सामान्य क्रम

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क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में क्वांटम क्षेत्रों का एक उत्पाद, या समकक्ष रूप से उनके निर्माण और विनाश ऑपरेटरों को आमतौर पर सामान्य ऑर्डर (जिसे विक ऑर्डर भी कहा जाता है) कहा जाता है, जब सभी निर्माण ऑपरेटर उत्पाद में सभी विनाश ऑपरेटरों के बाईं ओर होते हैं। किसी उत्पाद को सामान्य क्रम में रखने की प्रक्रिया को सामान्य ऑर्डरिंग (जिसे विक ऑर्डरिंग भी कहा जाता है) कहा जाता है। एंटीनॉर्मल ऑर्डर और एंटीनॉर्मल ऑर्डरिंग को समान रूप से परिभाषित किया गया है, जहां विनाश ऑपरेटरों को निर्माण ऑपरेटरों के बाईं ओर रखा गया है।

क्वांटम फ़ील्ड या निर्माण और विनाश ऑपरेटरों के उत्पाद के सामान्य क्रम को कई #वैकल्पिक परिभाषाओं में भी परिभाषित किया जा सकता है। कौन सी परिभाषा सबसे उपयुक्त है यह किसी दी गई गणना के लिए आवश्यक अपेक्षा मूल्यों पर निर्भर करती है। इस लेख का अधिकांश भाग सामान्य क्रम की सबसे सामान्य परिभाषा का उपयोग करता है जैसा कि ऊपर दिया गया है, जो सृजन और विनाश ऑपरेटरों की निर्वात स्थिति का उपयोग करके अपेक्षा मान लेते समय उपयुक्त है।

सामान्य क्रम की प्रक्रिया क्वांटम यांत्रिकी हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। शास्त्रीय यांत्रिकी हैमिल्टनियन की मात्रा निर्धारित करते समय ऑपरेटर ऑर्डर चुनते समय कुछ स्वतंत्रता होती है, और ये विकल्प शून्य-बिंदु ऊर्जा में अंतर पैदा करते हैं। इसीलिए इस प्रक्रिया का उपयोग क्वांटम क्षेत्र की अनंत वैक्यूम ऊर्जा को खत्म करने के लिए भी किया जा सकता है।

नोटेशन

अगर ${\hat {O}}$ निर्माण और/या विनाश ऑपरेटरों (या समकक्ष, क्वांटम फ़ील्ड) के एक मनमाने उत्पाद को दर्शाता है, फिर सामान्य क्रमबद्ध रूप ${\hat {O}}$ द्वारा निरूपित किया जाता है ${\mathopen {:}}{\hat {O}}{\mathclose {:}}$.

एक वैकल्पिक संकेतन है ${\mathcal {N}}({\hat {O}})$.

ध्यान दें कि सामान्य ऑर्डरिंग एक अवधारणा है जो केवल ऑपरेटरों के उत्पादों के लिए समझ में आती है। ऑपरेटरों के योग पर सामान्य ऑर्डर लागू करने का प्रयास उपयोगी नहीं है क्योंकि सामान्य ऑर्डर एक रैखिक ऑपरेशन नहीं है।

बोसोन

बोसॉन वे कण हैं जो बोस-आइंस्टीन के आँकड़ों को संतुष्ट करते हैं। अब हम बोसोनिक निर्माण और विनाश ऑपरेटर उत्पादों के सामान्य ऑर्डर की जांच करेंगे।

एकल बोसॉन

यदि हम केवल एक प्रकार के बोसॉन से शुरू करते हैं तो रुचि के दो ऑपरेटर हैं:

• ${\hat {b}}^{\dagger }$: बोसॉन का निर्माण संचालक।
• ${\hat {b}}$: बोसॉन का विनाश संचालक।

ये कम्यूटेटर संबंध को संतुष्ट करते हैं

$\left[{\hat {b}}^{\dagger },{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=0$

$\left[{\hat {b}},{\hat {b}}\right]_{-}=0$

$\left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=1$

कहाँ $\left[A,B\right]_{-}\equiv AB-BA$ कम्यूटेटर को दर्शाता है. हम अंतिम को इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं: ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1.$

उदाहरण

1. हम पहले सबसे सरल मामले पर विचार करेंगे। यह सामान्य क्रम है ${\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}$:

${:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.$

इजहार ${\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}$ बदला नहीं गया है क्योंकि यह पहले से ही सामान्य क्रम में है - निर्माण ऑपरेटर $({\hat {b}}^{\dagger })$ यह पहले से ही विनाश ऑपरेटर के बाईं ओर है $({\hat {b}})$.

2. एक अधिक दिलचस्प उदाहरण सामान्य क्रम है ${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }$:

${:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.$

यहां सामान्य ऑर्डरिंग ऑपरेशन ने शर्तों को रखकर पुनः व्यवस्थित किया है ${\hat {b}}^{\dagger }$ के बाईं ओर ${\hat {b}}$.

इन दोनों परिणामों को पालन किए गए रूपान्तरण संबंध के साथ जोड़ा जा सकता है ${\hat {b}}$ और ${\hat {b}}^{\dagger }$ पाने के

${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}+1={:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}\;+1.$

या

${\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }-{:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}=1.$

इस समीकरण का उपयोग विक प्रमेय में प्रयुक्त संकुचन को परिभाषित करने में किया जाता है।

3. एकाधिक ऑपरेटरों वाला एक उदाहरण है:

$:{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}}^{†<!--\; †\; -->}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{b}$