लूप इंटीग्रल

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और सांख्यिकीय यांत्रिकी में, लूप इंटीग्रल इंटीग्रल होते हैं जो आंतरिक संवेग पर एक या अधिक लूप के साथ फेनमैन आरेख का मूल्यांकन करते समय दिखाई देते हैं। इन इंटीग्रल्स का उपयोग काउंटरटर्म निर्धारित करने के लिए किया जाता है, जो बदले में बीटा फ़ंक्शन (भौतिकी) के मूल्यांकन की अनुमति देता है, जो युग्मन की निर्भरता को एन्कोड करता है $g$ ऊर्जा पैमाने पर बातचीत के लिए $\mu$.

वन-लूप इंटीग्रल

सामान्य सूत्र

एक सामान्य एक-लूप इंटीग्रल, उदाहरण के लिए जो क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स या क्यूसीडी के एक-लूप पुनर्सामान्यीकरण में दिखाई देते हैं, उन्हें फॉर्म में शब्दों के एक रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है।

$\int {\frac {d^{d}k}{(2\pi )^{d}}}{\frac {k_{\mu _{1}}\cdots k_{\mu _{n}}}{((k+q_{1})^{2}+m_{1}^{2})\cdots ((k+q_{b})^{2}+m_{b}^{2})}}$

जहां $q_{i}$ 4-संवेग हैं जो बाहरी संवेग के रैखिक संयोजन हैं, और $m_{i}$ परस्पर क्रिया करने वाले कणों का समूह है। यह अभिव्यक्ति यूक्लिडियन हस्ताक्षर का उपयोग करती है। लोरेंत्ज़ियन हस्ताक्षर में हर रूप की अभिव्यक्ति का एक उत्पाद होगा $(k+q)^{2}-m^{2}+i\epsilon$.

फेनमैन पैरामीट्रिजेशन का उपयोग करके, इसे फॉर्म के इंटीग्रल्स के रैखिक संयोजन के रूप में फिर से लिखा जा सकता है

$\int {\frac {d^{d}l}{(2\pi )^{d}}}{\frac {l_{\mu _{1}}\cdots l_{\mu _{n}}}{(l^{2}+\Delta )^{b}}},$

जहां 4-वेक्टर $l$ और $\Delta$ के कार्य हैं $q_{i},m_{i}$ और फेनमैन पैरामीटर। यह अभिन्न अंग फेनमैन मापदंडों के डोमेन पर भी एकीकृत है। इंटीग्रल एक आइसोट्रोपिक टेंसर है और इसलिए इसे बिना आइसोट्रोपिक टेंसर के रूप में लिखा जा सकता है $l$ निर्भरता (लेकिन संभवतः आयाम पर निर्भर है $d$), अभिन्न से गुणा किया गया

$\int {\frac {d^{d}l}{(2\pi )^{d}}}{\frac {(l^{2})^{a}}{(l^{2}+\Delta )^{b}}}.$

ध्यान दें कि यदि $n$ विषम थे, फिर अभिन्न लुप्त हो जाता है, इसलिए हम परिभाषित कर सकते हैं $n=2a$.

अभिन्न को नियमित करना

कटऑफ नियमितीकरण

विल्सनियन पुनर्सामान्यीकरण में, कटऑफ पैमाने को निर्दिष्ट करके अभिन्न को सीमित बना दिया जाता है $\Lambda >0$. तब मूल्यांकन किया जाने वाला अभिन्न अंग है

$\int ^{\Lambda }{\frac {d^{d}l}{(2\pi )^{d}}}{\frac {(l^{2})^{a}}{(l^{2}+\Delta )^{b}}},$

कहाँ $\int ^{\Lambda }$ डोमेन पर एकीकरण के लिए आशुलिपि है $\{l\in \mathbb {R} ^{d}:|l|<\Lambda \}$. अभिव्यक्ति सीमित है, लेकिन सामान्य तौर पर $\Lambda \rightarrow \infty$, अभिव्यक्ति अलग हो जाती है।

आयामी नियमितीकरण

संवेग कटऑफ के बिना अभिन्न का मूल्यांकन इस प्रकार किया जा सकता है

$I_d(b,a,\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}):={\int <!--\; \int \; -->}_{{\mathbb{R}}^d}\frac{d^{d}l}{{(2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})}^d}\frac{{(l^2)}^a}{{(l^2+\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->})}^b}$