अल्प सम्मुचय

सामान्य टोपोलॉजी के गणितीय क्षेत्र में, एक छोटा समुच्चय (जिसे अल्प समुच्चय या पहली श्रेणी का समुच्चय भी कहा जाता है) एक टोपोलॉजिकल स्पेस का एक सबसेट है जो नीचे दिए गए सटीक अर्थों में छोटा या नगण्य है। एक समुच्चय जो अल्प नहीं है, उसे गैर-समृद्ध या दूसरी श्रेणी का कहा जाता है। अन्य संबंधित शर्तों की परिभाषाओं के लिए नीचे देखें।

एक निश्चित स्थान के न्यूनतम उपसमुच्चय एक σ-मानक उपसमुच्चय बनाते हैं; अर्थात्, छोटे समुच्चय का कोई भी उपसमुच्चय छोटा होता है, और कई छोटे समुच्चयों का संघ छोटा होता है।

बेयर स्पेस और बेयर श्रेणी प्रमेय की धारणा के निर्माण में अल्प समुच्चय एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, जिसका उपयोग कार्यात्मक विश्लेषण के कई मूलभूत परिणामों के प्रमाण में किया जाता है।

परिभाषाएँ

हर जगह, $X$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस होगा।

$X$के एक उपसमुच्चय को $X$ में अल्प कहा जाता है, $X$ का अल्प उपसमुच्चय, या $X$ में पहली श्रेणी का, यदि यह X के कहीं नहीं सघन उपसमुच्चय का एक गणनीय संघ है (जहाँ कहीं भी सघन समुच्चय एक ऐसा समुच्चय है जिसका संवरण एक रिक्त आंतरिक भाग है ). क्वालिफायर "$X$ में" छोड़ा जा सकता है यदि परिवेश स्थान तय हो और संदर्भ से समझा जाए।

एक उपसमुच्चय जो $X$ में कम नहीं है, $X$ में गैर अल्प उपसमुच्चय है या $X$में दूसरी श्रेणी का है।

एक टोपोलॉजिकल स्पेस को अल्प (क्रमशः, गैर अल्प उपसमुच्चय) कहा जाता है यदि यह स्वयं का अल्प (क्रमशः, गैर अल्प उपसमुच्चय) उपसमुच्चय है।

X का एक उपसमुच्चय $A$ को $X$ में कोमेग्रे कहा जाता है, या $X$ में अवशिष्ट कहा जाता है, यदि इसका पूरक (सेट सिद्धांत $X\setminus A$ सेट माइनस $A$$X$ में अल्प है। (उपसर्ग "co" का यह प्रयोग अन्य शब्दों में इसके उपयोग के अनुरूप है जैसे " कोफिनिट"।) एक उपसमुच्चय $X$ में कमग्रे है अगर और केवल अगर यह समुच्चय के एक गणनीय क्रॉस के बराबर है, जिसका प्रत्येक इंटीरियर में $X$ घना है।

गैर अल्प और कॉमेग्रे की धारणाओं को भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। यदि स्थान $X$ अल्प है, तो प्रत्येक उपसमुच्चय अल्प और लघु दोनों है, और कोई भी अल्पांश समुच्चय नहीं है। यदि स्पेस $X$ नॉनमेयर है, तो कोई भी सेट एक ही समय में कम और कम नहीं है, प्रत्येक कॉमेग्रे सेट नॉनमेयर है, और ऐसे गैर अल्प समुच्चय हो सकते हैं जो कॉमेग्रे नहीं हैं, यानी गैर अल्प कॉम्प्लिमेंट के साथ। नीचे उदाहरण अनुभाग देखें।

शब्दावली के एक अतिरिक्त बिंदु के रूप में, यदि एक टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ के एक उपसमुच्चय $A$ को $X$ से प्रेरित सबस्पेस टोपोलॉजी दिया जाता है, तो कोई इसके बारे में बात कर सकता है कि यह एक अल्प स्थान है, अर्थात् स्वयं का एक अल्प उपसमुच्चय (जब एक टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में माना जाता है) इसका अपना अधिकार)। इस मामले में, $A$ को $X$ का अल्प उप-स्थान भी कहा जा सकता है, जिसका अर्थ उप-स्थान टोपोलॉजी दिए जाने पर अल्प स्थान है। महत्वपूर्ण रूप से, यह संपूर्ण स्थान $X$ में अल्प होने के समान नहीं है। (दोनों के बीच संबंध के लिए नीचे गुण और उदाहरण अनुभाग देखें।) , जो पूरे स्पेस में गैर-अल्प होने के समान नहीं है। हालांकि जागरूक रहें कि टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान के संदर्भ में कुछ लेखक "अल्प/गैर-अल्प उप-स्थान" वाक्यांश का उपयोग एक वेक्टर उप-स्थान के अर्थ में कर सकते हैं जो पूरे स्थान के सापेक्ष एक अल्प/गैर-अल्प समुच्चय है।

पहली श्रेणी और दूसरी श्रेणी के शब्दों का मूल रूप से रेने बेयर ने अपने 1899 थीसिस में उपयोग किया था। 1948 में निकोलस बोरबाकी द्वारा अल्पावधि पेश की गई थी।

गुण

$X$ का हर कहीं नहीं-सघन उपसमुच्चय अल्प है। नतीजतन, एक खाली इंटीरियर के साथ कोई भी बंद उपसमुच्चय अल्प है। इस प्रकार $X$ के एक बंद गैर-मामूली उपसमुच्चय में एक गैर-खाली इंटीरियर होना चाहिए।

(1) किसी छोटे समुच्चय का कोई उपसमुच्चय छोटा होता है; (2) छोटे समुच्चयों का कोई भी गणनीय संघ छोटा होता है। इस प्रकार एक निश्चित स्थान के तुच्छ उपसमुच्चय, उपसमुच्चयों के σ-मानक का निर्माण करते हैं, जो नगण्य समुच्चय की एक उपयुक्त धारणा है। और, समतुल्य (1), गैर-लघु समुच्चय का कोई भी सुपरसेट गैर-अल्प है।

वास्तव में, (1) सह अल्प समुच्चय का कोई सुपरसेट कॉमाग्रे है; (2) सह अल्प सेट का कोई भी गणनीय सह अल्प है।

मान लीजिए $A\subseteq Y\subseteq X,$ कहाँ पे $Y$ सबस्पेस टोपोलॉजी से प्रेरित है $X.$ सेट $A$ में अल्प हो सकता है $X$ में अल्प होने के बिना $Y.$ हालाँकि निम्नलिखित परिणाम धारण करते हैं:

• यदि $A$ में अल्प है $Y,$ फिर $A$ में अल्प है $X.$
• यदि $Y$ में खुला है $X,$ फिर $A$ में अल्प है $Y$ अगर और केवल अगर $A$ में अल्प है $X.$
• यदि $Y$ में घना है $X,$ फिर $A$ में अल्प है $Y$ अगर और केवल अगर $A$ में अल्प है $X.$

और तदनुसार गैर अल्प सेट के लिए:

• यदि $A$ में अल्प है $X,$ फिर $A$ में अल्प है $Y.$
• यदि $Y$ में खुला है $X,$ फिर $A$ में अल्प है $Y$ अगर और केवल अगर $A$ में अल्प है $X.$
• यदि $Y$ में घना है $X,$ फिर $A$ में अल्प है $Y$ अगर और केवल अगर $A$ में अल्प है $X.$

विशेष रूप से, का हर उपसमुच्चय $X$ जो अपने आप में अल्प है वह अपने आप में अल्प है $X.$ का हर उपसमुच्चय $X$ वह गैर-अल्प है $X$ अपने आप में तुच्छ है। और एक खुले सेट या घने समुच्चय के लिए $X,$ में अल्प होना $X$ अपने आप में अल्प होने के बराबर है, और इसी तरह गैर-संपत्ति के लिए।

कोई भी टोपोलॉजिकल स्पेस जिसमें एक पृथक बिंदु होता है, गैर-अल्प होता है (क्योंकि पृथक बिंदु वाला कोई भी सेट कहीं भी घना नहीं हो सकता है)। विशेष रूप से, प्रत्येक गैर-खाली असतत स्थान गैर-महत्वपूर्ण है।

एक टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ गैर-अल्प है अगर और केवल अगर $X$ में घने खुले समुच्चयों का प्रत्येक गणनीय प्रतिच्छेदन गैर-रिक्त है।

हर गैर-रिक्त बायर स्थान गैर-अल्प है। विशेष रूप से, बायर श्रेणी प्रमेय द्वारा, प्रत्येक गैर-रिक्त पूर्ण मीट्रिक स्थान और प्रत्येक गैर-रिक्त स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्थान गैर-अल्प है।

बानाच श्रेणी प्रमेय:

किसी भी स्थलाकृतिक स्पेस $X,$ में, अल्प खुले समुच्चयों के एक मनमाना संघ का मिलन एक अल्प समुच्चय है।

अल्प उपसमुच्चय और लेबेस्ग्यू माप

$\mathbb {R}$ में अल्प समुच्चय के लिए आवश्यक नहीं है कि लेबेस्ग का माप शून्य हो, और पूर्ण माप भी हो सकता है। उदाहरण के लिए, अंतराल में $[0,1]$