कोण

एक शीर्ष से निकलने वाली दो किरणों द्वारा निर्मित कोण.

यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक कोण दो रेखाओं द्वारा बनाई गई आकृति है, जो एक ही बिंदु पर मिलती है, जिसे कोण का शीर्ष (वर्टेक्स ज्योमेट्) कहा जाता है। दोनों रेखाएं तथा इनसे बनने वाले कोण एक ही तल में होते हैं। दो तलों के प्रतिच्छेदन से तथा दो वक्रो के प्रतिच्छेदन से भी एक कोण बनता हैं, जिन्हे द्वितल (डायहेड्रल) तथा वक्रीय कोण कहा जाता है। जो कि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर संबंधित वक्रों की स्पर्शरेखा वाली रेखाओं का कोण होता है।

कोण का उपयोग कोण या घूर्णन के माप को देखने के लिए भी किया जाता है। यह माप एक वृत्ताकार चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है। एक ज्यामितीय कोण के मामले में, चाप शीर्ष पर केंद्रित होता है और रेखाओं द्वारा सीमांकित होता है। घूर्णन कि स्थिति में, चाप घूर्णन के केंद्र में केंद्रित होता है तथा किसी अन्य बिंदु से तथा घूर्णन द्वारा इसकी छवि को सीमित करता है।

इतिहास और व्युत्पत्ति

कोण शब्द लैटिन शब्द एंगुलस से आया है, जिसका अर्थ "कोना" है।

यूक्लिड एक समतल कोण को, उस तल में, जहां दो तिरछी रेखाएँ, एक दूसरे से मिलती हैं, एक दूसरे के झुकाव के रूप में इसको परिभाषित किया जाता है। 'प्रोक्लस' के अनुसार, कोण या तो गुणवत्ता या मात्रा, या संबंध होना चाहिए। पहली अवधारणा का उपयोग 'यूडेमस' द्वारा किया गया था, जो एक कोण को एक सीधी रेखा से विचलन के रूप में मानते थे, दूसरी 'अन्ताकिया के कार्पस' द्वारा, जिसने इसे प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच का अंतराल या स्थान माना था तथा यूक्लिड ने तीसरी अवधारणा को अपनाया।

कोणों की पहचान

गणितीय व्यंजको में, ग्रीक अक्षरों (α, β, γ, θ, φ, . . . ) किसी कोण के आकार को दर्शाने वाले चर के रूप (इसके अन्य अर्थ के साथ अस्पष्टता से बचने के लिए, प्रतीक π प्रायः पर इस उद्देश्य के लिए उपयोग नहीं किया जाता है) मे उपयोग करना सामान्य है। छोटे रोमन अक्षरों (a, b, c, . . . ) का भी उपयोग किया जाता है। ऐसे परिस्थिति में जहां यह अस्पष्ट नहीं है, एक कोण को बड़े रोमन अक्षर द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो इसके शीर्ष को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस आलेख में आंकड़े देखें।

ज्यामितीय आकृतियों में, कोणों को उन तीन बिंदुओं से भी पहचाना जा सकता है, जो उन्हें परिभाषित करते हैं। उदाहरण के लिए, एबी (AB) तथा एसी (AC) रेखाओं (अर्थात बिंदु ए (A) से बिंदु बी (b) तथा सी (C) तक की रेखाओं) द्वारा गठित शीर्ष ए (A) वाले कोण को ∠BAC या ${\widehat {\rm {BAC}}}$ से दर्शाया गया है। जहां अस्पष्टता का कोई संकट नहीं है, कोण को कभी-कभी केवल इसके शीर्ष द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है।

संभावित रूप से, ∠BAC के रूप में निरूपित एक कोण, चार कोणों में से किसी को भी प्रदर्शित कर सकता है, बी (B) से सी (C) तक का दक्षिणावर्त कोण, बी (B) से सी (C) का वामावर्त कोण, सी (C) से बी (B) का दक्षिणावर्त कोण, या सी (C) से बी (B) का वामावर्त कोण, जहां कोण के माप की दिशा उसका संकेत निर्धारित करती है (धनात्मक और ऋणात्मक कोण देखें)। हालांकि, कई ज्यामितीय स्थितियों में, संदर्भ से यह स्पष्ट है कि धनात्मक कोण 180° डिग्री से कम या उसके बराबर है, ऐसी स्थिति में कोई अस्पष्टता नहीं होती है। अन्यथा, एक समझौता अपनाया जा सकता है ताकि ∠BAC हमेशा बी (B) से सी (C) तक वामावर्त (धनात्मक) कोण को संदर्भित करता है, तथा ∠CAB सी (C) से बी (B) तक वामावर्त (धनात्मक) कोण।

कोणों के प्रकार

व्यक्तिगत कोण

कोणों के लिए कुछ सामान्य शब्दावली है, जिसका माप हमेशा ऋणात्मक नहीं होता।

• 0° के बराबर या मुड़े हुए कोण को शून्य कोण कहा जाता है।

• एक समकोण से छोटे (90° (डिग्री) से कम) कोण को न्यून कोण ("न्यून" अर्थात "स्पष्ट") कहा जाता है।
• अभिलम्बवत दो रेखाओं द्वारा 1/4 मोड़ (टर्न) (90° (डिग्री) या π/2 रेडियन) के बराबर के कोण को समकोण कहा जाता है।
• एक समकोण से बड़ा और एक ऋजु कोण से छोटे (90° (डिग्री) और 180° (डिग्री) के बीच) कोण को अधिक कोण ("अधिक" अर्थात "कुंद") कहा जाता है।
• 1/2 मोड़ (टर्न) के बराबर कोण (180° (डिग्री) या π रेडियन) को एक ऋजु कोण कहा जाता है।
• एक कोण जो एक ऋजु कोण से बड़े तथा 1 मोड़ से कम (180° (डिग्री) और 360° (डिग्री) के बीच) का कोण प्रतिवर्ती कोण कहलाता है।
• 1 मोड़ के बराबर कोण (360° (डिग्री) या 2π रेडियन) को पूर्ण कोण, सम्पूर्ण कोण, गोलाकार कोण या पेरिगॉन कहा जाता है।
• ऐसा कोण जो समकोण का गुणज न हो, तिर्यक कोण कहलाता है।

नाम, अंतराल और मापने की इकाइयाँ नीचे दी गई तालिका में दिखाई गई हैं।

Right angle

Acute (a), obtuse (b), and straight (c) angles. The acute and obtuse angles are also known as oblique angles.

Reflex angle

नाम	शून्य	न्यून	समकोण	अधिक	ऋजु	प्रतिवर्ती	पेरिगॉन
इकाइयाँ	अंतराल
मोड़ (टर्न)	0 turn	(0, 1/4) turn	1/4 turn	(1/4, 1/2) turn	1/2 turn	(1/2, 1) turn	1 turn
रेडियन	0 rad	(0, 1/2π) rad	1/2π rad	(1/2π, π) rad	π rad	(π, 2π) rad	2π rad
डिग्री	0°	(0, 90)°	90°	(90, 180)°	180°	(180, 360)°	360°
गोन	0g	(0, 100)g	100g	(100, 200)g	200g	(200, 400)g	400g

तुल्यता कोण जोड़े

• समान माप वाले कोण सर्वांगसम कहलाते हैं। एक कोण को उसके माप से परिभाषित किया जाता है और यह कोण की भुजाओं की लंबाई पर निर्भर नहीं होता है (उदाहरण के लिए सभी समकोण माप में बराबर होते हैं)।
• दो कोण जो अंतिम रेखाओं का साझा करते हैं, लेकिन एक मोड़ (टर्न) के पूर्णांक गुणक द्वारा आकार में भिन्न होते हैं, कोटरमिनल कोण कहलाते हैं।
• एक संदर्भ कोण किसी भी कोण का न्यून संस्करण है, जिसे बार-बार घटाकर या सीधे कोण (1/2 मोड़ (टर्न), 180° (डिग्री) या रेडियन) को जोड़कर निर्धारित किया जाता है,आवश्यकतानुसार परिणामों के लिए, जब तक परिणाम का परिमाण एक न्यून कोण न हो, 0 और1/4 मोड़ (टर्न) के बीच का मान, 90° (डिग्री), या π/2 रेडियन। उदाहरण के लिए, 30° (डिग्री) के कोण में 30° डिग्री का संदर्भ कोण होता है, और 150° (डिग्री) के कोण में 30° (डिग्री) (180-150) का संदर्भ कोण भी होता है। 750° (डिग्री) के कोण का संदर्भ कोण 30° (डिग्री) (750-720) होता है।

लंबवत और आसन्न कोण जोड़े

कोण समानता दिखाने के लिए यहां हैच के निशान का उपयोग किया जाता है।

जब दो सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेदन से चार कोण बनते हैं। जोड़ी में इन कोणों को एक दूसरे के सापेक्ष उनके स्थान के अनुसार नाम दिए गए है।

• दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से बनी X-समान आकृति मे एक दूसरे विपरीत मुख के बने एक कोण युग्म को उर्ध्वाधर कोण या सम्मुख कोण या लंबवत सम्मुख कोण कहते हैं। उन्हें vert. opp. ∠s के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस. उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के 'यूडेमस' ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया। प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के समपूरक हैं, लंबवत कोण माप में बराबर होते हैं। एक ऐतिहासिक टिप्पणी के अनुसार, जब 'थेल्स' ने देखा कि जब मिस्रवासी दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ खींचते हैं, तो वे यह सुनिश्चित करने के लिए लंबवत कोणों को मापते हैं, कि वे समान हैं। 'थेल्स' ने निष्कर्ष निकाला कि कोई यह साबित कर सकता है, कि सभी लंबवत कोण समान होते हैं, यदि कोई कुछ सामान्य धारणाओं को स्वीकार करता है, जैसे

• सभी समकोण समान होते हैं।
• बराबर में जोड़े गए बराबर बराबर होते हैं।
• बराबर में से घटाए गए बराबर बराबर होते हैं।

जब दो आसन्न कोण एक सीधी रेखा बनाते हैं, तो वे संपूरक होते हैं। इसलिए, यदि हम यह मान लें कि कोण ए (A) की माप x के बराबर है, तो कोण सी (C) की माप 180° − x होगी। इसी प्रकार, कोण डी (D) की माप 180° − x होगी। कोण सी (C) और कोण डी (D) दोनों के माप के बराबर हैं 180° − x और सर्वांगसम हैं। चूँकि कोण बी (B) दोनों कोणों सी (C) और डी (D) का पूरक है, कोण बी (B) की माप को निर्धारित करने के लिए इनमें से किसी भी कोण माप का उपयोग किया जा सकता है। कोण सी (C) या कोण डी (D) की माप का उपयोग करके, हम कोण बी (B) की माप 180° − (180° − x) = 180° − 180° + x = x ज्ञात करते हैं। इसलिए, कोण ए (A) और कोण बी (B) दोनों के माप x के बराबर हैं, और माप में बराबर हैं।

कोण A और B आसन्न हैं।

• आसन्न कोण, प्रायः adj के रूप में संक्षिप्त। एस (∠s) ऐसे कोण हैं, जो एक सामान्य शीर्ष और रेखा साझा करते हैं लेकिन कोई आंतरिक बिंदु का साझा नहीं करते हैं। दूसरे शब्दों में, आसन्न कोण एक ही भुजा का साझा करते हैं। आसन्न कोण जो एक समकोण, ऋजुकोण या पूर्ण कोण का योग होते हैं, विशेष होते हैं और क्रमशः समपूरक, अनुपूरक और पूरक कोण कहलाते हैं।

एक तिर्यक रेखा एक रेखा है जो (प्रायः समानांतर) रेखाओं की एक जोड़ी को काटती है, और वैकल्पिक आंतरिक कोणों, संगत कोणों, आंतरिक कोणों और बाहरी कोणों से जुड़ी होती है।

कोण जोड़े का संयोजन

तीन विशेष कोण जोड़े में कोणों का योग शामिल होता है:

पूरक कोण a और b (b a और a का पूरक है। > b) का पूरक है।

• पूरक कोण कोण युग्म होते हैं, जिनकी मापों का योग एक समकोण (1/4 मोड़, 90° (डिग्री), या π/2 रेडियन) होता है । यदि दो पूरक कोण आसन्न हैं, तो उनकी वह भुजाएँ जो उभयनिष्ठ नहीं होती, एक समकोण बनाती हैं। यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक समकोण त्रिभुज में दो न्यून कोण पूरक होते हैं, क्योंकि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180° (डिग्री) होता है, और समकोण स्वयं 90° (डिग्री) का होता है।

विशेषण समपूरक लैटिन समपूरक से है, जो क्रिया के साथ जुड़ा है, "भरने के लिए"। एक समकोण बनाने के लिए इसके पूरक द्वारा एक न्यून कोण "भरा" जाता है।

कोण और समकोण के बीच के अंतर को कोण का पूरक कहा जाता है। यदि कोण ए (A) और बी (B) पूरक हैं, तो निम्नलिखित संबंध रखते है।

${\begin{aligned}&\sin ^{2}A+\sin ^{2}B=1&&\cos ^{2}A+\cos ^{2}B=1\\[3pt]&\tan A=\cot B&&\sec A=\csc B\end{aligned}}$

(एक कोण की स्पर्श रेखा उसके पूरक के सह-स्पर्शरेखा के बराबर होती है और उसका छेदक उसके पूरक के सह-छेदक के बराबर होती है।)

कुछ त्रिकोणमितीय अनुपातों के नामों में उपसर्ग "सह" समपूरक शब्द को संदर्भित करता है।

• दो कोण जो एक ऋजु कोण का योग करते हैं (1/2 मोड़ (टर्न), 180° (डिग्री), या π रेडियन) समपूरक कोण कहलाते हैं। यदि दो समपूरक कोण आसन्न हैं (अर्थात एक उभयनिष्ठ शीर्ष है), तो उनकी वह भुजाएँ जो उभयनिष्ठ नहीं होती, एक सीधी रेखा बनाती हैं। ऐसे कोणों को कोणों का रैखिक युग्म कहा जाता है। हालांकि, समपूरक कोणों का एक ही रेखा पर होना जरूरी नहीं है। उदाहरण के लिए, समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण तथा चक्रीय चतुर्भुज (जिसके शीर्ष सभी एक ही वृत्त पर पड़ते हैं) के सम्मुख कोण समपूरक होते हैं।

यदि एक बिंदु पी (P) केंद्र ओ (O) वाले वृत्त के बाहर है, और यदि पी (P) से स्पर्श रेखाएँ वृत्त को बिंदु टी (T) और क्यू (Q) पर स्पर्श करती हैं, तो ∠टीपीक्यू (∠TPQ) और ∠टीओक्यू (∠TOQ) पूरक हैं।

संपूरक कोणों की ज्या बराबर होती है। उनके कोज्या और स्पर्श रेखाएं (जब तक कि परिभाषित है) परिमाण में बराबर होते हैं, लेकिन विपरीत चिह्न होते हैं।

यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज के दो कोणों का योग तीसरे का समपूरक होता है, क्योंकि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग एक ऋजु कोण होता है।

• दो कोण जिनका योग एक पूर्ण कोण (1 मोड़ (टर्न), 360° (डिग्री), या 2π रेडियन) होता है, समपूरक कोण या संयुग्म कोण कहलाते हैं। एक कोण और एक पूर्ण कोण के बीच के अंतर को कोण का योग या कोण का संयुग्मी कहा जाता है।

बहुभुज-संबंधित कोण

• एक साधारण बहुभुज के अंदर का कोण एक आंतरिक कोण कहलाता है। एक साधारण अवतल बहुभुज में कम से कम एक आंतरिक कोण होता है जो एक प्रतिवर्त कोण होता है।

  यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज के आंतरिक कोणों के मापों का योग π रेडियन, 180° (डिग्री) या 1/2 मोड़ (टर्न) तक होता है। एक साधारण उत्तल चतुर्भुज के आंतरिक कोणों के मापों योग 2π रेडियन, 360° (डिग्री) या 1 मोड़ (टर्न) तक होता हैं। सामान्यतः, n भुजाओं वाले एक साधारण उत्तल बहुभुज के आंतरिक कोणों के मापों का योग (n − 2) π रेडियन, (n − 2)180° (डिग्री), (n − 2)2 समकोण, या (n − 2)1/2 मोड़ (टर्न) होता है।

• एक आंतरिक कोण के पूरक को एक बाह्य कोण कहा जाता है, अर्थात एक आंतरिक कोण और एक बाह्य कोण, कोणों का एक रैखिक युग्म बनाते हैं। बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष पर दो बाहरी कोण होते हैं, प्रत्येक को शीर्ष पर मिलने वाली दो रेखाओ में से एक को विस्तारित करके प्राप्त करते है, ये दो कोण लंबवत तथा बराबर हैं। एक बाह्य कोण बहुभुज का पता लगाने के लिए एक शीर्ष पर घूर्णन की मात्रा को मापता है। यदि संगत आंतरिक कोण एक प्रतिवर्त कोण है, तो बाह्य कोण को ऋणात्मक माना जाना चाहिए। यहां तक ​​कि एक आसाधारण बहुभुज में भी बाह्य कोण को परिभाषित करना संभव हो सकता है, लेकिन बाह्य कोण माप के चिन्ह को तय करने के लिए किसी को समतल (या सतह) का एक अभिविन्यास चुनना होगा।

  यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक साधारण उत्तल बहुभुज के बाह्य कोणों का योग, यदि प्रत्येक शीर्ष पर दो बाह्य कोणों में से केवल एक माना जाए तो एक पूर्ण मोड़ (टर्न) 360°(डिग्री) होगा। यहाँ बाह्य कोण को पूरक बाह्य कोण कहा जा सकता है। नियमित बहुभुज बनाते समय बाह्य कोणों का उपयोग प्रायः लोगो टर्टल कार्यक्रमों में किया जाता है।

• एक त्रिभुज में, दो बाह्य कोणों के समद्विभाजक और दूसरे आंतरिक कोण के समद्विभाजक समवर्ती होते हैं (एक बिंदु पर मिलते हैं)।
• एक त्रिभुज में, तीन प्रतिच्छेदन बिंदु, प्रत्येक बाह्य कोण का समद्विभाजक, जिसकी विपरीत विस्तारित भुजा होती है, संरेख होते हैं।
• एक त्रिभुज में, तीन प्रतिच्छेदन बिंदु, उनमें से दो एक आंतरिक कोण समद्विभाजक और विपरीत विस्तारित भुजा, और तीसरा बाह्य कोण समद्विभाजक और विपरीत विस्तारित भुजा के बीच, संरेख हैं।
• कुछ लेखक साधारण बहुभुज के बाह्य कोण के नाम का उपयोग केवल आंतरिक कोण के बाह्य कोण (पूरक नहीं!) लागू करने के लिए करते हैं। यह उपरोक्त उपयोग के साथ विरोध करता है।

समतल से संबंधित कोण

• दो तलों के बीच के कोण (जैसे एक बहुफलक के दो आसन्न फलक) को द्विफलकीय कोण कहा जाता है। यह समतल से लम्बवत दो रेखाओं के बीच न्यून कोण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
• एक समतल और एक प्रतिच्छेदी सीधी रेखा के बीच का कोण प्रतिच्छेदन रेखा और प्रतिच्छेदन बिंदु से जाने वाली रेखा के बीच के कोण को घटाकर नब्बे डिग्री (90°) के बराबर होता है तथा समतल के अभिलंबवत होता है।

मापने के कोण

एक ज्यामितीय कोण का आकार सामान्यतः सबसे छोटे घूर्णन के परिमाण की विशेषता होती है, जो एक रेखा को दूसरे में मैप करता है। समान आकार वाले कोणों को समान या सर्वांगसम कहा जाता है।

कुछ संदर्भों में, जैसे किसी वृत्त पर एक बिंदु की पहचान करना या किसी संदर्भ अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) के सापेक्ष दो विमाओ में किसी वस्तु के अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) का वर्णन करना, पूर्ण मोड़ (टर्न) के निश्चित गुणक से भिन्न कोण प्रभावी रूप से समतुल्य होते हैं। अन्य संदर्भों में, जैसे कि एक कुंडलित वक्र पर एक बिंदु की पहचान करना या किसी संदर्भ अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) के सापेक्ष दो विमाओ में किसी वस्तु के संचयी घूर्णन का वर्णन करना, एक पूर्ण मोड़ (टर्न) के अशून्य गुणक से भिन्न कोण समतुल्य नहीं होते हैं।

आर}} रेडियन}}।

कोण θ को मापने के लिए, कोण के शीर्ष को केंद्र मानकर एक वृत्ताकार चाप खींचा जाता है, उदाहरण के लिए परकार (कंपास) के एक जोड़े के साथ। चाप की लंबाई एस (s) का वृत्त की त्रिज्या आर (r) से अनुपात, कोण में रेडियन की संख्या है। परंपरागत रूप से, गणित और एसआई (SI) में, रेडियन को विमाहीन मान 1 के बराबर माना जाता है।

कोण को एक और कोणीय इकाई से व्यक्त किया गया है, अतः कोण को k/2π के रूप के उपयुक्त रूपांतरण स्थिरांक से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है, जहाँ k चुनी हुई इकाई में व्यक्त एक पूर्ण मोड़ (टर्न) का माप है (उदाहरण के लिए, k = 360° के लिए डिग्री या 400 ग्रेड के लिए ग्रेडियन)।

$\theta ={\frac {k}{2\pi }}\cdot {\frac {s}{r}}.$

इस प्रकार परिभाषित θ का मान वृत्त के आकार पर निर्भर नहीं करता, यदि त्रिज्या की लंबाई बदल जाती है तो चाप की लंबाई उसी अनुपात में बदल जाती है, अतः अनुपात एस/आर (s/r) अपरिवर्तित रहता है।

कोण योग अभिधारणा

कोण योग अभिधारणा बताती है कि यदि बी (B) कोण एओसी (∠AOC) के अंदर है, तो

$m\angle \mathrm {AOC} =m\angle \mathrm {AOB} +m\angle \mathrm {BOC}$

कोण एओसी (∠AOC) कि माप कोण एओबी (∠AOB) के माप और कोण बीओसी (∠BOC) के माप का योग होता है।

इकाइयां

1 रेडियन की परिभाषा

पूरे इतिहास में, कोणों को विभिन्न इकाइयों में मापा गया है। इन्हें कोणीय इकाइयों के रूप में जाना जाता है, जिनमें सबसे आधुनिक इकाइयाँ डिग्री (°), रेडियन (रेड), और ग्रेडियन (ग्रेड) इत्यादि हैं।

मात्राओं की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली में, कोण एक विमाहीन राशि के रूप में परिभाषित है। यह प्रभावित करता है कि विमीय विश्लेषण में कोण कैसा व्यवहार करता है।

कोणीय माप की अधिकांश इकाइयाँ इस प्रकार परिभाषित हैं कि किसी पूर्ण संख्या एन (n) के लिए एक मोड़ (टर्न) (अर्थात एक पूर्ण वृत्त) एन (n) इकाइयों के बराबर होता है। रेडियन (और इसके दशमलव उपगुणक) और व्यास दो अपवाद हैं।

एक रेडियन एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण होता है जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के समान होती है। रेडियन एसआई (SI) प्रणाली में कोणीय माप की व्युत्पन्न इकाई है। हालांकि अस्पष्टता से बचने के लिए इसे रेड (rad) के रूप में दर्शाया जा सकता है। डिग्री में मापे गए कोणों को (°) प्रतीक से दिखाया जाता है। डिग्री के उपखंड मिनट हैं (1 मिनट (′) = 1/60° (डिग्री)) और दूसरा (1 सेकंड (") = 1/3600° (डिग्री)) है। 360° (डिग्री) का कोण एक पूर्ण वृत्त द्वारा अंतरित कोण के सामान होता है, 2π रेडियन, या 400 ग्रेडियन के बराबर होता है।

कोणों को निरूपित करने के लिए प्रयुक्त अन्य इकाइयाँ निम्नलिखित तालिका में सूचीबद्ध हैं। इन इकाइयों को इस तरह परिभाषित किया गया है कि मोड़ (टर्न्स) की संख्या एक पूर्ण घूर्णन के बराबर है।

नाम	एक मोड़ (टर्न) में संख्या	डिग्री में	विवरण
मोड़ (टर्न)	1	360°	मोड़ (टर्न), चक्र, परिक्रमण और घूर्णन, पूर्ण वृत्तीय गति या माप (उसी बिंदु पर लौटने के लिए) है। अनुप्रयोग के आधार पर एक मोड़ (टर्न) संक्षिप्त रूप से सीवाईसी (cyc),आरइवी (rev), या आरओटी (rot) है। एक मोड़ 2π रेडियन या 360° (डिग्री) के बराबर होता है।
π के गुणज	2	180°	π रेडियन एमयूएलπ (MULπ) इकाई के गुणकों को आरपीएन वैज्ञानिक कैलकुलेटर में लागू किया जाता है। WP 43S। यह भी देखें IEEE 754 recommended operations
चतुर्थाँश	4	90°	एक चतुर्थांश एक 1/4 मोड़ (टर्न) और समकोण भी कहते है। चतुर्थांश यूक्लिड के तत्वों में प्रयुक्त इकाई है। एक चतुर्थांश को दर्शाने के लिए प्रतीक ∟ का उपयोग किया गया है। 1 क्वाड = 90° = π/2 रेड (rad) = 1/4 टर्न = 100 ग्रेड (grad)।
सेक्सटैंट	6	60°	सेक्स्टेंट बेबीलोनियों द्वारा उपयोग की जाने वाली इकाई थी, डिग्री, चाप का मिनट और चाप का सेकंड बेबीलोनियाई इकाई कि