लिंडब्लाडियन

क्वांटम यांत्रिकी में, गोरिनी-कोसाकोव्स्की-सुदर्शन-लिंडब्लैड समीकरण (जीकेएसएल समीकरण, जिसका नाम विटोरियो गोरिनी, आंद्रेज कोसाकोव्स्की, ई.सी. जॉर्ज सुदर्शन और गोरान लिंडब्लैड (भौतिक विज्ञानी)|गोरान लिंडब्लैड के नाम पर रखा गया है), लिंडब्लैड रूप में मास्टर समीकरण, क्वांटम लिउविलियन, या लिंडब्लैडियन मार्कोव प्रक्रिया क्वांटम मास्टर समीकरण के सामान्य रूपों में से है जो खुले क्वांटम सिस्टम का वर्णन करता है। यह क्वांटम सिस्टम खोलने के लिए श्रोडिंगर समीकरण को सामान्यीकृत करता है; अर्थात्, सिस्टम अपने परिवेश के संपर्क में हैं। परिणामी गतिशीलता अब एकात्मक नहीं है, लेकिन फिर भी पूरी तरह से सकारात्मक ट्रेस-संरक्षण|ट्रेस-संरक्षण और किसी भी प्रारंभिक स्थिति के लिए पूरी तरह से सकारात्मक होने की संपत्ति को संतुष्ट करती है। श्रोडिंगर समीकरण या, वास्तव में, वॉन न्यूमैन समीकरण, जीकेएसएल समीकरण का विशेष मामला है, जिसके कारण कुछ अटकलें लगाई गई हैं कि क्वांटम यांत्रिकी को लिंडब्लैड समीकरण के आगे के अनुप्रयोग और विश्लेषण के माध्यम से उत्पादक रूप से विस्तारित और विस्तारित किया जा सकता है। श्रोडिंगर समीकरण जितना राज्य से संबंधित है, जो केवल शुद्ध क्वांटम अवस्था का वर्णन कर सकता है और इस प्रकार घनत्व मैट्रिक्स की तुलना में कम सामान्य है, जो मिश्रित अवस्था (भौतिकी) का भी वर्णन कर सकता है।

प्रेरणा

क्वांटम यांत्रिकी के विहित सूत्रीकरण में, प्रणाली का समय विकास एकात्मक गतिशीलता द्वारा नियंत्रित होता है। इसका तात्पर्य यह है कि पूरी प्रक्रिया में कोई क्षय नहीं होता है और चरण सुसंगतता बनी रहती है, और यह इस तथ्य का परिणाम है कि स्वतंत्रता की सभी भाग लेने वाली डिग्री पर विचार किया जाता है। हालाँकि, कोई भी वास्तविक भौतिक प्रणाली बिल्कुल पृथक नहीं है, और अपने पर्यावरण के साथ बातचीत करेगी। सिस्टम के बाहर स्वतंत्रता की डिग्री के साथ इस अंतःक्रिया के परिणामस्वरूप परिवेश में ऊर्जा का अपव्यय होता है, जिससे चरण का क्षय और यादृच्छिककरण होता है। इससे भी अधिक, किसी क्वांटम प्रणाली की उसके पर्यावरण के साथ अंतःक्रिया को समझना कई आम तौर पर देखी जाने वाली घटनाओं को समझने के लिए आवश्यक है, जैसे उत्तेजित परमाणुओं से प्रकाश का सहज उत्सर्जन, या लेजर जैसे कई क्वांटम तकनीकी उपकरणों का प्रदर्शन।

किसी क्वांटम प्रणाली की उसके पर्यावरण के साथ अंतःक्रिया के उपचार के लिए कुछ गणितीय तकनीकें पेश की गई हैं। इनमें से है घनत्व मैट्रिक्स और उससे जुड़े मास्टर समीकरण का उपयोग। जबकि सैद्धांतिक रूप से क्वांटम गतिशीलता को हल करने का यह दृष्टिकोण श्रोडिंगर चित्र या हाइजेनबर्ग चित्र के बराबर है, यह असंगत प्रक्रियाओं को शामिल करने की अधिक आसानी से अनुमति देता है, जो पर्यावरणीय बातचीत का प्रतिनिधित्व करते हैं। घनत्व ऑपरेटर की संपत्ति यह है कि यह क्वांटम राज्यों के शास्त्रीय मिश्रण का प्रतिनिधित्व कर सकता है, और इस प्रकार तथाकथित खुले क्वांटम सिस्टम की गतिशीलता का सटीक वर्णन करने के लिए महत्वपूर्ण है।

परिभाषा

सिस्टम के घनत्व मैट्रिक्स के लिए लिंडब्लैड मास्टर समीकरण ρ के रूप में लिखा जा सकता है (शैक्षणिक परिचय के लिए आप इसका उल्लेख कर सकते हैं)

${\dot {\rho }}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{i}^{}\gamma _{i}\left(L_{i}\rho L_{i}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{L_{i}^{\dagger }L_{i},\rho \right\}\right)$ कहाँ $\{a,b\}=ab+ba$ एंटीकम्यूटेटर है, $H$ हैमिल्टनियन प्रणाली है, जो गतिकी के एकात्मक पहलुओं का वर्णन करती है, और $L_{i}$ जंप ऑपरेटरों का समूह है जो गतिशीलता के विघटनकारी भाग का वर्णन करता है। जंप ऑपरेटरों का आकार बताता है कि पर्यावरण सिस्टम पर कैसे कार्य करता है, और अंततः सिस्टम-पर्यावरण गतिशीलता के सूक्ष्म मॉडल से निर्धारित किया जाना चाहिए। अंत में, $\gamma _{i}\geq 0$ गैर-नकारात्मक गुणांकों का सेट है जिसे अवमंदन दर कहा जाता है। मैं गिरा $\gamma _{i}=0$ वॉन न्यूमैन समीकरण को पुनः प्राप्त करता है ${\dot {\rho }}=-(i/\hbar )[H,\rho ]$ एकात्मक गतिशीलता का वर्णन, जो शास्त्रीय लिउविले के प्रमेय (हैमिल्टनियन) का क्वांटम एनालॉग है।

अधिक सामान्यतः, जीकेएसएल समीकरण का रूप होता है

${\dot {\rho }}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{n,m}h_{nm}\left(A_{n}\rho A_{m}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{A_{m}^{\dagger }A_{n},\rho \right\}\right)$

कहाँ $\{A_{m}\}$ मनमाना ऑपरेटर हैं और h सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स मैट्रिक्स है। उत्तरार्द्ध यह सुनिश्चित करने के लिए सख्त आवश्यकता है कि गतिशीलता ट्रेस-संरक्षित और पूरी तरह से सकारात्मक है। की संख्या $A_{m}$ ऑपरेटरों का कार्य मनमाना है, और उन्हें किसी विशेष गुण को पूरा करने की आवश्यकता नहीं है। लेकिन अगर सिस्टम है $N$-आयामी, इसे दिखाया जा सकता हैकि मास्टर समीकरण को सेट द्वारा पूरी तरह से वर्णित किया जा सकता है $N^{2}-1$ ऑपरेटरों, बशर्ते वे ऑपरेटरों के स्थान के लिए आधार बनाते हों।

मैट्रिक्स के बाद से h सकारात्मक अर्धनिश्चित है, यह एकात्मक परिवर्तन के साथ विकर्णीय मैट्रिक्स हो सकता है u:

$u^{\dagger }hu={\begin{bmatrix}\gamma _{1}&0&\cdots &0\\0&\gamma _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\gamma _{N^{2}-1}\end{bmatrix}}$

जहां eigenvalues γ_i गैर-नकारात्मक हैं। यदि हम किसी अन्य ऑर्थोनॉर्मल ऑपरेटर आधार को परिभाषित करते हैं

$L_{i}=\sum _{j}u_{ji}A_{j}$

यह मास्टर समीकरण को पहले के समान रूप में कम कर देता है:

 $\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}=-<!--\; -\; -->\frac{i}{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}[H,\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}]+\underset{i}{\overset{}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_i(L_i$