परिणामी

This article is about दो बहुपदों का परिणाम. For विशेषण के रूप में प्रयोग करता है, see परिणामी (बहुविकल्पी).

गणित में, दो बहुपदों का परिणाम उनके गुणांकों की बहुपद व्यंजक है, जो शून्य के बराबर है अगरयदि और केवल अगरयदि बहुपदों में फलन की सामान्य मूल (संभवतः क्षेत्र विस्तार में), या, समतुल्य, सामान्य कारक ( उनके गुणांक के क्षेत्र में) है। कुछ प्राचीन ग्रन्थों में परिणामी को निर्मूलक भी कहा गया है।

परिणामी का व्यापक रूप से संख्या सिद्धांत में उपयोग किया जाता है, या तो सीधे या विवेचक के माध्यम से, जो अनिवार्य रूप से बहुपद और उसके व्युत्पन्न का परिणाम है। परिमेय संख्या या बहुपद गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम की कंप्यूटर पर कुशलता से गणना की जा सकती है। यह कंप्यूटर बीजगणित का आधारभूत उपकरण है, और अधिकांश कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों का अंतर्निहित कार्य है। इसका उपयोग, दूसरों के बीच, बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन, तर्कसंगत कार्यों के प्रतीकात्मक एकीकरण और बहुपद चर बहुपद समीकरणों की संख्या द्वारा परिभाषित वक्रों के चित्रण के लिए किया जाता है।

एन वेरिएबल्स में एन सजातीय बहुपदों का परिणाम (सामान्य परिणाम से इसे अलग करने के लिए 'बहुभिन्नरूपी परिणाम' या 'मैकाले का परिणाम' भी कहा जाता है) सामान्यीकरण है, जो सामान्य परिणाम के फ्रांसिस सोवर मैकाले द्वारा द्वारा पेश किया गया है। यह ग्रोबनेर के साथ उन्मूलन सिद्धांत के मुख्य उपकरणों में से एक है।

नोटेशन

दो अविभाज्य बहुपदों का परिणाम A और B सामान्य रूप से $\operatorname {res} (A,B)$ या $\operatorname {Res} (A,B)$ द्वारा निरूपित किया जाता है

परिणामी के कई अनुप्रयोगों में, बहुपद कई अनिश्चितताओं पर निर्भर करते हैं और गुणांक के रूप में अन्य अनिश्चितताओं में बहुपदों के साथ उनके अनिश्चित में से एक में अविभाजित बहुपद के रूप में माना जा सकता है। इस मामले में, परिणामी को परिभाषित करने और गणना करने के लिए चुने गए अनिश्चित को सबस्क्रिप्ट: $\operatorname {res} _{x}(A,B)$ या $\operatorname {Res} _{x}(A,B)$ के रूप में दर्शाया गया है

परिणामी की परिभाषा में बहुपदों की डिग्री का उपयोग किया जाता है। हालांकि, डिग्री का बहुपद d उच्च डिग्री के बहुपद के रूप में भी माना जा सकता है जहां प्रमुख गुणांक शून्य हैं। यदि परिणामी के लिए ऐसी उच्च डिग्री का उपयोग किया जाता है, तो इसे आमतौर पर सबस्क्रिप्ट या सुपरस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है, जैसे $\operatorname {res} _{d,e}(A,B)$ या $\operatorname {res} _{x}^{d,e}(A,B).$

परिभाषा

क्षेत्र (गणित) या क्रमविनिमेय वलय पर दो अविभाजित बहुपदों के परिणाम को आमतौर पर उनके सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के निर्धारक के रूप में परिभाषित किया जाता है। अधिक त्रुटिहीन, मान लीजिये

$A=a_{0}x^{d}+a_{1}x^{d-1}+\cdots +a_{d}$

और

$B=b_{0}x^{e}+b_{1}x^{e-1}+\cdots +b_{e}$

क्रमशः घात d और e वाले शून्येतर बहुपद हों। आइए हम ${\mathcal {P}}_{i}$ आयाम का सदिश स्थान (या मुक्त मॉड्यूल यदि गुणांक क्रमविनिमेय वलय से संबंधित हैं) i द्वारा निरूपित करते हैं। जिनके तत्व i सख्ती से कम डिग्री के बहुपद हैं। वो मैप

$\varphi :{\mathcal {P}}_{e}\times {\mathcal {P}}_{d}\rightarrow {\mathcal {P}}_{d+e}$

ऐसा है कि

$\varphi (P,Q)=AP+BQ$

ही आयाम के दो स्थानों के बीच रेखीय नक्शा है। x की शक्तियों के आधार पर (अवरोही क्रम में सूचीबद्ध), यह नक्शा आयाम d + e के वर्ग मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया गया है,जिसे A और B के सिल्वेस्टर मैट्रिक्स कहा जाता है (कई लेखकों के लिए और लेख सिल्वेस्टर मैट्रिक्स में, सिल्वेस्टर मैट्रिक्स को इस मैट्रिक्स के स्थानान्तरण के रूप में परिभाषित किया गया है; इस सम्मेलन का उपयोग यहां नहीं किया गया है, क्योंकि यह एक रेखीय मानचित्र के मैट्रिक्स को लिखने के लिए सामान्य सम्मेलन को तोड़ता है)।

इस प्रकार A और B का परिणाम निर्धारक है

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a$