रैखिक निकाय

This article is about the systems theory concept. For the linear algebra concept, see System of linear equations. For the algebraic geometry concept, see Linear system of divisors. For the tactical formation, see Line (formation).

सिस्टम सिद्धांत में, एक रैखिक प्रणाली एक रैखिक ऑपरेटर के उपयोग के आधार पर एक प्रणाली का गणितीय मॉडल है। रेखीय प्रणालियां आमतौर पर उन विशेषताओं और गुणों को प्रदर्शित करती हैं जो गैर-रैखिक मामले की तुलना में बहुत सरल हैं। गणितीय अमूर्तता या आदर्शीकरण के रूप में, रैखिक प्रणालियाँ स्वचालित नियंत्रण सिद्धांत, संकेत आगे बढ़ाना और दूरसंचार में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग खोजती हैं। उदाहरण के लिए, बेतार संचार प्रणालियों के लिए प्रसार माध्यम अक्सर हो सकता है रैखिक प्रणालियों द्वारा मॉडलिंग।

परिभाषा

नियतात्मक निरंतर-समय SISO सिस्टम के लिए एडिटिविटी गुण को दर्शाने वाला ब्लॉक आरेख। सिस्टम एडिटिविटी प्रॉपर्टी को संतुष्ट करता है या अगर और केवल अगर एडिटिव है $y_{3}(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)$ हमेशा के लिए $t$ और सभी इनपुट के लिए $x_{1}(t)$ और $x_{2}(t)$. इसे विस्तृत करने के लिए छवि पर क्लिक करें।

नियतात्मक निरंतर-समय SISO प्रणाली के लिए एकरूपता गुण को दर्शाने वाला ब्लॉक आरेख। प्रणाली एकरूपता संपत्ति को संतुष्ट करती है या यदि और केवल अगर सजातीय है $y_{2}(t)=a\,y_{1}(t)$ हमेशा के लिए $t$, सभी वास्तविक स्थिरांक के लिए $a$ और सभी इनपुट के लिए $x_{1}(t)$. इसे विस्तृत करने के लिए छवि पर क्लिक करें।

नियतात्मक निरंतर-समय SISO प्रणाली के लिए सुपरपोज़िशन सिद्धांत को दर्शाने वाला ब्लॉक आरेख। सिस्टम सुपरपोज़िशन सिद्धांत को संतुष्ट करता है और इस प्रकार रैखिक है यदि और केवल यदि $y_{3}(t)=a_{1}\,y_{1}(t)+a_{2}\,y_{2}(t)$ हमेशा के लिए $t$, सभी वास्तविक स्थिरांकों के लिए $a_{1}$ और $a_{2}$ और सभी इनपुट के लिए $x_{1}(t)$ और $x_{2}(t)$. इसे विस्तृत करने के लिए छवि पर क्लिक करें।

एक ऑपरेटर द्वारा एक सामान्य नियतात्मक प्रणाली (गणित) का वर्णन किया जा सकता है, H, जो किसी इनपुट को मैप करता है, x(t), के कार्य के रूप में t एक आउटपुट के लिए, y(t), एक प्रकार का ब्लैक बॉक्स (सिस्टम) विवरण।

एक प्रणाली रैखिक है अगर और केवल अगर यह सुपरपोज़िशन सिद्धांत को पूरा करती है, या समकक्षता और एकरूपता दोनों गुणों को प्रतिबंधों के बिना (यानी, सभी इनपुट के लिए, सभी स्केलिंग स्थिरांक और हर समय)।

सुपरपोजिशन सिद्धांत का अर्थ है कि सिस्टम में इनपुट का एक रैखिक संयोजन अलग-अलग इनपुट के अनुरूप व्यक्तिगत शून्य-राज्य आउटपुट (यानी, प्रारंभिक स्थितियों को शून्य पर सेट करने वाले आउटपुट) का एक रैखिक संयोजन उत्पन्न करता है।

एक प्रणाली में जो एकरूपता संपत्ति को संतुष्ट करती है, इनपुट को स्केल करने से हमेशा शून्य-स्थिति प्रतिक्रिया को उसी कारक द्वारा स्केल किया जाता है।एक प्रणाली में जो एडिटिविटी प्रॉपर्टी को संतुष्ट करती है, दो इनपुट जोड़ने से हमेशा अलग-अलग इनपुट के कारण संबंधित दो शून्य-राज्य प्रतिक्रियाओं को जोड़ने में परिणाम मिलता है।

गणितीय रूप से, निरंतर-समय प्रणाली के लिए, दो स्वैच्छिक इनपुट दिए गए हैं

$${\begin{aligned}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{aligned}}$$

साथ ही उनके संबंधित शून्य-राज्य आउटपुट

$${\begin{aligned}y_{1}(t)&=H\left\{x_{1}(t)\right\}\\y_{2}(t)&=H\left\{x_{2}(t)\right\}\end{aligned}}$$

तो एक रैखिक प्रणाली को संतुष्ट होना चाहिए

$$\alpha y_{1}(t)+\beta y_{2}(t)=H\left\{\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\right\}$$

किसी भी अदिश (गणित) मूल्यों के लिए α और β, किसी भी इनपुट सिग्नल के लिए x₁(t) और x₂(t), और हमेशा के लिए t.

सिस्टम को तब समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है H(x(t)) = y(t), कहाँ y(t) समय का कुछ मनमाना कार्य है, और x(t) सिस्टम स्थिति है। दिया गया y(t) और H, सिस्टम के लिए हल किया जा सकता है x(t).

एक जटिल इनपुट के अधीन परिणामी प्रणाली के व्यवहार को सरल इनपुट के जवाबों के योग के रूप में वर्णित किया जा सकता है। अरैखिक प्रणालियों में ऐसा कोई संबंध नहीं होता है। यह गणितीय संपत्ति कई अरैखिक प्रणालियों की तुलना में मॉडलिंग समीकरणों के समाधान को सरल बनाती है। समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली के लिए | टाइम-इनवेरिएंट सिस्टम यह आवेग प्रतिक्रिया या आवृत्ति प्रतिक्रिया विधियों का आधार है (एलटीआई सिस्टम सिद्धांत देखें), जो एक सामान्य इनपुट फ़ंक्शन का वर्णन करता है x(t) इकाई आवेगों या आवृत्ति घटकों के संदर्भ में।

रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली के विशिष्ट अंतर समीकरण | समय-अपरिवर्तनीय प्रणालियां निरंतर कार्य मामले में लाप्लास परिवर्तन और असतत गणित मामले में जेड-रूपांतरण (विशेष रूप से कंप्यूटर कार्यान्वयन में) का उपयोग करके विश्लेषण के लिए अच्छी तरह से अनुकूलित हैं।

एक अन्य परिप्रेक्ष्य यह है कि रैखिक प्रणालियों के समाधान में फ़ंक्शन (गणित) की एक प्रणाली शामिल होती है जो ज्यामितीय अर्थों में वेक्टर (ज्यामितीय) की तरह कार्य करती है।

रेखीय मॉडल का एक सामान्य उपयोग रेखीयकरण द्वारा एक अरैखिक प्रणाली का वर्णन करना है। यह आमतौर पर गणितीय सुविधा के लिए किया जाता है।

एक रेखीय प्रणाली की पिछली परिभाषा SISO (एकल-इनपुट एकल-आउटपुट) प्रणालियों पर लागू होती है। MIMO (मल्टीपल-इनपुट मल्टीपल-आउटपुट) सिस्टम के लिए, इनपुट और आउटपुट सिग्नल वैक्टर (${\mathbf {x} }_{1}(t)$, ${\mathbf {x} }_{2}(t)$, ${\mathbf {y} }_{1}(t)$, ${\mathbf {y} }_{2}(t)$) इनपुट और आउटपुट सिग्नल के बजाय माना जाता है ($x_{1}(t)$, $x_{2}(t)$, $y_{1}(t)$, $y_{2}(t)$.)

एक रेखीय प्रणाली की यह परिभाषा कलन में एक रेखीय अंतर समीकरण की परिभाषा और रेखीय बीजगणित में एक रेखीय मानचित्र के अनुरूप है।

उदाहरण

एक साधारण हार्मोनिक थरथरानवाला अंतर समीकरण का पालन करता है:

$$m{\frac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx.$$

अगर

$$H(x(t))=m{\frac {d^{2}(x(t))}{dt^{2}}}+kx(t),$$

तब H एक रैखिक संकारक है। दे y(t) = 0, हम अंतर समीकरण को फिर से लिख सकते हैं H(x(t)) = y(t), जो दर्शाता है कि एक साधारण हार्मोनिक ऑसीलेटर एक रैखिक प्रणाली है।

रैखिक प्रणालियों के अन्य उदाहरणों में वे शामिल हैं जिनका वर्णन किया गया है $y(t)=k\,x(t)$, $y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}$, $y(t)=k\,\int _{-\infty }^{t}x(\tau )\mathrm {d} \tau$, और साधारण रेखीय अंतर समीकरणों द्वारा वर्णित कोई भी प्रणाली।सिस्टम द्वारा वर्णित $y(t)=k$, $y(t)=k\,x(t)+k_{0}$, $y(t)=\sin {[x(t)]}$, $y(t)=\cos {[x(t)]}$, $y(t)=x^{2}(t)$, ${\textstyle y(t)={\sqrt {x(t)}}}$, $y(t)=|x(t)|$, और विषम-समरूपता आउटपुट वाली एक प्रणाली जिसमें एक रेखीय क्षेत्र और एक संतृप्ति (स्थिर) क्षेत्र शामिल है, गैर-रैखिक हैं क्योंकि वे हमेशा सुपरपोजिशन सिद्धांत को संतुष्ट नहीं करते हैं।

एक रेखीय प्रणाली के आउटपुट बनाम इनपुट ग्राफ़ को मूल के माध्यम से एक सीधी रेखा नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, द्वारा वर्णित एक प्रणाली पर विचार करें $y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}$ (जैसे एक स्थिर-समाई संधारित्र या एक स्थिर-अधिष्ठापन प्रारंभ करनेवाला)। यह रैखिक है क्योंकि यह अध्यारोपण सिद्धांत को संतुष्ट करता है। हालाँकि, जब इनपुट एक साइनसॉइड होता है, तो आउटपुट भी एक साइनसॉइड होता है, और इसलिए इसका आउटपुट-इनपुट प्लॉट मूल से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के बजाय मूल पर केंद्रित एक दीर्घवृत्त होता है।

साथ ही, एक रैखिक प्रणाली के आउटपुट में हार्मोनिक विश्लेषण हो सकता है (और इनपुट की तुलना में एक छोटी मौलिक आवृत्ति होती है) भले ही इनपुट एक साइनसॉइड हो। उदाहरण के लिए, द्वारा वर्णित एक प्रणाली पर विचार करें $y(t)=(1.5+\cos {(t)})\,x(t)$. यह रैखिक है क्योंकि यह अध्यारोपण सिद्धांत को संतुष्ट करता है। हालाँकि, जब इनपुट फॉर्म का साइनसॉइड होता है $x(t)=\cos {(3t)}$, List_of_trigonometric_identities#Product-to-sum_and_sum-to-product_identities|product-to-sum त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि आउटपुट है $y(t)=1.5\cos {(3t)}+0.5\cos {(2t)}+0.5\cos {(4t)}$, अर्थात्, आउटपुट में केवल इनपुट के समान आवृत्ति के साइनसॉइड शामिल नहीं होते हैं (3 rad/s), बल्कि आवृत्तियों के साइनसोइड्स के बजाय 2 rad/s और 4 rad/s; इसके अलावा, आउटपुट के साइनसोइड्स की मूलभूत अवधि के कम से कम सामान्य बहु को लेते हुए, यह दिखाया जा सकता है कि आउटपुट की मौलिक कोणीय आवृत्ति है 1 rad/s, जो कि इनपुट से भिन्न है।

समय-भिन्न आवेग प्रतिक्रिया

समय-भिन्न आवेग प्रतिक्रिया {{math|h(t₂, t₁)}एक रेखीय प्रणाली के } को समय t = t पर प्रणाली की प्रतिक्रिया के रूप में परिभाषित किया गया है₂ समय पर लागू एकल आवेग समारोह के लिए t = t₁. दूसरे शब्दों में, यदि इनपुट x(t) एक रेखीय प्रणाली के लिए है

$$x(t)=\delta (t-t_{1})$$

कहाँ δ(t) डिराक डेल्टा समारोह और संबंधित प्रतिक्रिया का प्रतिनिधित्व करता है {{math|y(t)}सिस्टम का } है

$$y(t=t_{2})=h(t_{2},t_{1})$$

फिर समारोह h(t₂, t₁) सिस्टम की समय-भिन्न आवेग प्रतिक्रिया है। चूंकि इनपुट लागू होने से पहले सिस्टम प्रतिक्रिया नहीं दे सकता है, इसलिए निम्नलिखित आकस्मिक स्थिति को संतुष्ट होना चाहिए:

$$h(t_{2},t_{1})=0,t_{2}<t_{1}$$

कनवल्शन इंटीग्रल

किसी भी सामान्य निरंतर-समय रैखिक प्रणाली का उत्पादन एक अभिन्न द्वारा इनपुट से संबंधित होता है जिसे कार्य-कारण की स्थिति के कारण दोगुनी अनंत सीमा पर लिखा जा सकता है:

$$y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t,t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,t')x(t')dt'$$

यदि सिस्टम के गुण उस समय पर निर्भर नहीं करते हैं जिस पर यह संचालित होता है तो इसे समय-अपरिवर्तनीय कहा जाता है और h केवल समय के अंतर का फलन है τ = t − t' जिसके लिए शून्य है τ < 0 (अर्थात t < t' ). पुनर्परिभाषित करके h तब इनपुट-आउटपुट संबंध को किसी भी तरह से समान रूप से लिखना संभव है,

$$y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau =\int _{0}^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau$$

लीनियर टाइम-इनवेरिएंट सिस्टम्स को आमतौर पर इम्पल्स रिस्पांस फंक्शन के लाप्लास ट्रांसफॉर्म की विशेषता होती है जिसे ट्रांसफर फंक्शन कहा जाता है:

$$H(s)=\int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,dt.$$

अनुप्रयोगों में यह आमतौर पर का एक तर्कसंगत बीजगणितीय कार्य है s. क्योंकि h(t) ऋणात्मक के लिए शून्य है t, अभिन्न को समान रूप से दोगुनी अनंत सीमा और डालने पर लिखा जा सकता है s = iω आवृत्ति प्रतिक्रिया फ़ंक्शन के सूत्र का अनुसरण करता है:

$$H(i\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-i\omega t}dt$$

असतत-समय प्रणाली

किसी भी असतत समय रैखिक प्रणाली का आउटपुट समय-भिन्न कनवल्शन योग द्वारा इनपुट से संबंधित होता है:

$$y[n]=\sum _{m=-\infty }^{n}{h[n,m]x[m]}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{h[n,m]x[m]}$$

या समकक्ष रूप से पुनर्परिभाषित करने पर एक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली के लिए h,

$$y[n]=\sum _{k=0}^{\infty }{h[k]x[n-k]}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}$$

कहाँ

$$k=n-m$$

समय m पर उत्तेजना और समय n पर प्रतिक्रिया के बीच अंतराल समय का प्रतिनिधित्व करता है।

यह भी देखें

• शिफ्ट इनवेरिएंट सिस्टम
• रैखिक नियंत्रण
• रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली
• नॉनलाइनियर सिस्टम
• प्रणाली विश्लेषण
• रैखिक समीकरणों की प्रणाली

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