लिंडब्लाडियन

क्वांटम यांत्रिकी में, गोरिनी-कोसाकोव्स्की-सुदर्शन-लिंडब्लैड समीकरण (जीकेएसएल समीकरण, जिसका नाम विटोरियो गोरिनी, आंद्रेज कोसाकोव्स्की, ई.सी. जॉर्ज सुदर्शन और गोरान लिंडब्लैड (भौतिक विज्ञानी) या गोरान लिंडब्लैड के नाम पर रखा गया है), लिंडब्लैड रूप में मास्टर समीकरण, क्वांटम लिउविलियन, या लिंडब्लैडियन मार्कोव प्रक्रिया क्वांटम मास्टर समीकरण के सामान्य रूपों में से है जो विवृत क्वांटम प्रणाली का वर्णन करता है। इस प्रकार यह क्वांटम प्रणाली प्रदर्शित के लिए श्रोडिंगर समीकरण को सामान्यीकृत करता है; अर्थात्, प्रणाली अपने वातावरण के संपर्क में हैं। परिणामी गतिशीलता अब एकात्मक नहीं है, किन्तु पुनः भी ट्रेस-संरक्षण और पूर्ण रूप से धनात्मक या ट्रेस-संरक्षण और किसी भी प्रारंभिक स्थिति के लिए पूर्ण रूप से धनात्मक होने की प्रोपर्टी को संतुष्ट करती है। श्रोडिंगर समीकरण या, वास्तव में, वॉन न्यूमैन समीकरण, जीकेएसएल समीकरण का विशेष स्थिति है, जिसके कारण कुछ अनुमान लगाई गई हैं कि क्वांटम यांत्रिकी को लिंडब्लैड समीकरण के आगे के अनुप्रयोग और विश्लेषण के माध्यम से उत्पादक रूप से विस्तारित और विस्तारित किया जा सकता है। श्रोडिंगर समीकरण स्थिति सदिश से संबंधित है, जो केवल शुद्ध क्वांटम अवस्था का वर्णन कर सकता है और इस प्रकार घनत्व आव्यूह की तुलना में कम सामान्य है, जो मिश्रित अवस्था (भौतिकी) का भी वर्णन कर सकता है।

प्रेरणा

इस प्रकार क्वांटम यांत्रिकी के विहित सूत्रीकरण में, प्रणाली का समय विकास एकात्मक गतिशीलता द्वारा नियंत्रित होता है। इसका तात्पर्य यह है कि पूर्ण प्रक्रिया में कोई क्षय नहीं होता है और चरण सुसंगतता बनी रहती है, और यह इस तथ्य का परिणाम है कि स्वतंत्रता की सभी भाग लेने वाली डिग्री पर विचार किया जाता है। चूंकि, कोई भी वास्तविक भौतिक प्रणाली पूर्णतः पृथक नहीं है, और अपने पर्यावरण के साथ इंट्रैक्ट करेगी। प्रणाली के बाहर स्वतंत्रता की डिग्री के साथ इस अंतःक्रिया के परिणामस्वरूप वातावरण में ऊर्जा का अपव्यय होता है, जिससे चरण का क्षय और यादृच्छिककरण होता है। इससे भी अधिक, किसी क्वांटम प्रणाली की उसके पर्यावरण के साथ अंतःक्रिया को समझना विभिन्न सामान्यतः देखी जाने वाली घटनाओं को समझने के लिए आवश्यक है, जैसे उत्तेजित परमाणुओं से प्रकाश का सहज उत्सर्जन, या लेजर जैसे विभिन्न क्वांटम तकनीकी उपकरणों का प्रदर्शन किया गया था।

इस प्रकार किसी क्वांटम प्रणाली की उसके पर्यावरण के साथ अंतःक्रिया के समाधान के लिए कुछ गणितीय तकनीकें प्रस्तुत की गई हैं। इनमें घनत्व आव्यूह और उससे जुड़े मास्टर समीकरण का उपयोग का उपयोग किया जाता है। जबकि सैद्धांतिक रूप से क्वांटम गतिशीलता को हल करने का यह दृष्टिकोण श्रोडिंगर चित्र या हाइजेनबर्ग चित्र के समान है, यह असंगत प्रक्रियाओं को सम्मिलित करने की अधिक सरलता से अनुमति देता है, जो पर्यावरणीय इंट्रैक्ट का प्रतिनिधित्व करते हैं। घनत्व संचालक की प्रोपर्टी यह है कि यह क्वांटम स्थितियों के मौलिक मिश्रण का प्रतिनिधित्व कर सकता है, और इस प्रकार तथाकथित विवृत क्वांटम प्रणाली की गतिशीलता का स्पष्ट वर्णन करने के लिए महत्वपूर्ण है।

परिभाषा

इस प्रकार प्रणाली के घनत्व आव्यूह के लिए लिंडब्लैड मास्टर समीकरण ρ के रूप में लिखा जा सकता है (शैक्षणिक परिचय के लिए आप इसका उल्लेख कर सकते हैं )

${\dot {\rho }}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{i}^{}\gamma _{i}\left(L_{i}\rho L_{i}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{L_{i}^{\dagger }L_{i},\rho \right\}\right)$

जहाँ $\{a,b\}=ab+ba$ एंटीकम्यूटेटर है, $H$ हैमिल्टनियन प्रणाली है, जो गतिकी के एकात्मक तथ्यों का वर्णन करती है, और $L_{i}$ जंप संचालक का समूह है जो गतिशीलता के विघटनकारी भाग का वर्णन करता है। जंप संचालक का आकार बताता है कि पर्यावरण प्रणाली पर कैसे कार्य करता है, और अंततः प्रणाली-पर्यावरण गतिशीलता के सूक्ष्म मॉडल से निर्धारित किया जाना चाहिए। इस प्रकार अंत में, $\gamma _{i}\geq 0$ गैर-ऋणात्मक गुणांकों का सेट है जिसे अवमंदन दर कहा जाता है। यदि सभी $\gamma _{i}=0$ एकात्मक प्लाज्मा का वर्णन करने वाले वॉन न्यूमैन गुणांक ${\dot {\rho }}=-(i/\hbar )[H,\rho ]$ को पुनः प्राप्त करना संभव है, जो मौलिक लिउविले के प्रमेय (हैमिल्टनियन) का क्वांटम एनालॉग है।

अधिक सामान्यतः, जीकेएसएल समीकरण का रूप होता है

${\dot {\rho }}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{n,m}h_{nm}\left(A_{n}\rho A_{m}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{A_{m}^{\dagger }A_{n},\rho \right\}\right)$

जहाँ $\{A_{m}\}$ इच्छानुसार संचालक हैं और h धनात्मक-निश्चित आव्यूह आव्यूह है। इस प्रकार उत्तरार्द्ध यह सुनिश्चित करने के लिए सख्त आवश्यकता है कि गतिशीलता ट्रेस-संरक्षित और पूर्ण रूप से धनात्मक है। की संख्या $A_{m}$ संचालक का कार्य इच्छानुसार है, और उन्हें किसी विशेष गुण को पूर्ण करने की आवश्यकता नहीं है। किन्तु यदि $N$-आयामी प्रणाली है , इसे दिखाया जा सकता है कि मास्टर समीकरण $N^{2}-1$ संचालक को सेट द्वारा पूर्ण रूप से वर्णित किया जा सकता है, किन्तु वह संचालक के समष्टि के लिए आधार बनाते हों।

चूँकि आव्यूह h धनात्मक अर्धनिश्चित है, इसे एकात्मक परिवर्तन u के साथ विकर्ण किया जा सकता है:

$u^{\dagger }hu={\begin{bmatrix}\gamma _{1}&0&\cdots &0\\0&\gamma _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\gamma _{N^{2}-1}\end{bmatrix}}$

जहां ईजेनवैल्यू γ_i गैर-ऋणात्मक हैं। यदि हम किसी अन्य ऑर्थोनॉर्मल संचालक आधार को परिभाषित करते हैं

$L_{i}=\sum _{j}u_{ji}A_{j}$

इस प्रकार यह मास्टर समीकरण को पहले के समान रूप में कम कर देता है:

 ${\dot {\rho }}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{i}^{}\gamma _{i}\left(L_{i}\rho L_{i}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{L_{i}^{\dagger }L_{i},\rho \right\}\right)$