आव्यूह विभाजन

संख्यात्मक रैखिक बीजगणित के गणितीय अध्ययन में, आव्यूह विभाजन एक ऐसी अभिव्यक्ति है जो किसी दिए गए आव्यूह को उनके योग या अंतर के रूप में प्रदर्शित करती है। कई पुनरावृत्त विधियां उदाहरण के लिए, अंतर समीकरणो की प्रणालियां आव्यूह समीकरणों के प्रत्यक्ष समाधान पर निर्भर करती हैं जिसमें त्रिकोणीय आव्यूह की तुलना में अधिक सामान्य आव्यूह सम्मिलित होते हैं। आव्यूह विभाजन के रूप में लिखे जाने पर इन आव्यूह समीकरणों को प्रायः सीधे और कुशलता से हल किया जा सकता है। यह तकनीक 1960 में रिचर्ड एस वर्गा द्वारा तैयार की गई थी।

नियमित विभाजन

हमारा उद्देश्य निम्नलिखित आव्यूह समीकरणों को हल करना हैं

$\mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {k} ,$

(1)

जहाँ A एक n × n गैर-एकल आव्यूह है, और k n घटकों के साथ एक दिया गया खंड सदिश है। हम आव्यूह A को निम्नलिखित रूप में विभाजित करते हैं

$\mathbf {A} =\mathbf {B} -\mathbf {C} ,$

(2)

जहाँ B और C n × n आव्यूह हैं। यदि किसी ऐसी यादृच्छिक n × n आव्यूह M के लिए, M में गैर-नकारात्मक प्रविष्टियां होती है, तो हम M ≥ 0 लिखते हैं। यदि M में केवल सकारात्मक प्रविष्टियाँ हैं, तो हम M > 0 लिखते हैं। इसी तरह, यदि आव्यूह M₁ - M₂ में गैर-नकारात्मक प्रविष्टियाँ हैं, हम M₁ ≥ M₂ लिखते हैं।

परिभाषा: यदि B⁻¹ ≥ 0 और C ≥ 0 है तों A = B - C, A का एक नियमित विभाजन है।

हम मानते हैं कि निम्नलिखित रूप के आव्यूह समीकरण

$\mathbf {B} \mathbf {x} =\mathbf {g} ,$

(3)

जहाँ g एक दिया गया खंड सदिश है, सदिश x के लिए सीधे हल किया जा सकता है। यदि (2) A के नियमित विभाजन का प्रतिनिधित्व करता है, फिर पुनरावृत्त विधि कक उपयोग करके

$\mathbf {B} \mathbf {x} ^{(m+1)}=\mathbf {C} \mathbf {x} ^{(m)}+\mathbf {k} ,\quad m=0,1,2,\ldots ,$

(4)

जहां X⁽⁰⁾ एक यादृच्छिक सदिश है, किया जा सकता है। समान रूप से, (4) समीकरण में हम लिखते हैं

$\mathbf {x} ^{(m+1)}=\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {C} \mathbf {x} ^{(m)}+\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {k} ,\quad m=0,1,2,\ldots$

(5)

यदि (2) A के नियमित विभाजन का प्रतिनिधित्व करता है तों आव्यूह D = B⁻¹C में अऋणात्मक प्रविष्टियाँ हैं।

यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि यदि A⁻¹ > 0, तो $\rho (\mathbf {D} )$ <1, जहां $\rho (\mathbf {D} )$, D के वर्णक्रमीय त्रिज्या का प्रतिनिधित्व करता है, और इस प्रकार D एक अभिसारी आव्यूह है। परिणामस्वरूप, पुनरावृत्ति विधि (5) आवश्यक रूप से जैकोबी विधि अभिसरण है।

यदि, इसके अतिरिक्त, विभाजन (2) चुना जाता है जिससे आव्यूह बी एक विकर्ण आव्यूह हो, तों बी को रैखिक समय में व्युत्क्रमित किया जा सकता है।

आव्यूह पुनरावृत्ति विधि

कई पुनरावृत्ति विधियों को आव्यूह विभाजन के रूप में वर्णित किया जा सकता है। यदि आव्यूह A की विकर्ण प्रविष्टियाँ सभी गैर शून्य हैं, और हम आव्यूह A को आव्यूह योग के रूप में व्यक्त करते हैं

$\mathbf {A} =\mathbf {D} -\mathbf {U} -\mathbf {L} ,$

(6)

जहाँ D, A का विकर्ण भाग है, और U और L क्रमशः दृढ़ता से उच्च तथा निम्न त्रिकोणीय आव्यूह n × n आव्यूह हैं, तो हमारे पास निम्नलिखित समीकरण हैं।

जैकोबी पद्धति को विभाजन के रूप में आव्यूह रूप में निम्नलिखित प्रकार से प्रदर्शित किया जा सकता है

$\mathbf {x} ^{(m+1)}=\mathbf {D} ^{-1}(\mathbf {U} +\mathbf {L} )\mathbf {x} ^{(m)}+\mathbf {D} ^{-1}\mathbf {k} .$

(7)

गॉस-सीडेल विधि को विभाजन के रूप में आव्यूह रूप में निम्नलिखित प्रकार से प्रदर्शित किया जा सकता है

$\mathbf {x} ^{(m+1)}=(\mathbf {D} -\mathbf {L} )^{-1}\mathbf {U} \mathbf {x} ^{(m)}+(\mathbf {D} -\mathbf {L} )^{-1}\mathbf {k} .$

(8)

सतत अति-विश्राम की विधि को विभाजन के रूप को निम्नलिखित आव्यूह रूप में दर्शाया जा सकता है

$\mathbf {x} ^{(m+1)}=(\mathbf {D} -\omega \mathbf {L} )^{-1}[(1-\omega )\mathbf {D} +\omega \mathbf {U} ]\mathbf {x} ^{(m)}+\omega (\mathbf {D} -\omega \mathbf {L} )^{-1}\mathbf {k} .$

(9)

उदाहरण

सतत विभाजन

समीकरण (1) में, मान लीजिए

$\mathbf{A}=(\begin{array}{cc}6& -<!--\; -\; -->\end{array}$