परासांख्यिकी

क्वांटम यांत्रिकी और सांख्यिकीय यांत्रिकी में, पैरास्टैटिस्टिक्स बेहतर ज्ञात कण सांख्यिकी मॉडल (बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी, फर्मी-डिराक सांख्यिकी और मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन सांख्यिकी) के कई विकल्पों में से एक है। अन्य विकल्पों में एनीओनिक आँकड़े और ब्रैड आँकड़े शामिल हैं, इन दोनों में कम स्पेसटाइम आयाम शामिल हैं। हर्बर्ट एस. ग्रीन 1953 में पैरास्टैटिस्टिक्स के निर्माण का श्रेय दिया जाता है।

औपचारिकता

एन समान कणों की एक प्रणाली के ऑपरेटर बीजगणित पर विचार करें। यह एक तारा-बीजगणित है|*-बीजगणित। एक एस है_Nसमूह (क्रम एन का सममित समूह) एन कणों के क्रमपरिवर्तन की इच्छित व्याख्या के साथ ऑपरेटर बीजगणित पर समूह क्रिया (गणित)। क्वांटम यांत्रिकी को भौतिक अर्थ वाले वेधशालाओं पर ध्यान केंद्रित करने की आवश्यकता होती है, और वेधशालाओं को एन कणों के सभी संभावित क्रमपरिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय (गणित) होना होगा। उदाहरण के लिए, मामले में एन = 2, आर₂− आर₁ अवलोकन योग्य नहीं हो सकता क्योंकि यदि हम दो कणों को स्विच करते हैं तो यह संकेत बदल देता है, लेकिन दो कणों के बीच की दूरी: |आर₂− आर₁| एक वैध अवलोकनीय है.

दूसरे शब्दों में, अवलोकन योग्य बीजगणित को एस की कार्रवाई के तहत *-उप बीजगणित अपरिवर्तनीय होना होगा_N(ध्यान दें कि इसका मतलब यह नहीं है कि ऑपरेटर बीजगणित का प्रत्येक तत्व एस के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है_Nएक अवलोकनीय है)। यह अलग-अलग सुपरसेलेक्शन क्षेत्रों की अनुमति देता है, प्रत्येक को एस के यंग आरेख द्वारा मानकीकृत किया जाता है_N.

विशेष रूप से:

• क्रम p (जहाँ p एक धनात्मक पूर्णांक है) के N समरूप 'पैराबोसन' के लिए, अनुमेय युवा आरेख वे सभी हैं जिनमें p या उससे कम पंक्तियाँ हैं।
• ऑर्डर पी के एन समरूप 'पैराफर्मियन' के लिए, स्वीकार्य यंग आरेख वे सभी हैं जिनमें पी या उससे कम कॉलम हैं।
• यदि पी 1 है, तो यह क्रमशः बोस-आइंस्टीन और फर्मी-डिराक आंकड़ों तक कम हो जाता है.
• यदि p मनमाने ढंग से बड़ा (अनंत) है, तो यह मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़ों तक कम हो जाता है।

त्रिरेखीय संबंध

त्रिरेखीय रूपान्तरण संबंधों को संतुष्ट करने वाले सृजन और विनाश संचालक हैं

$\left[a_{k},\left[a_{l}^{\dagger },a_{m}\right]_{\pm }\right]_{-}=[a_{k},a_{l}^{\dagger }]_{\mp }a_{m}\pm a_{l}^{\dagger }\left[a_{k},a_{m}\right]_{\mp }\pm [a_{k},a_{m}]_{\mp }a_{l}^{\dagger }+a_{m}\left[a_{k},a_{l}^{\dagger }\right]_{\mp }=2\delta _{kl}a_{m}$

$\left[a_{k},\left[a_{l}^{\dagger },a_{m}^{\dagger }\right]_{\pm }\right]_{-}=\left[a_{k},a_{l}^{\dagger }\right]_{\mp }a_{m}^{\dagger }\pm a_{l}^{\dagger }\left[a_{k},a_{m}^{\dagger }\right]_{\mp }\pm \left[a_{k},a_{m}^{\dagger }\right]_{\mp }a_{l}^{\dagger }+a_{m}^{\dagger }\left[a_{k},a_{l}^{\dagger }\right]_{\mp }=2\delta _{kl}a_{m}^{\dagger }\pm 2\delta _{km}a_{l}^{\dagger }$

${\left[a_k,{\left[a_l,a_m\right]}_{\pm <!--\; \pm \; -->}\right]}_{-<!--\; -\; -->}={[a_k,a_l]}_{\mp <!--\; \mp \; -->}{a}_m\pm <!--\; \pm \; -->a_l{\left[a_k,a_m\right]}_{\mp <!--\; \mp \; -->}\pm <!--\; \pm \; -->{[a_k,}_{}$