क्यूएमए

This article is about गणितीय सिद्धांत. For समाक्षीय आरएफ कनेक्टर, see क्यूएमए और क्यूएन कनेक्टर.

कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत में, क्यूएमए, जो क्वांटम आर्थर-मर्लिन प्रोटोकॉल के लिए स्थित है, लैंग्वेज का समूह होता है, जिसके लिए, जब स्ट्रिंग लैंग्वेज में होती है, तो बहुपद-आकार का क्वांटम प्रमाण (क्वांटम स्थिति) होता है जो बहुपद समय क्वांटम सत्यापनकर्ता (क्वांटम कंप्यूटर पर चलने वाले) को उच्च संभावना के साथ इस तथ्य के सम्बन्ध में आश्वस्त करता है। इसके अतिरिक्त, जब स्ट्रिंग लैंग्वेज में नहीं होती है, तो प्रत्येक बहुपद-आकार की क्वांटम स्थिति को सत्यापनकर्ता द्वारा उच्च संभावना के साथ रद्द कर दिया जाता है।

क्यूएमए और बीक्यूपी के मध्य संबंध जटिलता वर्गों [[एनपी (जटिलता)]] और P (जटिलता) के मध्य संबंध के अनुरूप होता है। यह संभाव्य जटिलता वर्ग आर्थर-मर्लिन प्रोटोकॉल और बीपीपी (जटिलता) के मध्य संबंध के अनुरूप भी होता है।.

क्यूएमए संबंधित जटिलता वर्ग है, जिसमें काल्पनिक एजेंट आर्थर और मर्लिन अनुक्रम को प्रमाण प्रदान करते हैं: आर्थर यादृच्छिक स्ट्रिंग उत्पन्न करता है, मर्लिन क्वांटम प्रमाणपत्र (जटिलता) के साथ उत्तर देता है और आर्थर इसे बीक्यूपी मशीन के रूप में सत्यापित करता है।

परिलैंग्वेज

लैंग्वेज L में है, ${\mathsf {QMA}}(c,s)$ यदि बहुपद समय क्वांटम सत्यापनकर्ता V और बहुपद उपस्थित है, तो $p(x)$ऐसा है कि:

• $\forall x\in L$, जहाँ क्वांटम अवस्था उपस्थित है I $|\psi \rangle$ ऐसी संभावना है कि V इनपुट स्वीकार करता है, $(|x\rangle ,|\psi \rangle )$ c से बड़ा है I
• $\forall x\notin L$, सभी क्वांटम अवस्थाओं के लिए $|\psi \rangle$, संभावना है कि V इनपुट स्वीकार करता है $(|x\rangle ,|\psi \rangle )$ s से कम है I

जहाँ $|\psi \rangle$ सभी क्वांटम अवस्थाओं अवस्थाओं $p(|x|)$ क्वैबिट्स पर निर्भर करता है I

जटिलता वर्ग ${\mathsf {QMA}}$, ${\mathsf {QMA}}({2}/{3},1/3)$ के बराबर परिभाषित किया गया है I चूँकि, स्थिरांक बहुत महत्वपूर्ण नहीं हैं क्योंकि वर्ग अपरिवर्तित रहता है, c और s को ऐसे किसी भी स्थिरांक पर सेट किया जाता है, c से s बड़ा है I इसके अतिरिक्त, किसी भी बहुपद के लिए $q(n)$ और $r(n)$, इस प्रकार है:-

${\mathsf {QMA}}\left({\frac {2}{3}},{\frac {1}{3}}\right)={\mathsf {QMA}}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{q(n)}},{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{q(n)}}\right)={\mathsf {QMA}}(1-2^{-r(n)},2^{-r(n)})$.

क्यूएमए में समस्याएं

चूंकि क्यूएमए में कई वर्ग सम्मिलित हैं, जैसे P, BQP और NP, उन वर्गों की सभी समस्याएं भी क्यूएमए में हैं। चूँकि, ऐसी समस्याएँ हैं जो क्यूएमए में हैं, किन्तु NP या BQP में नहीं हैं। ऐसी कुछ प्रसिद्ध समस्याओं पर नीचे चर्चा की गई है।

समस्या को क्यूएमए-हार्ड कहा जाता है, जो एनपी हार्ड के समान है, यदि क्यूएमए में प्रत्येक समस्या इसमें कमी (जटिलता) हो सकती है। किसी समस्या को क्यूएमए-पूर्ण (जटिलता) कहा जाता है यदि वह क्यूएमए हार्ड और क्यूएमए में है।

स्थानीय हैमिल्टनियन समस्या

k-स्थानीय हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) $H$ हर्मिटियन मैट्रिक्स है, जो n क्वैबिट पर कार्य करता है जिसे इसके योग के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, $m$ हैमिल्टनियन नियम अधिकतम पर कार्य करती हैं I $k$ प्रत्येक को क्वैबिट करता है।

$H=\sum _{i=1}^{m}H_{i}$

सामान्य k-स्थानीय हैमिल्टनियन समस्या, k-स्थानीय हैमिल्टनियन दी गई है I $H$, सबसे छोटा ईजीएनमूल्य परिक्षण के लिए $\lambda$ का $H$ है I $\lambda$ इसे हैमिल्टनियन की आधार अवस्था ऊर्जा भी कहा जाता है।

k-स्थानीय हैमिल्टनियन समस्या का निर्णय संस्करण प्रकार की प्रॉमिस समस्या है, और इसे k-स्थानीय हैमिल्टनियन के रूप में परिभाषित किया गया है, और $\alpha ,\beta$ जहाँ $\alpha >\beta$, यह तय करने के लिए कि क्या कोई क्वांटम ईजेनस्टेट उपस्थित है I $|\psi \rangle$ का $H$ संबद्ध ईजीएनमूल्य के साथ $\lambda$, ऐसा है कि $\lambda \leq \beta$ या यदि$\lambda \geq \alpha$ है I

स्थानीय हैमिल्टनियन समस्या अधिकतम संतुष्टि समस्या MAX-SAT का क्वांटम एनालॉग है। k-स्थानीय हैमिल्टनियन समस्या k ≥ 2 के लिए क्यूएमए-पूर्ण है।

क्वैबिट के द्वि-आयामी ग्रिड पर कार्य करने के लिए प्रतिबंधित 2-स्थानीय हैमिल्टनियन समस्या भी क्यूएमए-पूर्ण है। यह प्रदर्शित किया गया है कि k-स्थानीय हैमिल्टनियन समस्या अभी भी क्यूएमए-हार्ड है, यहां तक ​​​​कि हैमिल्टनियनों के लिए भी जो प्रति कण 12 स्टेट के साथ निकटतम-पड़ोसी इंटरैक्शन के साथ कणों की 1-आयामी रेखा का प्रतिनिधित्व करते हैं। यदि सिस्टम अनुवादात्मक रूप से-अपरिवर्तनीय है, तो इसकी स्थानीय हैमिल्टनियन समस्या QMA_EXP-पूर्ण बन जाती है (चूंकि समस्या इनपुट सिस्टम आकार में एन्कोड किया गया है, सत्यापनकर्ता के पास अब समान प्रॉमिस के अंतर को बनाए रखते हुए घातीय रनटाइम है)।

क्यूएमए-हार्ड परिणाम ZX हैमिल्टनियन जैसे क्वैबिट के सरल लैटिस प्रारूप के लिए जाने जाते हैं I

$H_{ZX}=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{h}_i{Z}_i+\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_i{X}_i+\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}$