बैकस्टेपिंग

नियंत्रण सिद्धांत में, बैकस्टेपिंग ऐसी तकनीक है, जिसे लगभग 1990 में पेटार वी. कोकोटोविक और अन्य सहयोगियों द्वारा विकसित किया गया है।^[1]^[2] अरेखीय प्रणाली गतिशील प्रणाली के विशेष वर्ग के लिए ल्यपुनोव स्थिरता नियंत्रण को डिजाइन करने के लिए बनाया गया हैं। ये प्रणालियाँ उन उपप्रणालियों से निर्मित होती हैं, जो अपरिवर्तनीय उपप्रणाली से निकलती हैं, जिन्हें किसी अन्य विधि का उपयोग करके स्थिर किया जा सकता है। इस प्रत्यावर्तन संरचना के कारण, डिज़ाइनर ज्ञात-स्थिर प्रणालियों पर डिज़ाइन प्रक्रिया प्रारंभ कर सकता है, और इसके लिए नए नियंत्रकों को वापस ले सकता है, जो प्रत्येक बाहरी उपप्रणाली को उत्तरोत्तर स्थिर करते हैं। अंतिम बाह्य नियंत्रण पर पहुँचने पर प्रक्रिया समाप्त हो जाती है। इसलिए इस प्रक्रिया को बैकस्टेपिंग के रूप में जाना जाता है।^[3]

बैकस्टेपिंग दृष्टिकोण

बैकस्टेपिंग दृष्टिकोण मुख्य रूप से सख्त प्रतिक्रिया रूप में प्रणाली की उत्पत्ति (गणित) की ल्यपुनोव स्थिरता के लिए रिकर्सन विधि प्रदान करता है। प्रपत्र की गतिशील प्रणाली पर विचार करें^[3]

\begin{aligned} {\begin{cases} \dot{x} & = f_{x} (x) + g_{x} (x) z_{1} \\ {\dot{z}}_{1} & = f_{1} (x, z_{1}) + g_{1} (x, z_{1}) z_{2} \\ {\dot{z}}_{2} & = f_{2} (x, z_{1}, z_{2}) + g_{2} (x, z_{1}, z_{2}) z_{3} \\ ⋮ \\ {\dot{z}}_{i} & = f_{i} (x, z_{1}, z_{2}, \dots, z_{i - 1}, z_{i}) + g_{i} (x, z_{1}, z_{2}, \dots, z_{i - 1}, z_{i}) z_{i + 1} for 1 \leq i < k - 1 \\ ⋮ \\ {\dot{z}}_{k - 1} & = f_{k - 1} (x, z_{1}, z_{2}, \dots, z_{k - 1}) + g_{k - 1} (x, z_{1}, z_{2}, \dots, z_{k - 1}) z_{k} \\ {\dot{z}}_{k} & = f_{k} ( \end{cases} \end{aligned}

जहाँ

$\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ साथ $n\geq 1$ ,
$z_{1},z_{2},\ldots ,z_{i},\ldots ,z_{k-1},z_{k}$ अदिश (गणित) हैं,
$u$ सिस्टम के लिए अदिश (गणित) इनपुट है,
$f_{x},f_{1},f_{2},\ldots ,f_{i},\ldots ,f_{k-1},f_{k}$ मूल में विलुप्त (अर्थात, $f_{i}(0,0,\dots ,0)=0$ ),
$g 1 comma g 2 comma ellipsis comma g Subscript i Baseline comma ellipsis comma g Subscript k minus 1 Baseline comma g Subscript k Baseline$

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