स्पिन निरूपण

गणित में, स्पिन अभ्यावेदन मनमाने आयाम और मीट्रिक हस्ताक्षर (यानी, अनिश्चित ऑर्थोगोनल समूहों सहित) में ऑर्थोगोनल समूह या विशेष ऑर्थोगोनल समूहों के विशेष प्रक्षेपी प्रतिनिधित्व हैं। अधिक सटीक रूप से, वे स्पिन समूहों के एक लाई समूह के दो समकक्ष प्रतिनिधित्व हैं, जो विशेष ऑर्थोगोनल समूहों के डबल कवरिंग समूह हैं। इनका अध्ययन आमतौर पर वास्तविक संख्या या जटिल संख्याओं पर किया जाता है, लेकिन इन्हें अन्य क्षेत्रों (गणित) पर परिभाषित किया जा सकता है।

स्पिन प्रतिनिधित्व के तत्वों को स्पिनर कहा जाता है। वे इलेक्ट्रॉन जैसे फरमिओन्स के भौतिकी विवरण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

स्पिन अभ्यावेदन का निर्माण कई तरीकों से किया जा सकता है, लेकिन आम तौर पर निर्माण में समूह के वेक्टर प्रतिनिधित्व में अधिकतम आइसोट्रोपिक उप-स्थान का विकल्प शामिल होता है (शायद केवल अप्रत्यक्ष रूप से)। वास्तविक संख्याओं के मुकाबले, इसके लिए आमतौर पर वेक्टर प्रतिनिधित्व के एक जटिलीकरण का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। इस कारण से, पहले जटिल संख्याओं पर स्पिन प्रतिनिधित्व को परिभाषित करना और वास्तविक संरचनाओं को पेश करके वास्तविक प्रतिनिधित्व प्राप्त करना सुविधाजनक है।

स्पिन प्रतिनिधित्व के गुण, सूक्ष्म तरीके से, ऑर्थोगोनल समूह के आयाम और हस्ताक्षर पर निर्भर करते हैं। विशेष रूप से, स्पिन प्रतिनिधित्व अक्सर अपरिवर्तनीय (गणित) द्विरेखीय रूपों को स्वीकार करते हैं, जिनका उपयोग स्पिन समूहों को शास्त्रीय झूठ समूहों में एम्बेड करने के लिए किया जा सकता है। निम्न आयामों में, ये एम्बेडिंग विशेषणात्मक होते हैं और स्पिन समूहों और अधिक परिचित लाई समूहों के बीच विशेष समरूपता निर्धारित करते हैं; यह इन आयामों में स्पिनरों के गुणों को स्पष्ट करता है।

सेट-अप

होने देना V एक [[आयाम (सदिश स्थल)]] बनें|परिमित-आयामी वास्तविक या जटिल वेक्टर स्थान एक गैर-अपक्षयी रूप द्विघात रूप के साथ Q. (वास्तविक या जटिल) रैखिक मानचित्रों का संरक्षण Q ऑर्थोगोनल समूह बनाएं O(V, Q). समूह के पहचान घटक को विशेष ऑर्थोगोनल समूह कहा जाता है SO(V, Q). (के लिए V अनिश्चित द्विघात रूप के साथ वास्तविक, यह शब्दावली मानक नहीं है: विशेष ऑर्थोगोनल समूह को आमतौर पर इस मामले में दो घटकों के साथ एक उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जाता है।) समूह समरूपता तक, SO(V, Q) में एक अद्वितीय जुड़ा हुआ स्थान डबल कवरिंग ग्रुप, स्पिन ग्रुप है Spin(V, Q). इस प्रकार एक समूह समरूपता है h: Spin(V, Q) → SO(V, Q) जिसके कर्नेल (समूह सिद्धांत) में दो तत्व दर्शाए गए हैं {1, −1}, कहाँ 1 पहचान तत्व है. इस प्रकार, समूह तत्व g और −g का Spin(V, Q) समरूपता के बाद समतुल्य हैं SO(V, Q); वह है, h(g) = h(−g) किसी के लिए g में Spin(V, Q).

समूह O(V, Q), SO(V, Q) और Spin(V, Q) सभी झूठ समूह हैं, और निश्चित के लिए (V, Q) उनके पास समान बीजगणित है, so(V, Q). अगर V तो फिर असली है V इसकी जटिलता का एक वास्तविक वेक्टर उपस्थान है V_C = V ⊗_R C, और द्विघात रूप Q स्वाभाविक रूप से द्विघात रूप तक विस्तारित होता है Q_C पर V_C. यह एम्बेड करता है SO(V, Q) के एक उपसमूह के रूप में SO(V_C, Q_C), और इसलिए हमें एहसास हो सकता है Spin(V, Q) के एक उपसमूह के रूप में Spin(V_C, Q_C). आगे, so(V_C, Q_C) का जटिलीकरण है so(V, Q).

जटिल मामले में, द्विघात रूपों को आयाम द्वारा समरूपता तक विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है n का V. निश्चित रूप से, हम मान सकते हैं V = Cⁿ और

$Q(z_{1},\ldots ,z_{n})=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\cdots +z_{n}^{2}.$

संबंधित झूठ समूहों को दर्शाया गया है O(n, C), SO(n, C), Spin(n, C) और उनके झूठ बीजगणित के रूप में so(n, C).

वास्तविक स्थिति में, द्विघात रूपों को गैर-नकारात्मक पूर्णांकों की एक जोड़ी द्वारा समरूपता तक निर्धारित किया जाता है (p, q) कहाँ n = p + q का आयाम है V, और p − qसिल्वेस्टर का जड़त्व का नियम है। निश्चित रूप से, हम मान सकते हैं V = Rⁿ और

$Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-(x_{p+1}^{2}+\cdots +x_{p+q}^{2}).$

संबंधित लाई समूह और लाई बीजगणित को दर्शाया गया है O(p, q), SO(p, q), Spin(p, q) और so(p, q). हम लिखते हैं R^p,q की जगह Rⁿहस्ताक्षर को स्पष्ट बनाने के लिए।

स्पिन निरूपण, एक अर्थ में, झूठ समूहों का सबसे सरल प्रतिनिधित्व है Spin(n, C) और Spin(p, q) जो कि अभ्यावेदन से नहीं आते हैं SO(n, C) और SO(p, q). इसलिए, एक स्पिन प्रतिनिधित्व एक वास्तविक या जटिल वेक्टर स्थान है S एक समूह समरूपता के साथ ρ से Spin(n, C) या Spin(p, q) सामान्य रैखिक समूह के लिए GL(S) ऐसा कि तत्व −1 के कर्नेल में नहीं है ρ.

अगर S एक ऐसा प्रतिनिधित्व है, फिर लाई समूहों और लाई बीजगणित के बीच संबंध के अनुसार, यह एक लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व को प्रेरित करता है, यानी, एक लाई बीजगणित समरूपता so(n, C) या so(p, q) लाई बीजगणित के लिए gl(S)रेखीय मानचित्र#एंडोमोर्फिज्म और ऑटोमोर्फिज्म का S कम्यूटेटर#रिंग सिद्धांत के साथ।

स्पिन अभ्यावेदन का विश्लेषण निम्नलिखित रणनीति के अनुसार किया जा सकता है: यदि S का वास्तविक स्पिन प्रतिनिधित्व है Spin(p, q), तो इसका जटिलीकरण एक जटिल स्पिन प्रतिनिधित्व है Spin(p, q); के प्रतिनिधित्व के रूप में so(p, q), इसलिए इसका विस्तार एक जटिल प्रतिनिधित्व तक होता है so(n, C). विपरीत दिशा में आगे बढ़ते हुए, हम पहले जटिल स्पिन निरूपण का निर्माण करते हैं Spin(n, C) और so(n, C), फिर उन्हें जटिल स्पिन अभ्यावेदन तक सीमित रखें so(p, q) और Spin(p, q), फिर अंततः वास्तविक स्पिन अभ्यावेदन में संभावित कटौती का विश्लेषण करें।

जटिल स्पिन प्रतिनिधित्व

होने देना V = Cⁿ मानक द्विघात रूप के साथ Q ताकि

${\mathfrak {so}}(V,Q)={\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} ).$

सममित द्विरेखीय रूप पर V के लिए जुड़े Qध्रुवीकरण पहचान द्वारा#सममित द्विरेखीय रूपों को दर्शाया जाता है ⟨.,.⟩.

आइसोट्रोपिक उपस्थान और रूट सिस्टम

के स्पिन अभ्यावेदन का एक मानक निर्माण so(n, C)जोड़ी के चयन से शुरू होता है (W, W^∗) अधिकतम आइसोट्रोपिक द्विघात रूपों का (के संबंध में)। Q) का V साथ W ∩ W^∗ = 0. आइए हम ऐसा चुनाव करें. अगर n = 2m या n = 2m + 1, तब W और W^∗ दोनों का आयाम है m. अगर n = 2m, तब V = W ⊕ W^∗, जबकि यदि n = 2m + 1, तब V = W ⊕ U ⊕ W^∗, कहाँ U 1-आयामी ऑर्थोगोनल पूरक है W ⊕ W^∗. द्विरेखीय रूप ⟨.,.⟩ के लिए जुड़े Q के बीच एक द्विरेखीय मानचित्र उत्पन्न करता है W और W^∗, जो अविक्षिप्त होना चाहिए, क्योंकि W और W^∗ पूरी तरह से आइसोट्रोपिक उप-स्थान हैं और Q अविकृत है। इस तरह W और W^∗ दोहरे सदिश स्थान हैं।

अधिक ठोस रूप से, आइए a₁, … a_m के लिए आधार बनें W. फिर एक अनोखा आधार है α₁, ... α_m का W^∗ ऐसा है कि

$\langle \alpha _{i},a_{j}\rangle =\delta _{ij}.$

अगर A एक m × m मैट्रिक्स, फिर A की एंडोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है W इस आधार और स्थानान्तरण के संबंध में A^T के परिवर्तन को प्रेरित करता है W^∗ साथ

$\langle Aw,w^{*}\rangle =\langle w,A^{\mathrm {T} }w^{*}\rangle$

सभी के लिए w में W और w^∗ में W^∗. यह इस प्रकार है कि एंडोमोर्फिज्म ρ_A का V, के बराबर A पर W, −A^T पर W^∗ और शून्य पर U (अगर n विषम है), तिरछा है,

$\langle \rho _{A}u,v\rangle =-\langle u,\rho _{A}v\rangle$

सभी के लिए u, v में V, और इसलिए (शास्त्रीय समूह देखें) का एक तत्व so(n, C) ⊂ End(V).

इस निर्माण में विकर्ण मैट्रिक्स का उपयोग एक कार्टन उपबीजगणित को परिभाषित करता है h का so(n, C): के एक झूठ समूह की रैंक so(n, C) है m, और विकर्ण n × n मैट्रिक्स एक निर्धारित करते हैं m-आयामी एबेलियन उपबीजगणित।

होने देना ε₁, … ε_m का आधार बनें h^∗ ऐसा कि, एक विकर्ण मैट्रिक्स के लिए A, ε_k(ρ_A) है kवें विकर्ण प्रविष्टि A. स्पष्टतः यह एक आधार है h^∗. चूँकि द्विरेखीय रूप से पहचान होती है so(n, C) साथ $\wedge ^{2}V$, स्पष्ट रूप से,

$x\wedge <!--\; \wedge \; -->y\mapsto <!--\; \mapsto \; -->{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{x\wedge <!--\; \wedge \; -->y},{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{x\wedge <!--\; \wedge \; -->y}(v)=2(⟨<!--\; ⟨\; -->y,v⟩<!--\; ⟩\; -->x-<!--\; -\; -->⟨<!--\; ⟨\; -->x,v⟩<!--\; ⟩\; -->y),x\wedge <!--\; \wedge \; -->y\in <!--\; \in \; -->{\wedge <!--\; \wedge \; -->}^{2}V,x,y,v\in <!--\; \in \; -->V,{\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}_{x\wedge <!--\; \wedge \; -->y}\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{s}\mathfrak{o}$