सामान्य क्रम

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में क्वांटम क्षेत्रों का गुणनफल, या समकक्ष रूप से उनके निर्माण और विलोपन संक्रियकों को सामान्यतः सामान्य क्रम (जिसे विक क्रम भी कहा जाता है) कहा जाता है, जब सभी निर्माण संक्रियक गुणनफल में सभी विलोपन संक्रियकों के बाईं ओर होते हैं। किसी गुणनफल को सामान्य क्रम में रखने की प्रक्रिया को सामान्य क्रमण (जिसे विक क्रमण भी कहा जाता है) कहा जाता है। असामान्य क्रम और असामान्य क्रमण को समान रूप से परिभाषित किया गया है, जहां विलोपन संक्रियकों को निर्माण संक्रियकों के बाईं ओर रखा गया है।

क्वांटम क्षेत्र या निर्माण और विलोपन संक्रियकों के गुणनफल के सामान्य क्रम को कई वैकल्पिक परिभाषाओं में भी परिभाषित किया जा सकता है। कौन सी परिभाषा सबसे उपयुक्त है यह किसी दी गई गणना के लिए आवश्यक अपेक्षा मानों पर निर्भर करती है। इस लेख का अधिकांश भाग सामान्य क्रम की सबसे सामान्य परिभाषा का उपयोग करता है जैसा कि ऊपर दिया गया है, जो निर्माण और विलोपन संक्रियकों की निर्वात स्थिति का उपयोग करके अपेक्षा मान लेते समय उपयुक्त है।

सामान्य क्रम की प्रक्रिया क्वांटम यांत्रिकी हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण होता है। शास्त्रीय यांत्रिकी हैमिल्टनियन की मात्रा निर्धारित करते समय संक्रियक क्रम चुनते समय कुछ स्वतंत्रता होती है, और ये विकल्प शून्य-बिंदु ऊर्जा में अंतर उत्पन्न करते हैं। इसीलिए इस प्रक्रिया का उपयोग क्वांटम क्षेत्र की अनंत निर्वात ऊर्जा को समाप्त करने के लिए भी किया जा सकता है।

संकेतन

यदि ${\hat {O}}$ निर्माण और/या विलोपन संक्रियकों (या समकक्ष, क्वांटम क्षेत्र) के यादृच्छिक गुणनफल को दर्शाता है, तो ${\hat {O}}$ का सामान्य क्रमबद्ध रूप ${\mathopen {:}}{\hat {O}}{\mathclose {:}}$ द्वारा दर्शाया जाता है।

एक वैकल्पिक संकेतन ${\mathcal {N}}({\hat {O}})$ है।

ध्यान दें कि सामान्य क्रमण अवधारणा है जो मात्र संक्रियकों के गुणनफलों के लिए समझ में आती है। संक्रियकों के योग पर सामान्य क्रम लागू करने का प्रयत्न उपयोगी नहीं है क्योंकि सामान्य क्रम रैखिक क्रिया नहीं है।

बोसोन

बोसॉन वे कण हैं जो बोस-आइंस्टीन के आँकड़ों को संतुष्ट करते हैं। अब हम बोसोनिक निर्माण और विलोपन संक्रियक गुणनफलों के सामान्य क्रम की जांच करेंगे।

एकल बोसॉन

यदि हम मात्र प्रकार के बोसॉन से प्रारंभ करते हैं तो रुचि के दो संक्रियक हैं:

• ${\hat {b}}^{\dagger }$: बोसॉन का निर्माण संक्रियक।
• ${\hat {b}}$: बोसॉन का विलोपन संक्रियक।

ये दिक्परिवर्तक संबंध

$\left[{\hat {b}}^{\dagger },{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=0$

$\left[{\hat {b}},{\hat {b}}\right]_{-}=0$

$\left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=1$

को संतुष्ट करते हैं, जहां $\left[A,B\right]_{-}\equiv AB-BA$ दिक्परिवर्तक को दर्शाता है। अतः हम अंतिम को इस प्रकार पुनः लिख सकते हैं: ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1$।

उदाहरण

1. हम प्रथमतः सबसे सरल स्थिति पर विचार करेंगे। इस प्रकार से यह ${\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}$:

${:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}$ सामान्य क्रम है।

अभिव्यक्ति ${\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}$ को नहीं परिवर्तित किया गया है क्योंकि यह स्थिति से ही सामान्य क्रम में है - निर्माण संक्रियक $({\hat {b}}^{\dagger })$ स्थिति से ही विलोपन संक्रियक $({\hat {b}})$ के बाईं ओर है।

2. एक अधिक रोचक उदाहरण ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }$:

${:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}$ का सामान्य क्रम है।

यहां सामान्य क्रमण क्रिया ने ${\hat {b}}$ के बाईं ओर ${\hat {b}}^{\dagger }$ रखकर प्रतिबंधों को फिर से व्यवस्थित किया है।

इन दोनों परिणामों को

${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1={:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}\;+1$ प्राप्त करने के लिए ${\hat {b}}$ और ${\hat {b}}^{\dagger }$ द्वारा पालन किए गए दिक्परिवर्तक संबंध के साथ जोड़ा जा सकता है।

या

${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }-{:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}=1$।

इस समीकरण का उपयोग विक प्रमेय में प्रयुक्त संकुचन को परिभाषित करने में किया जाता है।

3. एकाधिक संक्रियकों वाला उदाहरण है:

$:{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}}^{†<!--\; †\; -->}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}}^{†<!--\; †\; -->}$