सेट कहा जाता है। f का एक सख्त सबलेवल सेट है

$\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})<c\right\}$

उसी प्रकार

$L_{c}^{+}(f)=\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})\geq c\right\}$

को f (या, वैकल्पिक रूप से, f का ऊपरी स्तर का सेट) का सुपरलेवल सेट कहा जाता है। और f का एक सख्त सुपरलेवल सेट है

$\left\{(x_{1},\dots ,x_{n})\mid f(x_{1},\dots ,x_{n})>c\right\}$

गणितीय अनुकूलन में सबलेवल सेट महत्वपूर्ण हैं। एक्सट्रीम वैल्यू थ्योरम द्वारा#अर्ध-निरंतर कार्यों के लिए विस्तार|वीयरस्ट्रैस की प्रमेय, कुछ खाली सेट का पूरी तरह से बंधे हुए सेट|गैर-खाली सबलेवल सेट और फ़ंक्शन की निचली-अर्ध-निरंतरता का अर्थ है कि एक फ़ंक्शन अपने न्यूनतम को प्राप्त करता है। सभी सबलेवल सेटों का उत्तल सेट क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शन की विशेषता है।

यह भी देखें

• एपिग्राफ (गणित)
• स्तर-सेट विधि
• स्तर सेट (डेटा संरचनाएं)