किलिंग फॉर्म

गणित में, विल्हेम हत्या के नाम पर रखा गया किलिंग फॉर्म सममित द्विरेखीय रूप है जो झूठ समूहों और झूठ बीजगणित के सिद्धांतों में बुनियादी भूमिका निभाता है। कार्टन की कसौटी | कार्टन के मानदंड (सॉल्वेबिलिटी की कसौटी और अर्ध-सरलता की कसौटी) से पता चलता है कि किलिंग फॉर्म का लाई बीजगणित के सेमीसिम्पल लाई बीजगणित से घनिष्ठ संबंध है।

इतिहास और नाम

किलिंग फॉर्म अनिवार्य रूप से लाई बीजगणित सिद्धांत में किसके द्वारा पेश किया गया था? Élie Cartan (1894) उनकी थीसिस में। झूठ सिद्धांत के ऐतिहासिक सर्वेक्षण में, Borel (2001) ने वर्णन किया है कि किस तरह से किलिंग फॉर्म शब्द पहली बार 1951 में सेमिनायर बोरबाकी के लिए अपनी खुद की रिपोर्ट के दौरान आया था; यह मिथ्या नाम के रूप में उत्पन्न हुआ, क्योंकि पहले से ही झूठ सिद्धांतकारों द्वारा प्रपत्र का उपयोग किया गया था, बिना किसी नाम के जुड़ा हुआ था। कुछ अन्य लेखक अब कार्टन-किलिंग फॉर्म शब्द का प्रयोग करते हैं। 19वीं शताब्दी के अंत में, किलिंग ने नोट किया था कि लाई बीजगणित के नियमित अर्ध-सरल तत्व के विशेषता समीकरण के गुणांक आसन्न समूह के तहत अपरिवर्तनीय हैं, जिससे यह पता चलता है कि किलिंग फॉर्म (यानी डिग्री 2 गुणांक) है अपरिवर्तनीय, लेकिन उन्होंने इस तथ्य का अधिक उपयोग नहीं किया। मूल परिणाम जो कार्टन ने उपयोग किया, वह कार्टन की कसौटी थी, जिसमें कहा गया है कि किलिंग फॉर्म गैर-पतित है अगर और केवल अगर झूठ बीजगणित अर्ध-सरल झूठ बीजगणित है।

परिभाषा

एक झूठ बीजगणित पर विचार करें ${\mathfrak {g}}$ क्षेत्र पर (गणित) K. हर तत्व x का ${\mathfrak {g}}$ आसन्न एंडोमोर्फिज्म को परिभाषित करता है ad(x) (के रूप में भी लिखा गया है ad_x) का ${\mathfrak {g}}$ लेट ब्रैकेट की मदद से, जैसे

$\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y].$

अब, मान लीजिए ${\mathfrak {g}}$ परिमित आयाम का है, दो ऐसे एंडोमोर्फिज्म की संरचना के मैट्रिक्स का निशान सममित द्विरेखीय रूप को परिभाषित करता है

$B(x,y)=\operatorname {trace} (\operatorname {ad} (x)\circ \operatorname {ad} (y)),$

मूल्यों के साथ K, किलिंग फॉर्म ऑन ${\mathfrak {g}}$.

गुण

उपरोक्त परिभाषा से निम्नलिखित गुण प्रमेय के रूप में अनुसरण करते हैं।

• संहार रूप B बिलिनियर और सममित है।
• किलिंग फॉर्म अपरिवर्तनीय रूप है, जैसा कि कासिमिर संचालक से प्राप्त अन्य सभी रूप हैं। कासिमिर ऑपरेटरों की व्युत्पत्ति (अंतर बीजगणित) गायब हो जाती है; किलिंग फॉर्म के लिए, इस गायब होने को इस रूप में लिखा जा सकता है

$B([x,y],z)=B(x,[y,z])$ : जहां [ , ] लाई बीजगणित# परिभाषा और प्रथम गुण है।

• अगर ${\mathfrak {g}}$ साधारण लाई बीजगणित है तो किसी भी अपरिवर्तनीय सममित द्विरेखीय रूप पर ${\mathfrak {g}}$ किलिंग फॉर्म का स्केलर मल्टीपल है।
• automorphism के तहत किलिंग फॉर्म भी अपरिवर्तनीय है s बीजगणित का ${\mathfrak {g}}$, वह है,

$B(s(x),s(y))=B(x,y)$

के लिए s में ${\mathfrak {g}}$.

• कार्टन कसौटी में कहा गया है कि झूठ बीजगणित अर्धसरल झूठ बीजगणित है अगर और केवल अगर किलिंग फॉर्म पतित रूप है। गैर-पतित।
• निलपोटेंट ले बीजगणित का किलिंग फॉर्म समान रूप से शून्य है।
• अगर I, J झूठ बीजगणित में झूठ बीजगणित के दो आदर्श हैं ${\mathfrak {g}}$ शून्य चौराहे के साथ, फिर I और J किलिंग फॉर्म के संबंध में ओर्थोगोनल सबस्पेस हैं।
• ऑर्थोगोनल पूरक के संबंध में {{math|B}एक आदर्श का} फिर से आदर्श है।
• यदि कोई दिया गया बीजगणित ${\mathfrak {g}}$ इसके आदर्शों का प्रत्यक्ष योग है I₁,...,I_n, फिर की हत्या का रूप ${\mathfrak {g}}$ अलग-अलग योगों के किलिंग रूपों का प्रत्यक्ष योग है।

मैट्रिक्स तत्व

एक आधार दिया {{math|e_i}झूठ बीजगणित का } ${\mathfrak {g}}$, किलिंग फॉर्म के मैट्रिक्स तत्व द्वारा दिए गए हैं

$B_{ij}=\mathrm {trace} (\mathrm {ad} (e_{i})\circ \mathrm {ad} (e_{j})).$

यहाँ

$\left(\text{ad}(e_i)\circ <!--\; \circ \; -->\text{ad}(e_j)\right)(e_k)=[e_i,[e_j,e_k]]=[$