लिंडब्लाडियन

क्वांटम यांत्रिकी में, गोरिनी-कोसाकोव्स्की-सुदर्शन-लिंडब्लैड समीकरण (जीकेएसएल समीकरण, जिसका नाम विटोरियो गोरिनी, आंद्रेज कोसाकोव्स्की, ई.सी. जॉर्ज सुदर्शन और गोरान लिंडब्लैड (भौतिक विज्ञानी)|गोरान लिंडब्लैड के नाम पर रखा गया है), लिंडब्लैड रूप में मास्टर समीकरण, क्वांटम लिउविलियन, या लिंडब्लैडियन मार्कोव प्रक्रिया क्वांटम मास्टर समीकरण के सामान्य रूपों में से है जो खुले क्वांटम सिस्टम का वर्णन करता है। यह क्वांटम सिस्टम खोलने के लिए श्रोडिंगर समीकरण को सामान्यीकृत करता है; अर्थात्, सिस्टम अपने परिवेश के संपर्क में हैं। परिणामी गतिशीलता अब एकात्मक नहीं है, लेकिन फिर भी पूरी तरह से सकारात्मक ट्रेस-संरक्षण|ट्रेस-संरक्षण और किसी भी प्रारंभिक स्थिति के लिए पूरी तरह से सकारात्मक होने की संपत्ति को संतुष्ट करती है। श्रोडिंगर समीकरण या, वास्तव में, वॉन न्यूमैन समीकरण, जीकेएसएल समीकरण का विशेष मामला है, जिसके कारण कुछ अटकलें लगाई गई हैं कि क्वांटम यांत्रिकी को लिंडब्लैड समीकरण के आगे के अनुप्रयोग और विश्लेषण के माध्यम से उत्पादक रूप से विस्तारित और विस्तारित किया जा सकता है। श्रोडिंगर समीकरण जितना राज्य से संबंधित है, जो केवल शुद्ध क्वांटम अवस्था का वर्णन कर सकता है और इस प्रकार घनत्व मैट्रिक्स की तुलना में कम सामान्य है, जो मिश्रित अवस्था (भौतिकी) का भी वर्णन कर सकता है।

प्रेरणा

क्वांटम यांत्रिकी के विहित सूत्रीकरण में, प्रणाली का समय विकास एकात्मक गतिशीलता द्वारा नियंत्रित होता है। इसका तात्पर्य यह है कि पूरी प्रक्रिया में कोई क्षय नहीं होता है और चरण सुसंगतता बनी रहती है, और यह इस तथ्य का परिणाम है कि स्वतंत्रता की सभी भाग लेने वाली डिग्री पर विचार किया जाता है। हालाँकि, कोई भी वास्तविक भौतिक प्रणाली बिल्कुल पृथक नहीं है, और अपने पर्यावरण के साथ बातचीत करेगी। सिस्टम के बाहर स्वतंत्रता की डिग्री के साथ इस अंतःक्रिया के परिणामस्वरूप परिवेश में ऊर्जा का अपव्यय होता है, जिससे चरण का क्षय और यादृच्छिककरण होता है। इससे भी अधिक, किसी क्वांटम प्रणाली की उसके पर्यावरण के साथ अंतःक्रिया को समझना कई आम तौर पर देखी जाने वाली घटनाओं को समझने के लिए आवश्यक है, जैसे उत्तेजित परमाणुओं से प्रकाश का सहज उत्सर्जन, या लेजर जैसे कई क्वांटम तकनीकी उपकरणों का प्रदर्शन।

किसी क्वांटम प्रणाली की उसके पर्यावरण के साथ अंतःक्रिया के उपचार के लिए कुछ गणितीय तकनीकें पेश की गई हैं। इनमें से है घनत्व मैट्रिक्स और उससे जुड़े मास्टर समीकरण का उपयोग। जबकि सैद्धांतिक रूप से क्वांटम गतिशीलता को हल करने का यह दृष्टिकोण श्रोडिंगर चित्र या हाइजेनबर्ग चित्र के बराबर है, यह असंगत प्रक्रियाओं को शामिल करने की अधिक आसानी से अनुमति देता है, जो पर्यावरणीय बातचीत का प्रतिनिधित्व करते हैं। घनत्व ऑपरेटर की संपत्ति यह है कि यह क्वांटम राज्यों के शास्त्रीय मिश्रण का प्रतिनिधित्व कर सकता है, और इस प्रकार तथाकथित खुले क्वांटम सिस्टम की गतिशीलता का सटीक वर्णन करने के लिए महत्वपूर्ण है।

परिभाषा

सिस्टम के घनत्व मैट्रिक्स के लिए लिंडब्लैड मास्टर समीकरण ρ के रूप में लिखा जा सकता है (शैक्षणिक परिचय के लिए आप इसका उल्लेख कर सकते हैं)

${\dot {\rho }}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{i}^{}\gamma _{i}\left(L_{i}\rho L_{i}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{L_{i}^{\dagger }L_{i},\rho \right\}\right)$ कहाँ $\{a,b\}=ab+ba$ एंटीकम्यूटेटर है, $H$ हैमिल्टनियन प्रणाली है, जो गतिकी के एकात्मक पहलुओं का वर्णन करती है, और $L_{i}$ जंप ऑपरेटरों का समूह है जो गतिशीलता के विघटनकारी भाग का वर्णन करता है। जंप ऑपरेटरों का आकार बताता है कि पर्यावरण सिस्टम पर कैसे कार्य करता है, और अंततः सिस्टम-पर्यावरण गतिशीलता के सूक्ष्म मॉडल से निर्धारित किया जाना चाहिए। अंत में, $\gamma _{i}\geq 0$ गैर-नकारात्मक गुणांकों का सेट है जिसे अवमंदन दर कहा जाता है। मैं गिरा $\gamma _{i}=0$ वॉन न्यूमैन समीकरण को पुनः प्राप्त करता है ${\dot {\rho }}=-(i/\hbar )[H,\rho ]$ एकात्मक गतिशीलता का वर्णन, जो शास्त्रीय लिउविले के प्रमेय (हैमिल्टनियन) का क्वांटम एनालॉग है।

अधिक सामान्यतः, जीकेएसएल समीकरण का रूप होता है

${\dot {\rho }}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{n,m}h_{nm}\left(A_{n}\rho A_{m}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{A_{m}^{\dagger }A_{n},\rho \right\}\right)$

कहाँ $\{A_{m}\}$ मनमाना ऑपरेटर हैं और h सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स मैट्रिक्स है। उत्तरार्द्ध यह सुनिश्चित करने के लिए सख्त आवश्यकता है कि गतिशीलता ट्रेस-संरक्षित और पूरी तरह से सकारात्मक है। की संख्या $A_{m}$ ऑपरेटरों का कार्य मनमाना है, और उन्हें किसी विशेष गुण को पूरा करने की आवश्यकता नहीं है। लेकिन अगर सिस्टम है $N$-आयामी, इसे दिखाया जा सकता हैकि मास्टर समीकरण को सेट द्वारा पूरी तरह से वर्णित किया जा सकता है $N^{2}-1$ ऑपरेटरों, बशर्ते वे ऑपरेटरों के स्थान के लिए आधार बनाते हों।

मैट्रिक्स के बाद से h सकारात्मक अर्धनिश्चित है, यह एकात्मक परिवर्तन के साथ विकर्णीय मैट्रिक्स हो सकता है u:

$u^{\dagger }hu={\begin{bmatrix}\gamma _{1}&0&\cdots &0\\0&\gamma _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\gamma _{N^{2}-1}\end{bmatrix}}$

जहां eigenvalues γ_i गैर-नकारात्मक हैं। यदि हम किसी अन्य ऑर्थोनॉर्मल ऑपरेटर आधार को परिभाषित करते हैं

$L_{i}=\sum _{j}u_{ji}A_{j}$

यह मास्टर समीकरण को पहले के समान रूप में कम कर देता है:

 ${\dot {\rho }}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{i}^{}\gamma _{i}\left(L_{i}\rho L_{i}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{L_{i}^{\dagger }L_{i},\rho \right\}\right)$ 

क्वांटम गतिशील अर्धसमूह

Main article: Quantum Markov semigroup

लिंडब्लैडियन द्वारा विभिन्न समय के लिए बनाए गए मानचित्रों को सामूहिक रूप से क्वांटम डायनेमिक सेमीग्रुप के रूप में संदर्भित किया जाता है क्वांटम गतिशील मानचित्र मानचित्रों का परिवार $\phi _{t}$ एकल समय पैरामीटर द्वारा अनुक्रमित घनत्व मैट्रिक्स के स्थान पर $t\geq 0$ जो अर्धसमूह संपत्ति का पालन करता है

$\phi _{s}(\phi _{t}(\rho ))=\phi _{t+s}(\rho ),\qquad t,s\geq 0.$

लिंडब्लैड समीकरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है

${\mathcal {L}}(\rho )=\mathrm {lim} _{\Delta t\to 0}{\frac {\phi _{\Delta t}(\rho )-\phi _{0}(\rho )}{\Delta t}}$

जो, की रैखिकता द्वारा $\phi _{t}$, लीनियर सुपरऑपरेटर है। सेमीग्रुप को इस प्रकार पुनर्प्राप्त किया जा सकता है

$\phi _{t+s}(\rho )=e^{{\mathcal {L}}s}\phi _{t}(\rho ).$

अपरिवर्तनीय गुण

लिंडब्लाड समीकरण किसी भी एकात्मक परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है v लिंडब्लाड ऑपरेटरों और स्थिरांकों की,

${\sqrt {\gamma _{i}}}L_{i}\to {\sqrt {\gamma _{i}'}}L_{i}'=\sum _{j}v_{ij}{\sqrt {\gamma _{j}}}L_{j},$

और अमानवीय परिवर्तन के तहत भी

$L_{i}\to L_{i}'=L_{i}+a_{i}I,$

$H\to H'=H+{\frac {1}{2i}}\sum _{j}\gamma _{j}\left(a_{j}^{*}L_{j}-a_{j}L_{j}^{\dagger }\right)+bI,$

कहाँ a_i सम्मिश्र संख्याएँ हैं और b वास्तविक संख्या है. हालाँकि, पहला परिवर्तन ऑपरेटरों की रूढ़िवादिता को नष्ट कर देता है L_i (जब तक कि सभी γ_i बराबर हैं) और दूसरा परिवर्तन ट्रेसलेसनेस को नष्ट कर देता है। इसलिए, के बीच पतन तक γ_i, द L_iलिंडब्लाड समीकरण के विकर्ण रूप को गतिशीलता द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है, जब तक हमें उन्हें ऑर्थोनॉर्मल और ट्रेसलेस होने की आवश्यकता होती है।

हाइजेनबर्ग चित्र

श्रोडिंगर चित्र में घनत्व मैट्रिक्स के लिंडब्लाड-प्रकार के विकास को हाइजेनबर्ग चित्र में समकक्ष रूप से वर्णित किया जा सकता है गति के निम्नलिखित (विकर्णीकृत) समीकरण का उपयोग करना प्रत्येक अवलोकन योग्य क्वांटम के लिए X:

${\dot {X}}={\frac {i}{\hbar }}[H,X]+\sum _{i}\gamma _{i}\left(L_{i}^{\dagger }XL_{i}-{\frac {1}{2}}\left\{L_{i}^{\dagger }L_{i},X\right\}\right).$

समान समीकरण एरेनफेस्ट प्रमेय द्वारा दिए गए वेधशालाओं के अपेक्षित मूल्यों के समय विकास का वर्णन करता है। श्रोडिंगर चित्र लिंडब्लाड समीकरण की ट्रेस-संरक्षण संपत्ति के अनुरूप, हाइजेनबर्ग चित्र समीकरण यूनिटल मानचित्र है, यानी यह पहचान ऑपरेटर को संरक्षित करता है।

भौतिक व्युत्पत्ति

लिंडब्लैड मास्टर समीकरण विभिन्न प्रकार के खुले क्वांटम सिस्टम के विकास का वर्णन करता है, जैसे प्रणाली कमजोर रूप से मार्कोवियन जलाशय से जुड़ी हुई है।ध्यान दें कि H समीकरण में प्रदर्शित होना आवश्यक रूप से नंगे सिस्टम हैमिल्टनियन के बराबर नहीं है, बल्कि इसमें सिस्टम-पर्यावरण इंटरैक्शन से उत्पन्न होने वाली प्रभावी एकात्मक गतिशीलता भी शामिल हो सकती है।

अनुमानी व्युत्पत्ति, उदाहरण के लिए, जॉन प्रीस्किल के नोट्स में, खुली क्वांटम प्रणाली के अधिक सामान्य रूप से शुरू होता है और मार्कोवियन धारणा बनाकर और छोटे समय में विस्तार करके इसे लिंडब्लैड रूप में परिवर्तित करता है। अधिक शारीरिक रूप से प्रेरित मानक उपचार सिस्टम और पर्यावरण दोनों पर हैमिल्टनियन अभिनय से शुरू होने वाले लिंडब्लैडियन की तीन सामान्य प्रकार की व्युत्पत्तियों को शामिल किया गया है: कमजोर युग्मन सीमा (नीचे विस्तार से वर्णित), कम घनत्व सन्निकटन, और एकवचन युग्मन सीमा। इनमें से प्रत्येक, पर्यावरण के सहसंबंध कार्यों के संबंध में विशिष्ट भौतिक धारणाओं पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, कमजोर युग्मन सीमा व्युत्पत्ति में, कोई आम तौर पर मानता है कि (ए) पर्यावरण के साथ सिस्टम के सहसंबंध धीरे-धीरे विकसित होते हैं, (बी) सिस्टम क्षय के कारण पर्यावरण की उत्तेजनाएं तेजी से बढ़ती हैं, और (सी) शब्द जो तेजी से दोलन कर रहे हैं जब तुलना की ब्याज की प्रणाली समयसीमा की उपेक्षा की जा सकती है। इन तीन सन्निकटनों को बोर्न कहा जाता है, मार्कोव, और घूर्णन तरंग, क्रमशः। कमजोर-युग्मन सीमा व्युत्पत्ति क्वांटम प्रणाली मानती है जिसमें स्वतंत्रता की डिग्री की सीमित संख्या होती है जो स्वतंत्रता की डिग्री की अनंत संख्या वाले स्नान से जुड़ी होती है। सिस्टम और बाथ प्रत्येक में कुल हिल्बर्ट स्थान के संबंधित उप-स्थान पर कार्य करने वाले ऑपरेटरों के संदर्भ में हैमिल्टनियन लिखा हुआ है। ये हैमिल्टनियन अयुग्मित प्रणाली और स्नान की आंतरिक गतिशीलता को नियंत्रित करते हैं। तीसरा हैमिल्टनियन है जिसमें सिस्टम और बाथ ऑपरेटरों के उत्पाद शामिल हैं, इस प्रकार सिस्टम और बाथ को युग्मित किया जाता है। इस हैमिल्टनियन का सबसे सामान्य रूप है

$H=H_{S}+H_{B}+H_{BS}\,$

संपूर्ण प्रणाली की गतिशीलता को गति के लिउविले समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है, ${\dot {\chi }}=-i[H,\chi ]$. स्वतंत्रता की अनंत कोटि वाले इस समीकरण को, बहुत विशेष मामलों को छोड़कर, विश्लेषणात्मक रूप से हल करना असंभव है। इसके अलावा, कुछ अनुमानों के तहत, स्वतंत्रता की स्नान डिग्री पर विचार करने की आवश्यकता नहीं है, और सिस्टम घनत्व मैट्रिक्स के संदर्भ में प्रभावी मास्टर समीकरण प्राप्त किया जा सकता है, $\rho =\operatorname {tr} _{B}\chi$. एकात्मक परिवर्तन द्वारा परिभाषित अंतःक्रिया चित्र में जाकर समस्या का अधिक आसानी से विश्लेषण किया जा सकता है ${\tilde {M}}=U_{0}MU_{0}^{\dagger }$, कहाँ $M$ मनमाना ऑपरेटर है, और $U_{0}=e^{i(H_{S}+H_{B})t}$. यह भी ध्यान रखें $U(t,t_{0})$संपूर्ण प्रणाली का कुल एकात्मक संचालक है। यह पुष्टि करना सीधा है कि लिउविल समीकरण बन जाता है

${\dot {\tilde {\chi }}}=-i[{\tilde {H}}_{BS},{\tilde {\chi }}]\,$

जहां हैमिल्टनियन ${\tilde {H}}_{BS}=e^{i(H_{S}+H_{B})t}H_{BS}e^{-i(H_{S}+H_{B})t}$ स्पष्टतः समय पर निर्भर है। इसके अलावा, इंटरेक्शन चित्र के अनुसार, ${\tilde {\chi }}=U_{BS}(t,t_{0})\chi U_{BS}^{\dagger }(t,t_{0})$, कहाँ $U_{BS}=U_{0}^{\dagger }U(t,t_{0})$. इस समीकरण को देने के लिए सीधे एकीकृत किया जा सकता है

${\tilde {\chi }}(t)={\tilde {\chi }}(0)-i\int _{0}^{t}dt'[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\chi }}(t')]$

के लिए यह अंतर्निहित समीकरण ${\tilde {\chi }}$ सटीक भिन्न-अभिन्न समीकरण प्राप्त करने के लिए इसे वापस लिउविल समीकरण में प्रतिस्थापित किया जा सकता है

${\dot {\tilde {\chi }}}=-i[{\tilde {H}}_{BS}(t),{\tilde {\chi }}(0)]-\int _{0}^{t}dt'[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\chi }}(t')]]$

हम यह मानकर व्युत्पत्ति के साथ आगे बढ़ते हैं कि बातचीत शुरू हुई है $t=0$, और उस समय सिस्टम और स्नान के बीच कोई संबंध नहीं होता है। इसका तात्पर्य यह है कि प्रारंभिक स्थिति तथ्यात्मक है $\chi (0)=\rho (0)R_{0}$, कहाँ $R_{0}$ प्रारंभ में स्नान का घनत्व संचालक है।

स्नान पर स्वतंत्रता की डिग्री का पता लगाना, $\operatorname {tr} _{R}{\tilde {\chi }}={\tilde {\rho }}$, उपरोक्त भिन्न-अभिन्न समीकरण की पैदावार

${\dot {\tilde {\rho }}}=-\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\chi }}(t')]]\}$

यह समीकरण सिस्टम घनत्व मैट्रिक्स की समय गतिशीलता के लिए सटीक है लेकिन स्वतंत्रता की स्नान डिग्री की गतिशीलता के पूर्ण ज्ञान की आवश्यकता है। बोर्न सन्निकटन नामक सरलीकरण धारणा स्नान की विशालता और युग्मन की सापेक्ष कमजोरी पर आधारित है, जिसका अर्थ है कि स्नान के लिए सिस्टम के युग्मन से स्नान के आइजेनस्टेट्स में महत्वपूर्ण परिवर्तन नहीं होना चाहिए। इस मामले में पूर्ण घनत्व मैट्रिक्स हर समय के लिए कारक योग्य है ${\tilde {\chi }}(t)={\tilde {\rho }}(t)R_{0}$. मास्टर समीकरण बनता है

${\dot {\tilde {\rho }}}=-\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\rho }}(t')R_{0}]]\}$

समीकरण अब स्वतंत्रता की डिग्री प्रणाली में स्पष्ट है, लेकिन इसे हल करना बहुत मुश्किल है। अंतिम धारणा बोर्न-मार्कोव सन्निकटन है कि घनत्व मैट्रिक्स का समय व्युत्पन्न केवल इसकी वर्तमान स्थिति पर निर्भर करता है, न कि इसके अतीत पर। यह धारणा तेज़ स्नान गतिशीलता के तहत मान्य है, जिसमें स्नान के भीतर सहसंबंध बहुत तेज़ी से खो जाते हैं, और प्रतिस्थापित करने के बराबर होते हैं $\rho (t')\rightarrow \rho (t)$ समीकरण के दाहिनी ओर.

${\dot {\tilde {\rho }}}=-\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\rho }}(t)R_{0}]]\}$

यदि अंतःक्रिया को हैमिल्टनियन रूप माना जाता है

$H_{BS}=\sum _{i}\alpha _{i}\Gamma _{i}$

सिस्टम ऑपरेटरों के लिए $\alpha _{i}$ और स्नान संचालक $\Gamma _{i}$ तब ${\tilde {H}}_{BS}=\sum _{i}{\tilde {\alpha }}_{i}{\tilde {\Gamma }}_{i}$. मास्टर समीकरण बनता है

${\dot {\tilde {\rho }}}=-\sum _{i}\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {\alpha }}_{i}(t){\tilde {\Gamma }}_{i}(t),[{\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\Gamma }}_{j}(t'),{\tilde {\rho }}(t)R_{0}]]\}$

जिसे इस प्रकार विस्तारित किया जा सकता है

${\dot {\tilde {\rho }}}=-\sum _{i}\int _{0}^{t}dt'\left[\left({\tilde {\alpha }}_{i}(t){\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\rho }}(t)-{\tilde {\alpha }}_{i}(t){\tilde {\rho }}(t){\tilde {\alpha }}_{j}(t')\right)\langle {\tilde {\Gamma }}_{i}(t){\tilde {\Gamma }}_{j}(t')\rangle +\left({\tilde {\rho }}(t){\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\alpha }}_{i}(t)-{\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\rho }}(t){\tilde {\alpha }}_{i}(t)\right)\langle {\tilde {\Gamma }}_{j}(t'){\tilde {\Gamma }}_{i}(t)\rangle \right]$

अपेक्षा मूल्य $\langle \Gamma _{i}\Gamma _{j}\rangle =\operatorname {tr} \{\Gamma _{i}\Gamma _{j}R_{0}\}$ स्वतंत्रता की स्नान कोटि के संबंध में हैं। इन सहसंबंधों के तेजी से क्षय को मानकर (आदर्श रूप से)। $\langle \Gamma _{i}(t)\Gamma _{j}(t')\rangle \propto \delta (t-t')$), लिंडब्लैड सुपरऑपरेटर एल का उपरोक्त रूप प्राप्त किया गया है।

उदाहरण

जंप ऑपरेटर के लिए $F$ और कोई एकात्मक विकास नहीं, लिंडब्लैड सुपरऑपरेटर, घनत्व मैट्रिक्स पर कार्य करता है $\rho$, है

${\mathcal {D}}[F](\rho )={F\rho F^{\dagger }}-{\frac {1}{2}}\left(F^{\dagger }F\rho +\rho F^{\dagger }F\right)$

ऐसा शब्द नियमित रूप से लिंडब्लाड समीकरण में पाया जाता है जैसा कि क्वांटम प्रकाशिकी में उपयोग किया जाता है, जहां यह जलाशय से फोटॉन के अवशोषण या उत्सर्जन को व्यक्त कर सकता है। यदि कोई अवशोषण और उत्सर्जन दोनों चाहता है, तो उसे प्रत्येक के लिए जंप ऑपरेटर की आवश्यकता होगी। यह सबसे सामान्य लिंडब्लाड समीकरण की ओर ले जाता है जो क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर (उदाहरण के लिए फैब्री-पेरोट इंटरफेरोमीटर | फैब्री-पेरोट कैविटी) के डंपिंग का वर्णन करता है, जो जंप ऑपरेटरों के साथ थर्मल जलाशय से जुड़ा होता है।

${\begin{aligned}F_{1}&=a,&\gamma _{1}&={\tfrac {\gamma }{2}}\left({\overline {n}}+1\right),\\F_{2}&=a^{\dagger },&\gamma _{2}&={\tfrac {\gamma }{2}}{\overline {n}}.\end{aligned}}$

यहाँ ${\overline {n}}$ थरथरानवाला को भिगोने वाले जलाशय में उत्तेजनाओं की औसत संख्या है और γ क्षय दर है. यदि हम आवृत्ति के साथ क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर हैमिल्टनियन द्वारा उत्पन्न अतिरिक्त एकात्मक विकास भी जोड़ते हैं $\omega _{c}$, हमने प्राप्त

${\dot {\rho }}=-i[\omega _{c}a^{\dagger }a,\rho ]+\gamma _{1}{\mathcal {D}}[F_{1}](\rho )+\gamma _{2}{\mathcal {D}}[F_{2}](\rho ).$

अतिरिक्त लिंडब्लैड ऑपरेटरों को डिफ़ेज़िंग और कंपन संबंधी विश्राम के विभिन्न रूपों को मॉडल करने के लिए शामिल किया जा सकता है। इन विधियों को ग्रिड-आधारित घनत्व मैट्रिक्स प्रसार विधियों में शामिल किया गया है।

यह भी देखें

• क्वांटम मास्टर समीकरण
• रेडफील्ड समीकरण

क्वांटम प्रणाली खोलें खोलें

• क्वांटम जंप विधि

संदर्भ

• Chruściński, Dariusz; Pascazio, Saverio (2017). "A Brief History of the GKLS Equation". Open Systems & Information Dynamics. 24 (3). arXiv:1710.05993. Bibcode:2017OSID...2440001C. doi:10.1142/S1230161217400017. S2CID 90357.
• Kossakowski, A. (1972). "On quantum statistical mechanics of non-Hamiltonian systems". Rep. Math. Phys. 3 (4): 247. Bibcode:1972RpMP....3..247K. doi:10.1016/0034-4877(72)90010-9.
• Belavin, A.A.; Zel'dovich, B. Ya.; Perelomov, A.M.; Popov, V.S. (1969). "Relaxation of Quantum Systems with Equidistant Spectra". JETP. 29: 145. Bibcode:1969JETP...29..145B.
• Lindblad, G. (1976). "On the generators of quantum dynamical semigroups". Commun. Math. Phys. 48 (2): 119. Bibcode:1976CMaPh..48..119L. doi:10.1007/BF01608499. S2CID 55220796.
• Gorini, V.; Kossakowski, A.; Sudarshan, E.C.G. (1976). "Completely positive dynamical semigroups of N-level systems". J. Math. Phys. 17 (5): 821. Bibcode:1976JMP....17..821G. doi:10.1063/1.522979.
• Banks, T.; Susskind, L.; Peskin, M.E. (1984). "Difficulties for the evolution of pure states into mixed states". Nuclear Physics B. 244 (1): 125–134. Bibcode:1984NuPhB.244..125B. doi:10.1016/0550-3213(84)90184-6. OSTI 1447054.
• Accardi, Luigi; Lu, Yun Gang; Volovich, I.V. (2002). Quantum Theory and Its Stochastic Limit. New York: Springer Verlag. ISBN 978-3-5404-1928-0.
• Alicki, Robert (2002). "Invitation to quantum dynamical semigroups". Dynamics of Dissipation. Lecture Notes in Physics. 597: 239. arXiv:quant-ph/0205188. Bibcode:2002LNP...597..239A. doi:10.1007/3-540-46122-1_10. ISBN 978-3-540-44111-3. S2CID 118089738.
• Alicki, Robert; Lendi, Karl (1987). Quantum Dynamical Semigroups and Applications. Berlin: Springer Verlag. ISBN 978-0-3871-8276-6.
• Attal, Stéphane; Joye, Alain; Pillet, Claude-Alain (2006). Open Quantum Systems II: The Markovian Approach. Springer. ISBN 978-3-5403-0992-5.
• Gardiner, C.W.; Zoller, Peter (2010). Quantum Noise. Springer Series in Synergetics (3rd ed.). Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-06094-6.
• Ingarden, Roman S.; Kossakowski, A.; Ohya, M. (1997). Information Dynamics and Open Systems: Classical and Quantum Approach. New York: Springer Verlag. ISBN 978-0-7923-4473-5.

• Tarasov, Vasily E. (2008). Quantum Mechanics of Non-Hamiltonian and Dissipative Systems. Amsterdam, Boston, London, New York: Elsevier Science. ISBN 978-0-0805-5971-1.
• Pearle, P. (2012). "Simple derivation of the Lindblad equation". European Journal of Physics, 33(4), 805.

बाहरी संबंध

• Quantum Optics Toolbox for Matlab
• mcsolve Quantum jump (monte carlo) solver from QuTiP.
• QuantumOptics.jl the quantum optics toolbox in Julia.
• The Lindblad master equation