परिणामी

This article is about the resultant of two polynomials. For the uses as an adjective, see Resultant (disambiguation).

गणित में, दो बहुपदों का परिणाम उनके गुणांकों की एक बहुपद अभिव्यक्ति है, जो शून्य के बराबर है अगर और केवल अगर बहुपदों में एक समारोह की एक सामान्य जड़ है (संभवतः एक क्षेत्र विस्तार में), या, समतुल्य, एक सामान्य कारक ( उनके गुणांक के क्षेत्र में)। कुछ पुराने ग्रन्थों में परिणामी को निर्मूलक भी कहा गया है। परिणामी का व्यापक रूप से संख्या सिद्धांत में उपयोग किया जाता है, या तो सीधे या विवेचक के माध्यम से, जो अनिवार्य रूप से एक बहुपद और उसके व्युत्पन्न का परिणाम है। परिमेय संख्या या बहुपद गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम की कंप्यूटर पर कुशलता से गणना की जा सकती है। यह कंप्यूटर बीजगणित का एक बुनियादी उपकरण है, और अधिकांश कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों का एक अंतर्निहित कार्य है। इसका उपयोग, दूसरों के बीच, बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन, तर्कसंगत कार्यों के प्रतीकात्मक एकीकरण और बहुपद # चर बहुपद समीकरणों की संख्या द्वारा परिभाषित वक्रों के चित्रण के लिए किया जाता है।

एन वेरिएबल्स में एन सजातीय बहुपदों का परिणाम (सामान्य परिणाम से इसे अलग करने के लिए 'बहुभिन्नरूपी परिणाम' या 'मैकाले का परिणाम' भी कहा जाता है) एक सामान्यीकरण है, जो सामान्य परिणाम के फ्रांसिस सोवर मैकाले द्वारा द्वारा पेश किया गया है। यह ग्रोबनर आधार के साथ है | ग्रोबनर आधार, उन्मूलन सिद्धांत के मुख्य उपकरणों में से एक है।

नोटेशन

दो अविभाज्य बहुपदों का परिणाम A और B सामान्य रूप से निरूपित किया जाता है $\operatorname {res} (A,B)$ या $\operatorname {Res} (A,B).$ परिणामी के कई अनुप्रयोगों में, बहुपद कई अनिर्धारकों पर निर्भर करते हैं और उनके एक अनिर्धारक में अविभाजित बहुपद के रूप में माना जा सकता है, अन्य अनिर्धारक में गुणांक के रूप में बहुपद के साथ। इस मामले में, परिणामी को परिभाषित करने और गणना करने के लिए चुने गए अनिश्चित को एक सबस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया गया है: $\operatorname {res} _{x}(A,B)$ या $\operatorname {Res} _{x}(A,B).$ परिणामी की परिभाषा में बहुपदों की डिग्री का उपयोग किया जाता है। हालांकि, डिग्री का एक बहुपद d उच्च डिग्री के बहुपद के रूप में भी माना जा सकता है जहां प्रमुख गुणांक शून्य हैं। यदि परिणामी के लिए ऐसी उच्च डिग्री का उपयोग किया जाता है, तो इसे आमतौर पर सबस्क्रिप्ट या सुपरस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है, जैसे $\operatorname {res} _{d,e}(A,B)$ या $\operatorname {res} _{x}^{d,e}(A,B).$

परिभाषा

एक क्षेत्र (गणित) या क्रमविनिमेय वलय पर दो अविभाजित बहुपदों के परिणाम को आमतौर पर उनके सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के निर्धारक के रूप में परिभाषित किया जाता है। अधिक सटीक, चलो

$A=a_{0}x^{d}+a_{1}x^{d-1}+\cdots +a_{d}$

और

$B=b_{0}x^{e}+b_{1}x^{e-1}+\cdots +b_{e}$

डिग्री के शून्येतर बहुपद हों d और e क्रमश। आइए हम द्वारा निरूपित करें ${\mathcal {P}}_{i}$ आयाम का सदिश स्थान (या मुक्त मॉड्यूल यदि गुणांक एक क्रमविनिमेय वलय से संबंधित हैं)। i जिनके तत्व डिग्री के बहुपद हैं सख्ती से कम i. वो नक्शा

$\varphi :{\mathcal {P}}_{e}\times {\mathcal {P}}_{d}\rightarrow {\mathcal {P}}_{d+e}$ ऐसा है कि

$\varphi (P,Q)=AP+BQ$

एक ही आयाम के दो स्थानों के बीच एक रेखीय नक्शा है। की शक्तियों के आधार पर x (अवरोही क्रम में सूचीबद्ध), यह नक्शा आयाम के वर्ग मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया गया है d + eका सिल्वेस्टर मैट्रिक्स कहा जाता है A और B (कई लेखकों के लिए और सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के लेख में, सिल्वेस्टर मैट्रिक्स को इस मैट्रिक्स के स्थानान्तरण के रूप में परिभाषित किया गया है; इस सम्मेलन का उपयोग यहां नहीं किया गया है, क्योंकि यह एक रेखीय मानचित्र के मैट्रिक्स को लिखने के लिए सामान्य सम्मेलन को तोड़ता है)।

का परिणाम है A और B इस प्रकार निर्धारक है

$|\begin{array}{cccccccc}{a}_0& 0& \cdots <!--\; \cdots \; -->& 0& b_0& 0& \cdots <!--\; \cdots \; -->& 0\\ a_1& a_0& \cdots <!--\; \cdots \; -->& 0& b_1& b_0& \cdots <!--\; \cdots \; -->& 0\\ a_2& a_1& \ddots <!--\; \ddots \; -->& 0& b_2& b_1& \ddots <!--\; \ddots \; -->& 0\\ ⋮<!--\; ⋮\; -->& ⋮<!--\; ⋮\; -->& \ddots <!--\; \ddots \; -->& a_0& ⋮<!--\; ⋮\; -->& ⋮<!--\; ⋮\; -->& \ddots <!--\; \ddots \; -->& b_0\\ a_d& a_{d-<!--\; -\; -->1}& \cdots <!--\; \cdots \; -->& ⋮<!--\; ⋮\; -->& b_e& b_{e-<!--\; -\; -->1}& \cdots <!--\; \cdots \; -->& ⋮<!--\; ⋮\; -->\\ 0& a_d& \ddots <!--\; \ddots \; -->& ⋮<!--\; ⋮\; -->& 0& b_e& \ddots <!--\; \ddots \; -->& ⋮<!--\; ⋮\; -->\\ ⋮<!--\; ⋮\; -->& ⋮<!--\; ⋮\; -->& \ddots <!--\; \ddots \; -->& a_{d-<!--\; -\; -->1}& ⋮<!--\; ⋮\; -->& ⋮<!--\; ⋮\; -->& \ddots <!--\; \ddots \; -->& b_{e-<!--\; -\; -->1}\\ 0& 0& \cdots <!--\; \cdots \; -->& a_d& 0& 0& \cdots <!--\; \cdots \; -->& b_{}\end{array}$