रेखीय समीकरण

दो चरों में रैखिक समीकरणों के दो रेखांकन

गणित में, एक रेखीय समीकरण एक समीकरण है जिसे इस रूप में रखा जा सकता है $a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b=0,$ कहाँ पे $x_{1},\ldots ,x_{n}$ चर (या अज्ञात) हैं, और $b,a_{1},\ldots ,a_{n}$ गुणांक हैं, जो अक्सर वास्तविक संख्याएं होती हैं। गुणांकों को समीकरण के पैरामीटर के रूप में माना जा सकता है, और मनमाना व्यंजक हो सकते हैं, बशर्ते उनमें कोई चर शामिल न हो। एक सार्थक समीकरण प्राप्त करने के लिए, गुणांक $a_{1},\ldots ,a_{n}$ आवश्यक है कि सभी शून्य न हों।

वैकल्पिक रूप से, किसी क्षेत्र पर एक रैखिक बहुपद को शून्य के बराबर करके एक रैखिक समीकरण प्राप्त किया जा सकता है, जिससे गुणांक लिया जाता है।

इस तरह के समीकरण के समाधान वे मान होते हैं, जो अज्ञात के लिए प्रतिस्थापित होने पर समानता को सत्य बनाते हैं।

केवल एक चर के मामले में, ठीक एक समाधान है (बशर्ते कि $a_{1}\neq 0$) अक्सर, रैखिक समीकरण शब्द इस विशेष मामले को परोक्ष रूप से संदर्भित करता है, जिसमें चर को समझदारी से अज्ञात कहा जाता है।

दो चरों के मामले में, प्रत्येक समाधान की व्याख्या यूक्लिडियन तल के एक बिंदु के कार्तीय निर्देशांक के रूप में की जा सकती है। एक रैखिक समीकरण के समाधान यूक्लिडियन तल में एक रेखा बनाते हैं, और, इसके विपरीत, प्रत्येक रेखा को दो चरों में एक रैखिक समीकरण के सभी समाधानों के समुच्चय के रूप में देखा जा सकता है। इस प्रकार के समीकरणों का वर्णन करने के लिए यह रैखिक शब्द का मूल है। अधिक सामान्यतः, में एक रैखिक समीकरण के समाधान n चर एक हाइपरप्लेन बनाते हैं (आयाम का एक उप-स्थान) n − 1) आयाम के यूक्लिडियन अंतरिक्ष में n.

रैखिक समीकरण अक्सर सभी गणित और भौतिकी और इंजीनियरिंग में उनके अनुप्रयोगों में होते हैं, आंशिक रूप से क्योंकि गैर-रैखिक सिस्टम अक्सर रैखिक समीकरणों द्वारा अनुमानित होते हैं।

यह आलेख वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र से गुणांक वाले एकल समीकरण के मामले पर विचार करता है, जिसके लिए वास्तविक समाधानों का अध्ययन किया जाता है। इसकी सभी सामग्री जटिल समाधानों पर लागू होती है, और अधिक सामान्यतः, किसी भी क्षेत्र में गुणांक और समाधान वाले रैखिक समीकरणों के लिए। एक साथ कई रैखिक समीकरणों के मामले में, रैखिक समीकरणों की प्रणाली देखें।

एक चर

एक चर में एक रैखिक समीकरण x रूप का है $ax+b=0,$ कहाँ पे a तथा b वास्तविक संख्याएं हैं और $a\neq 0$.

की जड़ $x=-{\frac {b}{a}}$.

दो चर

दो चरों में एक रैखिक समीकरण x तथा y रूप का है $ax+by+c=0,$ कहाँ पे a, b तथा c वास्तविक संख्याएँ ऐसी होती हैं कि $a^{2}+b^{2}\neq 0$.

इसके असीम रूप से कई संभावित समाधान हैं।

रैखिक कार्य

Main article: Linear function (calculus)

यदि b ≠ 0, समीकरण

$ax+by+c=0$

एकल चर में एक रैखिक समीकरण है y के प्रत्येक मूल्य के लिए x. इसलिए इसका एक अनूठा समाधान है y, जो द्वारा दिया गया है

$y=-{\frac {a}{b}}x-{\frac {c}{b}}.$

यह एक फ़ंक्शन को परिभाषित करता है। इस फ़ंक्शन का ग्राफ ढलान वाली एक रेखा है $-{\frac {a}{b}}$ और y-अवरोध|yसंवाद $-{\frac {c}{b}}.$ वे फलन जिनका ग्राफ एक रेखा है, आमतौर पर कलन के संदर्भ में रैखिक फलन कहलाते हैं। हालांकि, रैखिक बीजगणित में, एक रैखिक फ़ंक्शन एक ऐसा फ़ंक्शन होता है जो योग को सारांश की छवियों के योग के लिए मैप करता है। तो, इस परिभाषा के लिए, उपरोक्त फ़ंक्शन केवल तभी रैखिक होता है जब c = 0, वह तब होता है जब रेखा मूल बिंदु से होकर गुजरती है। भ्रम से बचने के लिए, जिन कार्यों का ग्राफ एक मनमानी रेखा है, उन्हें अक्सर एफ़िन फ़ंक्शन कहा जाता है।

ज्यामितीय व्याख्या

बराबर की खड़ी रेखा

पर x = a [[File:y is b.svg|thumb|समीकरण की क्षैतिज रेखा y इसके प्रतिच्छेदन का समन्वय करें {mvar|y}}-अक्ष)। इस स्थिति में इसका रैखिक समीकरण लिखा जा सकता है

$y=mx+y_{0}.$

यदि, इसके अलावा, रेखा क्षैतिज नहीं है, तो इसे इसके ढलान और इसके द्वारा परिभाषित किया जा सकता है xसंवाद x₀. इस स्थिति में, इसका समीकरण लिखा जा सकता है

$y=m(x-x_{0}),$

या, समान रूप से,

$y=mx-mx_{0}.$

ये रूप एक गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा को एक फ़ंक्शन के ग्राफ के रूप में मानने की आदत पर निर्भर करते हैं।समीकरण द्वारा दी गई रेखा के लिए

$ax+by+c=0,$

इन रूपों को संबंधों से आसानी से निकाला जा सकता है

${\begin{aligned}m&=-{\frac {a}{b}},\\x_{0}&=-{\frac {c}{a}},\\y_{0}&=-{\frac {c}{b}}.\end{aligned}}$

बिंदु-ढलान रूप या बिंदु-ढाल रूप

एक गैर-ऊर्ध्वाधर रेखा को इसके ढलान द्वारा परिभाषित किया जा सकता है m, और निर्देशांक $x_{1},y_{1}$ रेखा के किसी भी बिंदु पर। इस स्थिति में, रेखा का एक रैखिक समीकरण है

$y=y_{1}+m(x-x_{1}),$

या

$y=mx+y_{1}-mx_{1}.$

यह समीकरण भी लिखा जा सकता है

$$