तुल्यता संबंध

This article is about गणितीय अवधारणा. For पेटेंट सिद्धांत, see समकक्षों का सिद्धांत.

"समानक" redirects here. For other uses, see तुल्यता (बहुविकल्पी) तुल्यता.

Transitive binary relations
Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Total, Semiconnex Anti- reflexive Equivalence relation File:Green check.svgY ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Preorder (Quasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Partial order ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Total preorder ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Total order ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Prewellordering ✗ ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Well-quasi-ordering ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Well-ordering ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY File:Green check.svgY ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Lattice ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY File:Green check.svgY ✗ ✗ Join-semilattice ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Meet-semilattice ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY ✗ ✗ Strict partial order ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY Strict weak order ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY Strict total order ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Definitions, for all $a,b$ and $S\neq \varnothing :$ ${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}aRb{\text{ and }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ $aRa$ ${\text{not }}aRa$ ${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}$
File:Green check.svgY indicates that the column's property is required by the definition of the row's term (at the very left). For example, the definition of an equivalence relation requires it to be symmetric. ✗ indicates that the property may, or may not hold. All definitions tacitly require the homogeneous relation $R$ be transitive: for all $a,b,c,$ if $aRb$ and $bRc$ then $aRc,$ and there are additional properties that a homogeneous relation may satisfy.

5-तत्व सेट पर बेल संख्या तुल्यता संबंधों को इस प्रकार दर्शाया गया है $5\times 5$ तार्किक मैट्रिक्स (रंगीन फ़ील्ड, जिनमें हल्के भूरे रंग के क्षेत्र शामिल हैं, एक के लिए खड़े हैं; शून्य के लिए सफेद फ़ील्ड)। गैर-श्वेत कोशिकाओं की पंक्ति और स्तंभ सूचकांक संबंधित तत्व हैं, जबकि विभिन्न रंग, हल्के भूरे रंग के अलावा, तुल्यता वर्गों को इंगित करते हैं (प्रत्येक हल्के भूरे रंग की कोशिका का अपना तुल्यता वर्ग होता है)।

गणित में, एक तुल्यता संबंध एक द्विआधारी संबंध है जो प्रतिक्रियात्मक, सममित और सकर्मक संबंध होता है। ज्यामिति में रेखाखंडों के बीच समतुल्य संबंध तुल्यता संबंध का एक सामान्य उदाहरण है।

प्रत्येक तुल्यता संबंध अंतर्निहित समुच्चय को असंयुक्त तुल्यता वर्गों में विभाजन करता है। दिए गए समुच्चय के दो अवयव एक दूसरे के समतुल्य हैं। यदि वे एक ही समतुल्य वर्ग से संबंधित हैं।

संकेतन

साहित्य में दो तत्वों को निर्देशित करने के लिए विभिन्न संकेतन का उपयोग किया जाता है $a$ तथा $b$ तुल्यता संबंध के एक सेट के बराबर हैं $R;$ सबसे आम हैं $a\sim b$ तथा a ≡ b, जिनका उपयोग तब किया जाता है जब R निहित और भिन्न होता है " a _R b, "a ≡_R b", या ${a\mathop {R} b}$ , $R$ स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए गैर समकक्ष लिखा जा सकता है a ≁ b या $a\not \equiv b$.

परिभाषा

समुच्चय $X$ पर द्विआधारी संबंध $\,\sim \,$ को तुल्यता संबंध कहा जाता है, अगर यह केवल  विचारशील, सममित और संक्रमणीय है। अर्थात सभी के लिए $a,b,$ तथा $c$ में $X:$