ऊष्मा स्थानांतरण का सामान्य समीकरण

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द्रव गतिशीलता में, ऊष्मा स्थानांतरण का सामान्य समीकरण एक गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरण है जो तापीय चालन और श्यानता के अधीन न्यूटोनियन द्रव पदार्थ में विशिष्ट मात्रा एन्ट्रॉपी उत्पादन का वर्णन करता है:[1][2]

जहाँ विशिष्ट एन्ट्रापी है,जिसमे द्रव का घनत्व है, जिसमे द्रव का तापमान है, जिमसे पदार्थ व्युत्पन्न है और जो तापीय चालकता है, जहाँ गतिशील श्यानता है, दूसरा लैमे पैरामीटर है|, प्रवाह वेग है, क्या की का उपयोग ग्रेडियेंट और विचलन को चिह्नित करने के लिए किया जाता है, और यह क्रोनकर डेल्टा है।

यदि प्रवाह वेग नगण्य है, तो ऊष्मा स्थानांतरण का सामान्य समीकरण मानक ऊष्मा समीकरण में कम हो जाता है। इसे घूमने वाले संदर्भ फ्रेम, स्तरीकृत प्रवाह तक भी बढ़ाया जा सकता है, जैसे कि भूभौतिकीय द्रव गतिशीलता में सामना करना पड़ता है।[3]


व्युत्पत्ति

आदर्श द्रव ऊर्जा समीकरण का विस्तार

एक श्यान, न्यूटोनियन तरल पदार्थ के लिए, द्रव्यमान संरक्षण और संवेग संरक्षण के लिए शासी समीकरण निरंतरता समीकरण या द्रव गतिकी और नेवियर-स्टोक्स समीकरण हैं | नेवियर-स्टोक्स समीकरण:

जहां दबाव है और श्यान तनाव टेंसर है, जिसमे श्यान तनाव टेंसर के घटक इस प्रकार दिए गए हैं:
द्रव के एक इकाई आयतन की ऊर्जा गतिज ऊर्जा और आंतरिक ऊर्जा का योग है, जहाँ विशिष्ट आंतरिक ऊर्जा है। एक आदर्श तरल पदार्थ में, जैसा कि यूलर समीकरणों द्वारा वर्णित है, जो कि ऊर्जा का संरक्षण समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:
जहाँ विशिष्ट एन्थैल्पी है। चूँकि, तापीय चालन के अधीन एक श्यान तरल पदार्थ में ऊर्जा के संरक्षण के लिए, संवहन के कारण ऊर्जा प्रवाह को फूरियर के नियम गए ताप प्रवाह और आंतरिक घर्षण के कारण प्रवाह द्वारा पूरक होना चाहिए। तब ऊर्जा संरक्षण के लिए सामान्य समीकरण है:


एन्ट्रापी उत्पादन के लिए समीकरण

ध्यान दें कि आंतरिक ऊर्जा और एन्थैल्पी के लिए ऊष्मागतिकीय संबंध इस प्रकार दिए गए हैं:

हम नेवियर-स्टोक्स समीकरण के डॉट उत्पाद को प्रवाह वेग के साथ प्राप्त करके गतिज ऊर्जा के लिए एक समीकरण भी प्राप्त कर सकते हैं:
दाहिनी ओर के दूसरे शब्द को पढ़ने के लिए विस्तारित किया जा सकता है:
एन्थैल्पी और अंतिम परिणाम के लिए ऊष्मागतिकीय संबंध की सहायता से, हम गतिज ऊर्जा समीकरण को इस रूप में रख सकते हैं:
अब कुल ऊर्जा के समय व्युत्पन्न का विस्तार करते हुए, हमारे पास है:
फिर इनमें से प्रत्येक शब्द का विस्तार करने पर हम पाते हैं कि:
और नियम एकत्रित करने के पश्चात, हमारे पास यही रह जाता है:
अब प्रत्येक पक्ष में तापीय संचालन के कारण ऊष्मा प्रवाह के विचलन को जोड़ने पर, हमें यह मिलता है:
चूँकि , हम जानते हैं कि बाईं ओर ऊर्जा का संरक्षण शून्य के समान है, हमारे पास यह है:
श्यान तनाव टेंसर और वेग प्रवणता के उत्पाद को इस प्रकार विस्तारित किया जा सकता है:

इस प्रकार विशिष्ट एन्ट्रापी उत्पादन के लिए समीकरण के अंतिम रूप की ओर अग्रसर है:


ऐसे स्थिति में जहां थर्मल चालन और चिपचिपा बल अनुपस्थित हैं, एन्ट्रापी उत्पादन के लिए समीकरण तक संक्षिप्त करता है - यह दर्शाता है कि आदर्श द्रव प्रवाह आइसोट्रोपिक है।

आवेदन

यह समीकरण एल.डी. के छठे खंड में "तरल पदार्थों में तापीय चालन" पर अध्याय के उद्घाटन पर धारा 49 में लिया गया है। लैंडौ और ई.एम. लाइफशिट्ज़ का सैद्धांतिक भौतिकी का पाठ्यक्रम है।[1] इसका उपयोग घरेलू रेफ्रिजरेटर में ऊष्मा स्थानांतरण और वायु प्रवाह को मापने के लिए किया जा सकता है,[4] जो कि पुनर्योजी का हार्मोनिक विश्लेषण करने के लिए,[5] या ग्लेशियरों की भौतिकी को समझने के लिए इसका उपयोग किया जाता है।[6]

यह भी देखें

संदर्भ

  1. 1.0 1.1 Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. (1987). द्रव यांत्रिकी (PDF). Course of Theoretical Physics (in English). Vol. 6 (2nd ed.). Butterworth-Heinemann. pp. 192–194. ISBN 978-0-7506-2767-2. OCLC 936858705.
  2. Kundu, P.K.; Cohen, I.M.; Dowling, D.R. (2012). द्रव यांत्रिकी (5th ed.). Academic Press. pp. 123–125. ISBN 978-0-12-382100-3.
  3. Pedlosky, J. (2003). Waves in the Ocean and Atmosphere: Introduction to Wave Dynamics. Springer. p. 19. ISBN 978-3540003403.
  4. Laguerre, Onrawee (2010-05-21), Farid, Mohammed M. (ed.), "Heat Transfer and Air Flow in a Domestic Refrigerator", Mathematical Modeling of Food Processing (in English) (1 ed.), CRC Press, pp. 453–482, doi:10.1201/9781420053548-20, ISBN 978-0-429-14217-8, retrieved 2023-05-07
  5. Swift, G. W.; Wardt, W. C. (October–December 1996). "पुनर्योजीकों का सरल हार्मोनिक विश्लेषण". Journal of Thermophysics and Heat Transfer. 10 (4): 652–662. doi:10.2514/3.842.
  6. Cuffey, K. M. (2010). ग्लेशियरों की भौतिकी. W. S. B. Paterson (4th ed.). Burlington, MA. ISBN 978-0-12-369461-4. OCLC 488732494.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)


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