मेरिडियन चाप

भूमंडल नापने का शास्र एवं मार्गदर्शन में, मेरिडियन चाप पृथ्वी की सतह पर समान देशांतर वाले दो बिंदुओं के मध्य वक्र (ज्यामिति) है। यह शब्द या तो भूमध्य रेखा (भूगोल) के चाप (ज्यामिति) या इसकी चाप की लंबाई को संदर्भित कर सकता है।

मेरिडियन चाप को मापने का उद्देश्य पृथ्वी का आंकड़ा निर्धारित करना है। मेरिडियन चाप के या अधिक मापों का उपयोग संदर्भ दीर्घवृत्त के आकार का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है जो माप के क्षेत्र में जिओएड का सबसे अच्छा अनुमान लगाता है। दुनिया भर के कई मेरिडियनों के साथ कई अक्षांशों पर मेरिडियन चाप के मापन को पूरी दुनिया में फिट करने के उद्देश्य से भूस्थैतिक दीर्घवृत्त का अनुमान लगाने के लिए जोड़ा जा सकता है।

वृत्ताकार पृथ्वी के आकार के प्रारंभिक निर्धारण के लिए चाप की आवश्यकता थी। 19वे दशक में प्रारम्भ हुए सटीक सर्वेक्षण कार्य के लिए उस क्षेत्र में कई चाप मापों की आवश्यकता थी, जहां सर्वेक्षण किया जाना था, जिससे दुनिया भर में संदर्भ दीर्घवृत्तों का प्रसार हुआ था। इस प्रकार नवीनतम निर्धारण जियोडेटिक खगोल विज्ञान या एस्ट्रो-जियोडेटिक मापन एवं उपग्रह जियोडेसी की विधियों का उपयोग संदर्भ दीर्घवृत्तों को निर्धारित करने के लिए करते हैं, विशेष रूप से भूकेंद्रीय दीर्घवृत्त जो अब वैश्विक समन्वय प्रणालियों जैसे डब्ल्यूजीएस 84 (संख्यात्मक विश्लेषण अभिव्यक्ति देखें) के लिए उपयोग किए जाते हैं।

माप का इतिहास

Further information: भूगणित का इतिहास and मीटर का इतिहास

पृथ्वी के आकार का प्रारंभिक अनुमान ईसा पूर्व चौथी शताब्दी में ग्रीस से एवं 9वीं शताब्दी में इस ज्ञान के लिए विद्वानों द्वारा इंगित किया गया है। पहले यथार्थवादी मूल्य की गणना सिकंदरिया के वैज्ञानिक एराटोस्थनीज ने लगभग 240 ईसा पूर्व की थी। उन्होंने अनुमान लगाया कि मेरिडियन की लंबाई 252,000 स्टैडियन (यूनिट) है, जिसमें -2.4% एवं + 0.8% के मध्य वास्तविक मूल्य पर त्रुटि है (155 एवं 160 मीटर के मध्य स्टेडियम के लिए मान मानते हुए)। एराटोस्थनीज ने अपनी तकनीक का वर्णन पृथ्वी की माप पर नामक पुस्तक में किया है, जिसे संरक्षित नहीं किया गया है। इस प्रकार लगभग 150 साल पश्चात पोसिडोनियस द्वारा इसी प्रकार की विधि का उपयोग किया गया था, एवं चाप माप पद्धति द्वारा 827 में थोड़ा उत्तम परिणाम की गणना की गई थी, इसके लिए खलीफा अल-मामून को उत्तरदायी ठहराया गया था।

दीर्घवृत्तीय पृथ्वी

Main article: पृथ्वी दीर्घवृत्त § निर्धारण

प्रारंभिक साहित्य ध्रुवों पर कुचले हुए गोले का वर्णन करने के लिए चपटे गोलाकार शब्द का उपयोग करता है। आधुनिक साहित्य गोलाकार के स्थान पर क्रांति के दीर्घवृत्ताकार शब्द का उपयोग करता है, चूंकि क्रांति के योग्य शब्द सामान्यतः हटा दिए जाते हैं। दीर्घवृत्त जो क्रांति का दीर्घवृत्त नहीं है, उसे त्रिअक्षीय दीर्घवृत्त कहा जाता है। इस लेख में गोलाकार एवं दीर्घवृत्त का उपयोग दूसरे के स्थान पर किया गया है, यदि नहीं कहा गया है तो तिरछा निहित है।

17वीं एवं 18वीं शताब्दी

यद्यपि यह मौलिक प्राचीनता के पश्चात से जाना जाता था कि 17 वीं शताब्दी तक पृथ्वी गोलाकार पृथ्वी थी, जो इसके प्रमाण एकत्रित कर रहे थे कि यह आदर्श क्षेत्र नहीं था। इस प्रकार 1672 में, जीन रिचर ने पहला प्रमाण पाया कि पृथ्वी पर गुरुत्वाकर्षण स्थिर नहीं था (जैसा कि पृथ्वी गोलाकार होती तो ऐसा होता); वह केयेन, फ्रेंच गयाना के लिए पेंडुलम घड़ी ले गया एवं पाया कि यह खो गया है 2+1⁄2 मिनट प्रति दिन पेरिस में इसकी दर की तुलना में अधिक हैं। इसने संकेत दिया कि पेरिस की तुलना में केयेन में गुरुत्वाकर्षण का त्वरण कम था। इस प्रकार पेंडुलम ग्रेविमीटर को दुनिया के दूरदराज के हिस्सों में यात्राओं पर ले जाया जाने लगा, एवं यह धीरे-धीरे पता चला कि बढ़ते अक्षांश के साथ गुरुत्वाकर्षण सुचारू रूप से बढ़ता है, भूमध्य रेखा की तुलना में भौगोलिक ध्रुवों पर गुरुत्वाकर्षण त्वरण लगभग 0.5% अधिक होता है।

1687 में, आइजैक न्यूटन ने फिलोसोफी नेचुरेलिस प्रिन्सिपिया मैथेमेटिका में प्रमाण के रूप में प्रकाशित किया था कि पृथ्वी चपटी गोलाकार आकृति के 1/230 के बराबर है। यह कुछ, अपितु सभी नहीं, फ्रांसीसी वैज्ञानिकों द्वारा विवादित था। 1684-1718 की अवधि में जॉन डोमिनिक कैसिनी एवं उनके बेटे जैक्स कैसिनी द्वारा जॉन पिकार्ड के मध्याह्न चाप को लंबे चाप तक बढ़ाया गया था। चाप को कम से कम तीन अक्षांश निर्धारणों के साथ मापा गया था, इसलिए वे चाप के उत्तरी एवं दक्षिणी हिस्सों के लिए औसत वक्रता निकालने में सक्षम थे, जिससे समग्र आकार का निर्धारण हो सके। परिणामों ने संकेत दिया कि पृथ्वी लम्बी गोलाकार (ध्रुवीय त्रिज्या से कम भूमध्यरेखीय त्रिज्या के साथ) थी। इस विवाद को हल करने के लिए, फ्रेंच एकेडमी ऑफ साइंसेज (1735) ने पेरू (पियरे बौगुएर, लुइस गोडिन, चार्ल्स मैरी डे ला कोंडोमाइन, एंटोनियो डी उलोआ, जॉर्ज जुआन एवं सांतासिलिया) एवं लैपलैंड (पियरे लुइस मौपर्टुइस, एलेक्सिस क्लेराट, चार्ल्स) के लिए अभियान प्रस्तावित किया था। एटिएन लुई कैमस, पियरे-चार्ल्स ले मोननियर, रेजिनाल्ड आउटहियर, एंडर्स सेल्सियस)। पेरू के अभियान का वर्णन फ्रेंच जियोडेसिक मिशन लेख में किया गया है एवं लैपलैंड के लिए फ्रेंच जियोडेसिक मिशन टू लैपलैंड लेख में वर्णित है। विषुवतीय एवं ध्रुवीय अक्षांशों पर परिणामी मापों ने पुष्टि की कि न्यूटन का समर्थन करने वाले चपटे गोलाकार द्वारा पृथ्वी का सबसे अच्छा प्रारूप तैयार किया गया था। चूंकि 1743 तक, क्लेराट के प्रमेय ने न्यूटन के दृष्टिकोण को पूरी तरह से परिवर्तित कर दिया था।

दशक के अंत तक, जीन-बैप्टिस्ट-जोसेफ डेलम्ब्रे ने डनकर्क से भूमध्य सागर (डेलम्ब्रे एवं मेचैन के मध्याह्न चाप) तक फ्रांसीसी चाप को फिर से माप लिया एवं बढ़ाया गया था। अक्षांश के चार मध्यवर्ती निर्धारणों द्वारा इसे पाँच भागों में विभाजित किया गया था। पेरू के चाप के लिए मापों को साथ जोड़कर दीर्घवृत्त आकार के मापदंडों को निर्धारित किया गया था एवं पेरिस मेरिडियन के साथ भूमध्य रेखा एवं ध्रुव के मध्य की दूरी की गणना की गई थी 5130762 ट्वासेस पेरिस में मानक ट्वास बार द्वारा निर्दिष्ट के रूप में किया जाता हैं। इस दूरी को सटीक रूप से परिभाषित करना 10000000 m के रूप में नए मानक मीटर बार के निर्माण का नेतृत्व किया 0.5130762 था।

19वीं दशक

19वीं शताब्दी में, कई खगोलशास्त्री एवं भूगर्भशास्त्री विभिन्न मध्याह्न चापों के साथ पृथ्वी की वक्रता के विस्तृत अध्ययन में लगे हुए थे। विश्लेषण के परिणामस्वरूप प्लेसिस 1817, एअरी 1830, बेसेल दीर्घवृत्ताभ, एवरेस्ट 1830, एवं अलेक्जेंडर रॉस क्लार्क जैसे कई मॉडल दीर्घवृत्त प्राप्त किए गए थे। इस प्रकार पृथ्वी दीर्घवृत्ताभ ऐतिहासिक पृथ्वी दीर्घवृत्ताभ के अंतर्गत दीर्घवृत्ताभों की विस्तृत सूची दी गई है।

समुद्री मील

ऐतिहासिक रूप से समुद्री मील को गोलाकार पृथ्वी के मध्याह्न के साथ चाप के मिनट की लंबाई के रूप में परिभाषित किया गया था। दीर्घवृत्ताभ मॉडल अक्षांश के साथ समुद्री मील की भिन्नता की ओर जाता है। इसे समुद्री मील को ठीक 1,852 मीटर परिभाषित करके हल किया गया था। चूंकि, सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, दूरियों को चार्ट के अक्षांश पैमाने से मापा जाता है। जैसा कि रॉयल यॉटिंग एसोसिएशन डे स्किपर्स के लिए अपने मैनुअल में कहता है: 1 (मिनट) अक्षांश = 1 समुद्री मील, इसके बाद सबसे व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए दूरी को अक्षांश पैमाने से मापा जाता है, यह मानते हुए कि अक्षांश का मिनट समुद्री मील के बराबर होता है।

गणना

See also: अक्षांश § मध्याह्न चाप

गोले पर, याम्योत्तर चाप की लंबाई केवल वृत्ताकार_सेक्टर चाप_लंबाई होती है। इस क्रांति के दीर्घवृत्त पर, लघु मध्याह्न चापों के लिए, उनकी लंबाई को पृथ्वी की त्रिज्या के लिए मध्यवर्ती पृथ्वी के भाग की वक्रता की भूमध्यरेखीय त्रिज्या एवं वृत्ताकार चाप सूत्रीकरण का उपयोग करके अनुमानित किया जा सकता है। लंबे चापों के लिए, लंबाई दो 'मध्याह्न दूरी' के घटाव से होती है, भूमध्य रेखा से अक्षांश पर बिंदु तक की दूरी φ. मानचित्र अनुमानों के सिद्धांत में यह महत्वपूर्ण समस्या है, विशेष रूप से अनुप्रस्थ मर्केटर प्रक्षेपण के समान थी।

मुख्य दीर्घवृत्ताकार पैरामीटर हैं, a, b, f, अपितु सैद्धांतिक काम में यह अतिरिक्त मापदंडों को परिभाषित करने के लिए उपयोगी है, विशेष रूप से सनकीपन (गणित), e, एवं तीसरा चपटा n. इनमें से केवल दो पैरामीटर स्वतंत्र हैं एवं उनके मध्य कई संबंध हैं:

${\begin{aligned}f&={\frac {a-b}{a}}\,,\qquad e^{2}=f(2-f)\,,\qquad n={\frac {a-b}{a+b}}={\frac {f}{2-f}}\,,\\b&=a(1-f)=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,,\qquad e^{2}={\frac {4n}{(1+n)^{2}}}\,.\end{aligned}}$

परिभाषा

पृथ्वी की त्रिज्या मेरिडोनल को इसके बराबर दिखाया जा सकता है:

$M(\varphi )={\frac {a(1-e^{2})}{\left(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi \right)^{\frac {3}{2}}}},$

याम्योत्तर के अतिसूक्ष्म तत्व की चाप लंबाई dm = M(φ) dφ के समान है इसके साथ φ रेडियंस में इसे मापा जा सकता हैं। इसलिए भूमध्य रेखा से अक्षांश तक भूमध्य रेखा की दूरी φ है

${\begin{aligned}m(\varphi )&=\int _{0}^{\varphi }M(\varphi )\,d\varphi \\&=a(1-e^{2})\int _{0}^{\varphi }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi \right)^{-{\frac {3}{2}}}\,d\varphi \,.\end{aligned}}$

के संदर्भ में लिखे जाने पर दूरी सूत्र सरल होता है, अक्षांश पैरामीट्रिक (या कम) अक्षांश इस प्रकार प्रदर्शित किये जा सकते हैं,

$m(\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->})=b{\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\sqrt{1+e^{\prime 2}{\sin }^2<!--\; \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}$