अर्द्धपरिधि

ज्यामिति में, बहुभुज की अर्द्धपरिधि उसकी परिधि की आधी होती है। चूँकि इसकी परिधि से इतनी सरल व्युत्पत्ति है, त्रिकोण और अन्य आकृतियों के सूत्रों में सेमीपरिमीटर अधिकांशतः पर्याप्त रूप से दिखाई देता है कि इसे अलग नाम दिया जाता है। जब अर्द्धपरिधि सूत्र के भाग के रूप में होती है, तो इसे सामान्यतः अक्षर s द्वारा निरूपित किया जाता है।

जब अर्द्धपरिधि सूत्र के भाग के रूप में होती है, तो इसे सामान्यतः अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है s.सामान्यतः अक्षर s द्वारा निरूपित किया जाता हैतः अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता

त्रिकोण

किसी भी त्रिभुज में, त्रिकोण की सीमा के साथ-साथ शीर्ष से विपरीत किनारे पर स्थित बिंदु तक की दूरी बाह्यवृत्त द्वारा स्पर्श की जाती है जो सेमीपरिमीटर के बराबर होती है।

अर्धपरिधि का प्रयोग प्रायः त्रिभुजों के लिए किया जाता है; भुजाओं की लंबाई वाले त्रिभुज की अर्द्धपरिधि का सूत्र a, b, c

$s={\frac {a+b+c}{2}}.$

गुण

किसी भी त्रिभुज में, कोई भी शीर्ष और वह बिंदु जहां विपरीत बहिर्वृत्त त्रिभुज की परिधि को दो समान लंबाई में विभाजित करता है, इस प्रकार दो पथ बनाता है जिनमें से प्रत्येक की लंबाई अर्धपरिधि के बराबर होती है। यदि A, B, B', C' जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, फिर वर्टेक्स को विपरीत बाह्य वृत्त स्पर्शरेखा से जोड़ने वाले खंड (AA', BB', CC', आरेख में लाल रंग में दिखाया गया है) स्प्लिटर (ज्यामिति) के रूप में जाना जाता है, और

${\begin{aligned}s&=|AB|+|A'B|=|AB|+|AB'|=|AC|+|A'C|\\&=|AC|+|AC'|=|BC|+|B'C|=|BC|+|BC'|.\end{aligned}}$

त्रिभुज के नागल बिंदु पर तीन विभाजक समवर्ती रेखाएँ।

त्रिभुज का क्लीवर (ज्यामिति) रेखा खंड है जो त्रिभुज की परिधि को द्विभाजित करता है और तीन भुजाओं में से एक के मध्य बिंदु पर अंत बिंदु होता है। तो कोई भी क्लीवर, किसी भी स्प्लिटर की तरह, त्रिभुज को दो रास्तों में विभाजित करता है, जिनमें से प्रत्येक की लंबाई अर्धपरिधि के बराबर होती है। तीन क्लीवर स्पाइकर केंद्र पर मिलते हैं, जो औसत दर्जे का त्रिभुज का अंतःवृत्त है; स्पाइकर केंद्र त्रिभुज के किनारों पर सभी बिंदुओं के द्रव्यमान का केंद्र है।

त्रिभुज के मध्य से निकलने वाली रेखा परिधि को द्विभाजित करती है यदि और केवल यदि यह क्षेत्र को भी समद्विभाजित करती है।

एक त्रिभुज का अर्धपरिधि उसके औसत दर्जे के त्रिभुज के परिमाप के बराबर होता है।

त्रिभुज असमानता से, त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा की लंबाई अर्धपरिमाप से कम होती है।

अर्धपरिधि का आह्वान करने वाले सूत्र

त्रिकोण के लिए

किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल A उसकी अंतःत्रिज्या (उसके खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या) और उसके अर्द्धपरिधि का गुणनफल होता है:

$A=rs.$

हीरोन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना उसके अर्धपरिधि और भुजाओं की लंबाई a, b, c से भी की जा सकती है:

$A={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}.$

परिधि R त्रिभुज की अर्धपरिधि और भुजाओं की लंबाई से भी गणना की जा सकती है:

$R={\frac {abc}{4{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}.$

यह सूत्र जीवा के नियम से प्राप्त किया जा सकता है।

अंतःत्रिज्या है

$r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}}.$

कॉटैंगेंट्स का कानून अर्ध-परिधि, पक्षों और अंतःत्रिज्या के संदर्भ में त्रिभुज के शीर्ष पर आधे कोणों के स्पर्शरेखा देता है।

लंबाई a की भुजा के विपरीत कोण के आंतरिक द्विभाजक की लंबाई है

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