पॉलीटॉप

Not to be confused with Polytrope.

File:First stellation of octahedron.png	File:First stellation of dodecahedron.png	File:Second stellation of dodecahedron.png	File:Third stellation of dodecahedron.png	File:Sixteenth stellation of icosahedron.png	File:First stellation of icosahedron.png
A polyhedron is a 3-dimensional polytope

File:Assorted polygons.svg

एक बहुभुज एक 2-आयामी पॉलीटॉप है। बहुभुज को विभिन्न मानदंडों के अनुसार चित्रित किया जा सकता है। कुछ उदाहरण हैं: खुला (इसकी सीमा को छोड़कर), केवल बाउंडिंग सर्किट (इसके आंतरिक भाग की उपेक्षा), बंद (इसकी सीमा और इसके आंतरिक दोनों सहित), और विभिन्न क्षेत्रों के विभिन्न घनत्वों के साथ स्व-प्रतिच्छेद।

प्रारंभिक ज्यामिति में, एक पॉलीटोप एक ज्यामितीय वस्तु है जिसमें फ्लैट फेसेस का सामना करना पड़ता है। पॉलीटोप्स किसी भी संख्या के आयामों के लिए त्रि-आयामी बहुतल का सामान्यीकरण होता हैं। पॉलीटोप्स किसी भी सामान्य संख्या में आयाम n में n-विमीय पॉलीटोप या n-पॉलीटोप के रूप में मौजूद हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक द्वि-आयामी बहुभुज एक 2-पॉलीटॉप है और एक त्रि-आयामी पॉलीहेड्रॉन 3-पॉलीटॉप है। इस संदर्भ में, चपटी भुजाओं का अर्थ है कि a की भुजाएँ (k + 1) पॉलीटोप से मिलकर बनता है और k-पॉलीटोप्स होते हैं जिनमें (k – 1) पॉलीटोप्स समान हो सकते हैं।

कुछ सिद्धांत आगे चलकर इस तरह की वस्तुओं को सम्मिलित करने के विचार को सामान्यीकृत करते हैं जैसे कि अनबाउंड अनंतता और चौकोर, अपघटन या घुमावदार मैनिफोल्ड्स की टाइलिंग जिसमें गोलाकार पॉलीहेड्रा, और सेट-सैद्धांतिक सार पॉलीटोप्स में सम्मिलित होते हैं।

1853 से पहले लुडविग श्लाफली द्वारा पहली बार तीन से अधिक आयामों के पॉलीटोप्स की खोज की गई थी, जिन्होंने इस तरह के एक आंकड़े को एक पॉलीसेम कहा था। जर्मन भाषा का शब्द पॉलीटॉप गणितज्ञ रेनहोल्ड हॉपी द्वारा निर्मित किया गया था, और एलिसिया बोले स्टॉट द्वारा अंग्रेजी गणितज्ञों को पॉलीटॉप के रूप में पेश किया गया था।

परिभाषा के दृष्टिकोण

आजकल, पॉलीटॉप शब्द एक व्यापक शब्द है जिसमें वस्तुओं की एक विस्तृत श्रेणी शामिल है, और गणितीय साहित्य में विभिन्न परिभाषाएँ दिखाई देती हैं। इनमें से कई परिभाषाएँ एक-दूसरे के समतुल्य नहीं हैं, जिसके परिणामस्वरूप वस्तुओं के अलग-अलग अतिव्यापी सेटों को पॉलीटॉप्स कहा जाता है। वे समान गुणों वाली अन्य वस्तुओं को शामिल करने के लिए उत्तल पॉलीटोप्स को सामान्य बनाने के लिए विभिन्न दृष्टिकोणों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

मूल दृष्टिकोण सामान्तया लुडविग श्लाफली, थोरोल्ड गॉसेट और अन्य द्वारा व्यापक रूप से अनुसरण किया जाता है, क्रमशः दो या तीन आयामों में बहुभुज और पॉलीहेड्रॉन के विचार के चार या अधिक आयामों में सादृश्य द्वारा विस्तार के साथ शुरू होता है।

पॉलीहेड्रा की यूलर विशेषता को उच्च-आयामी पॉलीटोप्स के सामान्यीकरण के प्रयासों ने टोपोलॉजी के विकास और एक अपघटन या सीडब्ल्यू-जटिल के उपचार को एक पॉलीटॉप के अनुरूप बनाया गया है। इस दृष्टिकोण में, एक पॉलीटॉप को कुछ दिए गए कई गुना के टेस्सेलेशन या अपघटन के रूप में माना जा सकता है। इस दृष्टिकोण का एक उदाहरण एक पॉलीटॉप को उन बिंदुओं के एक सेट के रूप में परिभाषित करता है जो एक साधारण परिसर को स्वीकार करते हैं। इस परिभाषा में, एक पॉलीटॉप, अतिरिक्त संपत्ति के साथ, बहुत से सरलताओं का संघ है, जो किसी भी दो सरलताओं के लिए, एक गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है। उनका प्रतिच्छेदन दोनों का एक शीर्ष, किनारा या उच्च आयामी फेस है। चूँकि, यह परिभाषा आंतरिक संरचनाओं के साथ स्टार पॉलीटोप्स की अनुमति नहीं देती है, और इसलिए यह गणित के कुछ क्षेत्रों तक ही सीमित है।

स्टार पॉलीहेड्रा और अन्य असामान्य निर्माणों की खोज ने एक पॉलीहेड्रॉन को एक बाउंडिंग सतह के रूप में देखा, इसके आंतरिक भाग की अनदेखी की। इस प्रकाश के पी-स्पेस में उत्तल पॉलीटोप्स (पी-1) क्षेत्र के टाइलिंग के बराबर हैं, जबकि अन्य अन्य अंडाकार, फ्लैट या टोरॉयडल (पी-1) सतहों के टाइलिंग हो सकते हैं, उदाहरण के लिए अंडाकार टाइलिंग और टोरॉयडल पॉलीहेड्रॉन देखें। पॉलीहेड्रॉन को एक ऐसी सतह के रूप में समझा जाता है जिसके फेस ज्यामिति बहुभुज के होते हैं, एक 4-पॉलीटॉप एक हाइपरसर्फेस के रूप में होता है। जिसके फेस ज्यामिति पॉलीहेड्रा के होते हैं।

निचले आयाम वाले लोगों से एक उच्च पॉलीटोप का निर्माण करने का विचार कभी-कभी आयाम में नीचे की ओर बढ़ाया जाता है, जिसमें एक किनारे को एक बिंदु जोड़ी द्वारा बंधे 1-पॉलीटॉप के रूप में देखा जाता है, और एक बिंदु या शीर्ष को 0-पॉलीटॉप के रूप में देखा जाता है। इस दृष्टिकोण का उपयोग उदाहरण के लिए अमूर्त पॉलीटोप्स के सिद्धांत में किया जाता है।

गणित के कुछ क्षेत्रों में, पॉलीटोप और पॉलीहेड्रॉन शब्द एक अलग अर्थ में उपयोग किए जाते हैं: एक पॉलीहेड्रॉन किसी भी आयाम में सामान्य वस्तु है (इस आलेख में पॉलीटोप के रूप में संदर्भित) और पॉलीटोप का अर्थ है एक घिरा हुआ सेट पॉलीहेड्रॉन। रेफ> नेमहौसर और वोल्सी, इंटीजर और कॉम्बिनेटोरियल ऑप्टिमाइजेशन, 1999, ISBN 978-0471359432, परिभाषा 2.2। </ रेफ> यह शब्दावली विशिष्ट रूप से पॉलीटोप्स और पॉलीहेड्रा तक ही सीमित है जो उत्तल हैं। इस शब्दावली के साथ, एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन अर्ध स्थानों की एक परिमित संख्या का प्रतिच्छेदन है और इसके पक्षों द्वारा परिभाषित किया गया है, जबकि एक उत्तल पॉलीटोप बिंदुओं की एक परिमित संख्या का उत्तल पतवार है और इसके शीर्षों द्वारा परिभाषित किया गया है।

आयामों की कम संख्या वाले पॉलीटोप्स के मानक नाम हैं।

आयाम पॉलीटोप का	विवरण
−1	नुलिटोप
0	Monon
1	डायोन
2	बहुभुज
3	बहुतल
4	पॉलीकोरोन

तत्व

एक पॉलीटोप में विभिन्न आयामों के तत्व सम्मिलित होते हैं जैसे कोने, किनारे, फेसेस, कोशिकाएं आदि। इनके लिए शब्दावली विभिन्न लेखकों के बीच पूरी तरह से संगत नहीं है। उदाहरण के लिए, कुछ लेखक एक (n − 1) आयामी तत्व को संदर्भित करने के लिए फेसेस का उपयोग करते हैं जबकि अन्य विशेष रूप से 2-फेसेस को निरूपित करने के लिए फेसेस का उपयोग करते हैं। जे आयामों के एक तत्व को इंगित करने के लिए लेखक जे फेस या जे फलक का उपयोग कर सकते हैं। कुछ किनारे का उपयोग रिज को संदर्भित करने के लिए करते हैं, जबकि एच.एस.एम. कॉक्सेटर सेल का उपयोग एन -1 आयामी तत्व को निरूपित करने के लिए सेल का उपयोग करता है। इस लेख में अपनाई गई शर्तें नीचे दी गई तालिका में दी गई हैं।

आयाम तत्व का	शर्त (एन-पॉलीटॉप में)
−1	शून्यता (अमूर्त सिद्धांत में आवश्यक))
0	शिखर
1	किनारा
2	फेस
3	कक्ष
$\vdots$	$\vdots$
j	j-फेस – पद का तत्व j = −1, 0, 1, 2, 3, ..., n
$\vdots$	$\vdots$
n − 3	शिखर – (n − 3)-फेस
n − 2	चोटी or subfacet – (n − 2)-फेस
n − 1	पहलू– (n − 1)-फेस
n	पॉलीटॉप ही

एक n-आयामी पॉलीटोप कई (n − 1) आयामी पहलुओं गणित से घिरा होता है। ये पहलू स्वयं पॉलीटोप हैं, जिनके पहलू मूल पॉलीटोप के (n -2) आयामी रिज (ज्यामिति) के हैं। प्रत्येक रिज दो पहलुओं के प्रतिच्छेदन के रूप में उत्पन्न होती है लेकिन दो पहलुओं के प्रतिच्छेदन को एक रिज होना आवश्यक नहीं है। रिज एक बार फिर से पॉलीटोप हैं जिनके पहलू मूल पॉलीटोप की (n - 3) आयामी सीमाओं को जन्म देते हैं, और इसी तरह इन बाउंडिंग सब-पॉलीटॉप्स को फेस (ज्यामिति), या विशेष रूप से जे-विमीय फेस या जे-फेस के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। एक 0-आयामी फेसेस को एक शीर्ष कहा जाता है, और इसमें एक बिंदु होता है। 1-आयामी फेसेस को किनारा कहा जाता है, और इसमें एक रेखा खंड होता है। एक 2-आयामी फेसेस में एक बहुभुज होता है, और एक 3-आयामी फेस, जिसे कभी-कभी सेल (गणित) कहा जाता है, और इसमें एक पॉलीहेड्रॉन होता है।

बहुलकों के महत्वपूर्ण वर्ग

उत्तल पॉलीटोप्स

Main article: Convex polytope

एक पॉलीटॉप उत्तल हो सकता है। उत्तल पॉलीटोप्स सबसे सरल प्रकार के पॉलीटोप्स हैं, और पॉलीटोप्स की अवधारणा के कई अलग-अलग सामान्यीकरणों के लिए आधार बनाते हैं। एक उत्तल पॉलीटॉप को कभी-कभी आधा-स्थान (ज्यामिति) के एक सेट के चौराहे के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह परिभाषा एक पॉलीटॉप को न तो बाध्य और न ही परिमित होने की अनुमति देती है। पॉलीटोप्स को इस तरह से परिभाषित किया जाता है, उदाहरण के लिए, रैखिक प्रोग्रामिंग में। एक पॉलीटोप को बांधा जाता है यदि परिमित त्रिज्या की एक गेंद होती है जिसमें यह होता है। एक पॉलीटॉप को नुकीला कहा जाता है यदि इसमें कम से कम एक शीर्ष होता है। हर घिरा हुआ गैर-खाली पॉलीटॉप नुकीला होता है। एक गैर-नुकीले पॉलीटॉप का एक उदाहरण सेट है $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\geq 0\}$. एक पॉलीटॉप परिमित है यदि इसे परिमित संख्या में वस्तुओं के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, उदाहरण के लिए, अर्ध-विमानों की परिमित संख्या के प्रतिच्छेदन के रूप में। यदि इसके सभी शीर्षों में पूर्णांक निर्देशांक हैं, तो यह एक अभिन्न पॉलीटॉप है।

उत्तल पॉलीटॉप्स का एक निश्चित वर्ग रिफ्लेक्सिव पॉलीटोप्स हैं। एक अभिन्न $d$-polytope ${\mathcal {P}}$ कुछ पूर्णांक मैट्रिक्स के लिए रिफ्लेक्सिव है $\mathbf {A}$, ${\mathcal {P}}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}:\mathbf {Ax} \leq \mathbf {1} \}$, कहाँ पे $\mathbf {1}$ सभी के एक सदिश को दर्शाता है, और असमानता घटक-वार है। यह इस परिभाषा से इस प्रकार है ${\mathcal {P}}$ रिफ्लेक्टिव है अगर और केवल अगर $(t+1){\mathcal {P}}^{\circ }\cap \mathbb {Z} ^{d}=t{\mathcal {P}}\cap \mathbb {Z} ^{d}$ सभी के लिए $t\in \mathbb {Z} _{\geq 0}$. दूसरे शब्दों में, ए $(t+1)$-dilate का ${\mathcal {P}}$ भिन्न, पूर्णांक जालक बिंदुओं के संदर्भ में, a से $t$-dilate का ${\mathcal {P}}$ केवल सीमा पर प्राप्त जाली बिंदुओं से। समान रूप से, ${\mathcal {P}}$ रिफ्लेक्सिव है अगर और केवल अगर यह दोहरी पॉलीहेड्रॉन है ${\mathcal {P}}^{*}$ एक अभिन्न पॉलीटॉप है।

नियमित पॉलीटोप्स

Main article: Regular polytope

नियमित पॉलीटोप ्स में सभी पॉलीटोप्स की समरूपता की उच्चतम डिग्री होती है। एक नियमित पॉलीटोप का समरूपता समूह अपने ध्वज (ज्यामिति) पर संक्रमणीय रूप से कार्य करता है; इसलिए, एक नियमित पॉलीटोप का दोहरा पॉलीटोप भी नियमित होता है।

नियमित पॉलीटोप के तीन मुख्य वर्ग हैं जो किसी भी आयाम में होते हैं:

• सिंप्लेक्स , समबाहु त्रिभुज और नियमित चतुष्फलक सहित।
• वर्ग और घन सहित अतिविम या पॉलीटोप्स को मापें।
• वर्गाकार और नियमित अष्टफलक सहित ऑर्थोप्लेक्स या क्रॉस पॉलीटोप।

आयाम दो, तीन और चार में नियमित आंकड़े सम्मिलित होते हैं जिनमें पांच गुना समरूपता होती है और जिनमें से कुछ गैर-उत्तल तारे होते हैं, और दो आयामों में अनंत रूप से एन-गुना समरूपता के कई नियमित बहुभुज होते हैं, दोनों उत्तल और (n ≥ 5 के लिए) तारे। लेकिन उच्च आयामों में कोई अन्य नियमित पॉलीटॉप नहीं हैं।

तीन आयामों में उत्तल प्लेटोनिक ठोस में पांच गुना-सममित द्वादशफ़लक और विंशतिफलक सम्मिलित हैं, और पांच गुना समरूपता के साथ चार सितारा केप्लर-पॉइन्सॉट पॉलीहेड्रा भी हैं, जो कुल नौ नियमित पॉलीहेड्रा लाते हैं।

चार आयामों में नियमित 4-पॉलीटॉप में चार गुना समरूपता के साथ एक अतिरिक्त उत्तल ठोस और दो पांच गुना समरूपता सम्मिलित हैं। दस सितारा श्लाफली-हेस 4-पॉलीटॉप हैं, सभी पांच गुना समरूपता के साथ, सभी सोलह नियमित 4-पॉलीटॉप में दे रहे हैं।

स्टार पॉलीटोप्स

Main article: Star polytope

एक गैर-उत्तल पॉलीटोप स्वयं-प्रतिच्छेदन हो सकता है; पॉलीटोप्स के इस वर्ग में स्टार पॉलीटोप्स सम्मिलित हैं। कुछ नियमित पॉलीटॉप सितारे हैं।

गुण

यूलर विशेषता

चूँकि a (भरा हुआ) उत्तल पॉलीटोप P in $d$ आयाम एक बिंदु के लिए सिकुड़ा हुआ स्थान है, यूलर विशेषता $\chi$ इसकी सीमा का ∂P वैकल्पिक योग द्वारा दिया गया है:

$\chi =n_{0}-n_{1}+n_{2}-\cdots \pm n_{d-1}=1+(-1)^{d-1}$, कहाँ पे $n_{j}$ की संख्या है $j$-आयामी फेसेस ।

यह पॉलीहेड्रा के लिए यूलर के सूत्र को सामान्यीकृत करता है।

आंतरिक कोण

ग्राम-यूलर प्रमेय इसी तरह आंतरिक और बाहरी कोण ों के वैकल्पिक योग को सामान्य करता है ${\textstyle \sum \varphi }$ उत्तल पॉलीहेड्रा के लिए उच्च-आयामी पॉलीटोप्स के लिए:

$\sum <!--\; \sum \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}$