नियम 90
सेलुलर automaton के गणित के अध्ययन में, नियम 90 अनन्य या फ़ंक्शन के आधार पर एक प्राथमिक सेलुलर automaton है। इसमें कोशिकाओं की एक-आयामी सरणी होती है, जिनमें से प्रत्येक में 0 या 1 मान हो सकता है। प्रत्येक समय चरण में सभी मूल्यों को एक साथ अनन्य या उनके दो पड़ोसी मूल्यों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।[1] Martin, Odlyzko & Wolfram (1984) इसे सरलतम गैर-तुच्छ सेलुलर ऑटोमेटन कहते हैं,[2] और स्टीफन वोल्फ्राम की 2002 की किताब एक नए तरह का विज्ञान में इसका विस्तार से वर्णन किया गया है।[3]
जब एक जीवित कोशिका से शुरू किया गया, तो नियम 90 में सिएरपिन्स्की त्रिकोण के रूप में एक समय-स्थान आरेख है। किसी भी अन्य कॉन्फ़िगरेशन के व्यवहार को इस पैटर्न की प्रतियों के सुपरपोजिशन के रूप में समझाया जा सकता है, जो अनन्य या फ़ंक्शन का उपयोग करके संयुक्त है। कोई भी कॉन्फ़िगरेशन केवल सूक्ष्म रूप से कई गैर-शून्य कोशिकाओं के साथ एक रेप्लिकेटर (सेलुलर ऑटोमेटन) बन जाता है जो अंततः सरणी को स्वयं की प्रतियों से भर देता है। जब नियम 90 को एक यादृच्छिक प्रारंभिक विन्यास से शुरू किया जाता है, तो इसका विन्यास हर बार कदम पर यादृच्छिक रहता है। इसका टाइम-स्पेस आरेख विभिन्न आकारों की कई त्रिकोणीय खिड़कियां बनाता है, पैटर्न जो तब बनते हैं जब कोशिकाओं की एक लगातार पंक्ति एक साथ शून्य हो जाती है और फिर मान 1 वाले सेल धीरे-धीरे दोनों सिरों से इस पंक्ति में चले जाते हैं।
नियम 90 के शुरुआती अध्ययनों में से कुछ संख्या सिद्धांत में एक अनसुलझी समस्या के संबंध में किए गए थे, गिलब्रेथ का अनुमान, क्रमिक अभाज्य संख्याओं के अंतर पर। यह नियम गॉल्ड के अनुक्रम के माध्यम से संख्या सिद्धांत से एक अलग तरीके से भी जुड़ा हुआ है। यह क्रम एकल लाइव सेल के साथ नियम 90 शुरू करने के बाद प्रत्येक समय चरण में गैर-शून्य कोशिकाओं की संख्या की गणना करता है। चरण संख्या के द्विआधारी प्रतिनिधित्व में गैर-शून्य अंकों की संख्या के बराबर एक्सपोनेंट के साथ इसका मान दो की शक्ति है। नियम 90 के अन्य अनुप्रयोगों में टेपेस्ट्री का डिज़ाइन शामिल है।
नियम 90 के प्रत्येक विन्यास में ठीक चार पूर्ववर्ती हैं, अन्य विन्यास जो एक चरण के बाद दिए गए विन्यास का निर्माण करते हैं। इसलिए, कॉनवे के गेम ऑफ लाइफ जैसे कई अन्य सेलुलर ऑटोमेटा के विपरीत, नियम 90 में कोई गार्डन ऑफ ईडन (सेलुलर ऑटोमेटन) नहीं है, एक कॉन्फ़िगरेशन जिसमें कोई पूर्ववर्ती नहीं है। यह एक सेलुलर automaton का उदाहरण प्रदान करता है जो विशेषण है (प्रत्येक कॉन्फ़िगरेशन में पूर्ववर्ती है) लेकिन इंजेक्शन नहीं है (इसमें एक ही उत्तराधिकारी के साथ एक से अधिक कॉन्फ़िगरेशन के सेट हैं)। यह ईडन प्रमेय के गार्डन से अनुसरण करता है कि नियम 90 स्थानीय रूप से इंजेक्शन है (एक ही उत्तराधिकारी के साथ सभी कॉन्फ़िगरेशन अनंत संख्या में कोशिकाओं में भिन्न होते हैं)।
विवरण
नियम
नियम 90 एक प्राथमिक कोशिकीय automaton है। इसका मतलब यह है कि इसमें कोशिकाओं की एक-आयामी सरणी होती है, जिनमें से प्रत्येक में एक एकल बाइनरी मान होता है, या तो 0 या 1. सभी कोशिकाओं को मानों का असाइनमेंट एक कॉन्फ़िगरेशन कहलाता है। Automaton को प्रारंभिक कॉन्फ़िगरेशन दिया जाता है, और फिर अलग-अलग समय चरणों के अनुक्रम में अन्य कॉन्फ़िगरेशन के माध्यम से प्रगति करता है। प्रत्येक चरण पर, सभी सेल एक साथ अपडेट किए जाते हैं। एक पूर्व-निर्दिष्ट नियम प्रत्येक सेल के नए मान को उसके पिछले मूल्य और उसके दो पड़ोसी कोशिकाओं के मूल्यों के एक समारोह के रूप में निर्धारित करता है। सभी कक्ष एक ही नियम का पालन करते हैं, जो या तो एक सूत्र के रूप में या एक नियम तालिका के रूप में दिया जा सकता है जो पड़ोसी मानों के प्रत्येक संभावित संयोजन के लिए नया मान निर्दिष्ट करता है।[1]
नियम 90 के मामले में, प्रत्येक सेल का नया मान अनन्य या दो पड़ोसी मूल्यों का है। समतुल्य रूप से, इस विशेष automaton की अगली स्थिति निम्न नियम तालिका द्वारा नियंत्रित होती है:[1]
| current pattern | 111 | 110 | 101 | 100 | 011 | 010 | 001 | 000 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| new state for center cell | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
नामकरण
नियम 90 का नाम स्टीफन वोल्फ्राम के वोल्फ्राम कोड से आता है। एक-आयामी सेलुलर ऑटोमेटन नियमों के लिए बाइनरी-दशमलव संकेतन। नियम के लिए अंकन की गणना करने के लिए, नियम तालिका में नए राज्यों को एकल बाइनरी संख्या में जोड़ें, और संख्या को दशमलव में बदलें: 010110102 = 9010.[1]नियम 90 को Sierpinski automaton भी कहा जाता है, इसकी विशेषता Sierpinski त्रिभुज आकार के कारण उत्पन्न होती है,[4]और मार्टिन-ओडलीज़को-वोल्फ्राम सेलुलर ऑटोमेटन के शुरुआती शोध के बाद Olivier Martin, Andrew M. Odlyzko, and Stephen Wolfram (1984) इस automaton पर।[5]
गुण
Additivity, सुपरपोजिशन, और अपघटन
नियम 90 में एक विन्यास को कोशिकाओं के दो सबसेट में विभाजित किया जा सकता है जो एक दूसरे के साथ बातचीत नहीं करते हैं। इन दो उपसमुच्चयों में से एक में सम समय चरणों में सम स्थिति वाले कक्ष और विषम समय चरणों में विषम स्थिति वाले कक्ष शामिल हैं। दूसरे उपसमुच्चय में विषम समय चरणों में सम स्थिति में कक्ष और सम समय चरणों में विषम स्थिति में कक्ष शामिल हैं। इन दो उपसमुच्चयों में से प्रत्येक को एक कोशिकीय ऑटोमेटन के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें केवल इसकी आधी कोशिकाएँ होती हैं।[6] इनमें से प्रत्येक उपसमुच्चय के भीतर ऑटोमेटन के लिए नियम एक अन्य प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटन, नियम 102 के समतुल्य है (प्रति समय चरण में आधे सेल की शिफ्ट को छोड़कर), जिसमें प्रत्येक सेल की नई स्थिति अनन्य या उसके पुराने राज्य की है और उसका सही पड़ोसी। अर्थात्, नियम 90 का व्यवहार अनिवार्य रूप से नियम 102 की दो परस्पर जुड़ी प्रतियों के व्यवहार के समान है।[7] नियम 90 और नियम 102 को योज्य सेलुलर ऑटोमेटा कहा जाता है। इसका मतलब यह है कि, यदि दो प्रारंभिक अवस्थाओं को अलग-अलग या उनके प्रत्येक राज्यों की गणना करके जोड़ा जाता है, तो उनके बाद के विन्यासों को उसी तरह जोड़ा जाएगा। अधिक आम तौर पर, नियम 90 के किसी भी कॉन्फ़िगरेशन को दो उपसमुच्चय में असंबद्ध गैर-शून्य कोशिकाओं के साथ विभाजित कर सकते हैं, दो उपसमुच्चय को अलग-अलग विकसित कर सकते हैं, और मूल ऑटोमेटन के प्रत्येक क्रमिक विन्यास को अनन्य या दो उपसमुच्चय के एक ही समय चरणों पर विन्यास के रूप में गणना कर सकते हैं। .[2]
अवरुद्ध पेड़ और त्रिकोणीय समाशोधन
1970 के दशक की शुरुआत में रूल 90 ऑटोमेटन (वैकल्पिक कोशिकाओं के दो स्वतंत्र उपसमुच्चयों में से एक पर इसके समकक्ष रूप में) की जांच की गई, ताकि लगातार अभाज्य संख्याओं के अंतर पर गिलब्रेथ के अनुमान में अतिरिक्त जानकारी हासिल की जा सके। आगे अंतर ऑपरेटर को बार-बार लागू करने से अभाज्य संख्याओं के त्रिकोण में, ऐसा प्रतीत होता है कि अधिकांश मान या तो 0 या 2 हैं। विशेष रूप से, गिलब्रेथ के अनुमान का दावा है कि इस त्रिकोण की प्रत्येक पंक्ति में सबसे बाईं ओर के मान सभी 0 या 2 हैं। जब त्रिभुज की एक पंक्ति में मानों का सन्निहित अनुक्रम सभी 0 या 2 हो, तो नियम 90 का उपयोग अगली पंक्ति में संबंधित अनुक्रम को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। Miller (1970) एक जंगल में पेड़ की वृद्धि के एक रूपक द्वारा नियम की व्याख्या की, इस विषय पर अपने पेपर का हकदार पेड़ों के समय-समय पर जंगल। इस रूपक में, प्रारंभिक विन्यास के प्रत्येक स्थान पर एक पेड़ बढ़ने लगता है जिसका मान 1 है, और पेड़ों का यह जंगल तब एक साथ बढ़ता है, प्रत्येक समय कदम पर जमीन के ऊपर एक नई ऊंचाई तक। प्रत्येक समय कदम पर प्रत्येक अशून्य कक्ष एक ऐसी स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है जो एक बढ़ती पेड़ की शाखा द्वारा कब्जा कर लिया जाता है। प्रत्येक क्रमिक समय कदम पर, एक शाखा उसके ऊपर दो कोशिकाओं में से एक में उसके बाएँ और दाएँ विकसित हो सकती है, जब कोई अन्य शाखा उसी कोशिका के लिए प्रतिस्पर्धा नहीं कर रही हो। इन नियमों के अनुसार उगने वाले वृक्षों के जंगल में नियम 90 के समान ही व्यवहार होता है।[8]
नियम 90 के किसी भी प्रारंभिक विन्यास से, एक पेड़ (ग्राफ सिद्धांत) बना सकता है, एक निर्देशित अचक्रीय ग्राफ जिसमें प्रत्येक वर्टेक्स (ग्राफ सिद्धांत) में अधिकतम एक आउटगोइंग एज होता है, जिसके पेड़ मिलर के रूपक में पेड़ों के समान होते हैं। जंगल में प्रत्येक जोड़ी के लिए एक शीर्ष है (x,i) ऐसा वह सेल x समय पर अशून्य है i. समय 0 पर शीर्षों में कोई आउटगोइंग एज नहीं है; हर एक जंगल में एक पेड़ की जड़ बनाता है। प्रत्येक शीर्ष के लिए (x,i) साथ i अशून्य, इसका निवर्तमान किनारा जाता है (x ± 1, i − 1), का अद्वितीय अशून्य पड़ोसी x समय चरण में i − 1. मिलर ने देखा कि ये जंगल त्रिकोणीय समाशोधन विकसित करते हैं, समय-स्थान आरेख के क्षेत्र जिनमें कोई गैर-शून्य कोशिकाएं एक सपाट तल किनारे और विकर्ण पक्षों से बंधी होती हैं। ऐसा समाशोधन तब बनता है जब कोशिकाओं का एक क्रमिक क्रम एक समय के चरण में एक साथ शून्य हो जाता है, और फिर (वृक्ष रूपक में) शाखाएं अंदर की ओर बढ़ती हैं, अंततः अनुक्रम की कोशिकाओं को फिर से ढक लेती हैं।[8]
यादृच्छिक प्रारंभिक स्थितियों के लिए, इस तरह से बने पेड़ों के बीच की सीमाएं स्वयं एक प्रतीत होता है यादृच्छिक पैटर्न में बदल जाती हैं, और पेड़ अक्सर पूरी तरह से मर जाते हैं। लेकिन शिफ्ट का रजिस्टर के सिद्धांत के माध्यम से वह और अन्य प्रारंभिक स्थितियों को खोजने में सक्षम थे जिसमें सभी पेड़ हमेशा के लिए जीवित रहते हैं, विकास का पैटर्न समय-समय पर दोहराता है, और सभी समाशोधन को आकार में बंधे रहने की गारंटी दी जा सकती है।[8][9] टेपेस्ट्री के डिजाइन बनाने के लिए मिलर ने इन दोहराए जाने वाले पैटर्न का इस्तेमाल किया। मिलर के कुछ चित्रपट भौतिक वृक्षों का चित्रण करते हैं; अन्य लोग त्रिकोण के अमूर्त पैटर्न का उपयोग करते हुए नियम 90 ऑटोमेटन की कल्पना करते हैं।[8]
सीरपिंस्की त्रिकोण
नियम 90 का टाइम-स्पेस डायग्राम एक प्लॉट है जिसमें iवीं पंक्ति स्टेप पर ऑटोमेटन के कॉन्फ़िगरेशन को रिकॉर्ड करती है i. जब आरंभिक अवस्था में एक एकल अशून्य कोशिका होती है, तो इस आरेख में सिएरपिन्स्की त्रिकोण का आभास होता है, जो त्रिभुजों को बड़े त्रिभुजों में जोड़कर बनाया गया एक भग्न है। नियम 18, 22, 26, 82, 146, 154, 210 और 218 भी एक सेल से सीरपिंस्की त्रिकोण उत्पन्न करते हैं, हालांकि ये सभी पूरी तरह से समान रूप से नहीं बनाए जाते हैं। इस संरचना की व्याख्या करने का एक तरीका इस तथ्य का उपयोग करता है कि, नियम 90 में, प्रत्येक कोशिका अनन्य या उसके दो पड़ोसियों में से एक है। क्योंकि यह मॉड्यूलर अंकगणित -2 जोड़ के बराबर है, यह पास्कल के त्रिकोण के मोडुलो -2 संस्करण को उत्पन्न करता है। आरेख में 1 है जहाँ पास्कल के त्रिभुज में एक विषम संख्या है, और 0 जहाँ पास्कल के त्रिभुज में एक सम संख्या है। यह सिएरपिन्स्की त्रिकोण का असतत संस्करण है।[1][10]
इस प्रतिमान की प्रत्येक पंक्ति में जीवित कोशिकाओं की संख्या दो की शक्ति है। में iवीं पंक्ति, यह बराबर है 2k, कहाँ k संख्या की बाइनरी संख्या में गैर-शून्य अंकों की संख्या हैi. जीवित कोशिकाओं की इन संख्याओं का क्रम,
- 1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 4 , 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32, ... (sequence A001316 in the OEIS)
गोल्ड के अनुक्रम के रूप में जाना जाता है। आरंभिक विन्यास की एकल सजीव कोशिका एक सॉटूथ (सेलुलर ऑटोमेटन) है। इसका मतलब यह है कि कुछ समय में जीवित कोशिकाओं की संख्या मनमाने ढंग से बड़ी हो जाती है, जबकि अन्य चरणों में वे केवल दो जीवित कोशिकाओं में लौटते हैं, असीम रूप से अक्सर। इस पैटर्न की विकास दर में एक विशेषता बढ़ती हुई चूरा लहर आकार है जिसका उपयोग नियम 90 के समान व्यवहार करने वाली भौतिक प्रक्रियाओं को पहचानने के लिए किया जा सकता है।[4] नियम 90 में किसी भी विन्यास के विकास में सिएरपिन्स्की त्रिकोण भी अधिक सूक्ष्म तरीके से होता है। किसी भी समय कदम i नियम के विकास में, किसी भी सेल की स्थिति की गणना प्रारंभिक कॉन्फ़िगरेशन में कोशिकाओं के अनन्य या सबसेट के रूप में की जा सकती है। उस उपसमुच्चय का आकार वैसा ही होता है जैसा कि होता है iसीरपिन्स्की त्रिभुज की चौथी पंक्ति।[11]
प्रतिकृति
सीरपिन्स्की त्रिकोण में, किसी भी पूर्णांक के लिए i, के गुणकों द्वारा क्रमांकित पंक्तियाँ 2i में कम से कम अशून्य कक्ष हैं 2i इकाइयां अलग। इसलिए, नियम 90 की योज्य संपत्ति के कारण, यदि प्रारंभिक विन्यास में एक परिमित पैटर्न होता है P से कम चौड़ाई वाली अशून्य कोशिकाओं की 2i, फिर उन चरणों में जो गुणक हैं 2i, कॉन्फ़िगरेशन में इसकी प्रतियां शामिल होंगी P कम से कम दूरी 2i इकाइयां शुरू से शुरू करने के लिए। यह रिक्ति प्रतियों को एक दूसरे के साथ हस्तक्षेप करने से रोकने के लिए पर्याप्त चौड़ी है। प्रतियों की संख्या सिएरपिन्स्की त्रिभुज की संबंधित पंक्ति में शून्येतर कोशिकाओं की संख्या के समान है। इस प्रकार, इस नियम में, प्रत्येक पैटर्न एक रेप्लिकेटर (सेलुलर ऑटोमेटन) है: यह स्वयं की कई प्रतियाँ उत्पन्न करता है जो कॉन्फ़िगरेशन में फैल जाती हैं, अंततः पूरे सरणी को भर देती हैं। वॉन न्यूमैन यूनिवर्सल कंस्ट्रक्टर, कॉड के सेलुलर ऑटोमेटन और लैंगटन के लूप सहित अन्य नियमों में भी प्रतिकृतियां हैं जो स्वयं के निर्माण के लिए निर्देशों के अनुक्रम को लेकर और कॉपी करके काम करती हैं। इसके विपरीत, नियम 90 में प्रतिकृति तुच्छ और स्वचालित है।[12]
ईडन के पूर्वज और उद्यान
नियम 90 में, अनंत एक आयामी जाली पर, प्रत्येक विन्यास में ठीक चार पूर्ववर्ती विन्यास होते हैं। ऐसा इसलिए है, क्योंकि पूर्ववर्ती में, किसी भी दो लगातार कोशिकाओं में राज्यों का कोई संयोजन हो सकता है, लेकिन एक बार उन दो कोशिकाओं के राज्यों को चुना जाता है, तो शेष कोशिकाओं के राज्यों के लिए केवल एक सुसंगत विकल्प होता है। इसलिए, नियम 90 में कोई गार्डन ऑफ ईडन (सेलुलर ऑटोमेटन) नहीं है, एक कॉन्फ़िगरेशन जिसमें कोई पूर्ववर्ती नहीं है। नियम 90 के विन्यास में एक एकल अशून्य कक्ष (अन्य सभी कक्ष शून्य के साथ) शामिल है, जिसका कोई पूर्ववर्ती नहीं है जिसमें बहुत से अशून्य हैं। हालाँकि, यह कॉन्फ़िगरेशन ईडन गार्डन नहीं है क्योंकि इसमें असीमित संख्या में गैर शून्य वाले पूर्ववर्ती हैं।[13]
तथ्य यह है कि प्रत्येक कॉन्फ़िगरेशन में एक पूर्ववर्ती है, यह कहकर संक्षेप किया जा सकता है कि नियम 90 विशेषण कार्य है। फ़ंक्शन जो प्रत्येक कॉन्फ़िगरेशन को उसके उत्तराधिकारी के लिए मैप करता है, गणितीय रूप से एक विशेषण फ़ंक्शन है। नियम 90 भी अंतःक्षेपी फलन नहीं है। एक इंजेक्शन नियम में, प्रत्येक दो अलग-अलग कॉन्फ़िगरेशन में अलग-अलग उत्तराधिकारी होते हैं, लेकिन नियम 90 में एक ही उत्तराधिकारी के साथ कॉन्फ़िगरेशन के जोड़े होते हैं। नियम 90 एक सेलुलर automaton का एक उदाहरण प्रदान करता है जो विशेषण है लेकिन इंजेक्शन नहीं है। मूर और माइहिल के ईडन गार्डन (सेलुलर ऑटोमेटन) का अर्थ है कि प्रत्येक इंजेक्टिव सेलुलर ऑटोमेटन को विशेषण होना चाहिए, लेकिन यह उदाहरण दिखाता है कि बातचीत सच नहीं है।[13][14] क्योंकि प्रत्येक कॉन्फ़िगरेशन में केवल पूर्ववर्तियों की सीमित संख्या होती है, नियम 90 का विकास किसी भी कॉन्फ़िगरेशन की एन्ट्रापी को संरक्षित करता है। विशेष रूप से, यदि प्रत्येक सेल की स्थिति को स्वतंत्र रूप से यादृच्छिक रूप से चुनकर एक अनंत प्रारंभिक कॉन्फ़िगरेशन का चयन किया जाता है, जिसमें दो राज्यों में से प्रत्येक को समान रूप से चुने जाने की संभावना है, तो प्रत्येक बाद के कॉन्फ़िगरेशन को समान संभावना वितरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है।[2]
अन्य प्रणालियों द्वारा अनुकरण
कई अन्य सेलुलर ऑटोमेटा और अन्य कम्प्यूटेशनल सिस्टम नियम 90 के व्यवहार का अनुकरण करने में सक्षम हैं। उदाहरण के लिए, नियम 90 में कॉन्फ़िगरेशन को विभिन्न प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटन नियम 22 में कॉन्फ़िगरेशन में अनुवादित किया जा सकता है। अनुवाद प्रत्येक नियम 90 सेल को तीन से बदल देता है। लगातार नियम 22 सेल। ये सेल सभी शून्य हैं यदि नियम 90 सेल स्वयं शून्य है। एक गैर-शून्य नियम 90 सेल का अनुवाद एक और उसके बाद दो शून्य में किया जाता है। इस परिवर्तन के साथ, नियम 22 ऑटोमेटन के प्रत्येक छह चरण नियम 90 ऑटोमेटन के एक चरण का अनुकरण करते हैं। कुछ स्ट्रिंग पुनर्लेखन प्रणाली और टैग प्रणाली के लिए प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटा नियम 45 और नियम 126 के लिए नियम 90 के समान प्रत्यक्ष सिमुलेशन भी संभव हैं, और वायरवर्ल्ड सहित कुछ द्वि-आयामी सेलुलर ऑटोमेटा में भी संभव है। नियम 90 भी इसी तरह खुद को अनुकरण कर सकता है। यदि नियम 90 कॉन्फ़िगरेशन के प्रत्येक सेल को लगातार कोशिकाओं की एक जोड़ी से बदल दिया जाता है, पहले में मूल सेल का मान होता है और दूसरे में शून्य होता है, तो इस दोगुनी कॉन्फ़िगरेशन का वही व्यवहार होता है जो मूल कॉन्फ़िगरेशन में आधी गति पर होता है।[15]
कई अन्य सेलुलर ऑटोमेटा को रेप्लिकेटर का समर्थन करने के लिए जाना जाता है, पैटर्न जो स्वयं की प्रतियां बनाते हैं, और नियम 90 के लिए ट्री ग्रोथ मॉडल के समान व्यवहार साझा करते हैं। रेप्लिकेटर पैटर्न के दोनों ओर एक नई प्रति रखी जाती है, जब तक कि वहां जगह खाली है। हालाँकि, यदि दो रेप्लिकेटर दोनों स्वयं को एक ही स्थिति में कॉपी करने का प्रयास करते हैं, तो स्थान रिक्त रहता है। दोनों ही मामलों में रेप्लिकेटर स्वयं गायब हो जाते हैं, जिससे उनकी प्रतियाँ प्रतिकृति जारी रखने के लिए रह जाती हैं। इस व्यवहार का एक मानक उदाहरण द्वि-आयामी हाईलाइफ (सेलुलर ऑटोमेटन) नियम में बाउटी पास्ता पैटर्न है। यह नियम कॉनवे के गेम ऑफ लाइफ की तरह कई तरह से व्यवहार करता है, लेकिन लाइफ में इतना छोटा रेप्लिकेटर मौजूद नहीं है। जब भी एक automaton समान विकास पैटर्न के साथ रेप्लिकेटर का समर्थन करता है, तो रेप्लिकेटर के एक-आयामी सरणियों का उपयोग नियम 90 का अनुकरण करने के लिए किया जा सकता है।[16] नियम 90 (कोशिकाओं की परिमित पंक्तियों पर) को द्वि-आयामी के ब्लॉक ऑसिलेटर (सेलुलर ऑटोमेटन) द्वारा भी अनुकरण किया जा सकता हैLife-like सेलुलर automaton B36/S125, जिसे 2x2 भी कहा जाता है, और नियम 90 के व्यवहार का उपयोग इन दोलकों की संभावित अवधियों को चिह्नित करने के लिए किया जा सकता है।[17]
यह भी देखें
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Wolfram, Stephen (1983), "Statistical mechanics of cellular automata", Reviews of Modern Physics, 55 (3): 601–644, Bibcode:1983RvMP...55..601W, doi:10.1103/RevModPhys.55.601.
- ↑ 2.0 2.1 2.2 Martin, Olivier; Odlyzko, Andrew M.; Wolfram, Stephen (1984), "Algebraic properties of cellular automata", Communications in Mathematical Physics, 93 (2): 219–258, Bibcode:1984CMaPh..93..219M, doi:10.1007/BF01223745, S2CID 6900060.
- ↑ Wolfram, Stephen (2002), A New Kind of Science, Wolfram Media. The book's index lists over 50 distinct subtopics for Rule 90.
- ↑ 4.0 4.1 Claussen, Jens Christian; Nagler, Jan; Schuster, Heinz Georg (2004), "Sierpinski signal generates 1/f α spectra", Physical Review E, 70 (3): 032101, arXiv:cond-mat/0308277, Bibcode:2004PhRvE..70c2101C, doi:10.1103/PhysRevE.70.032101, PMID 15524560, S2CID 39929111.
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- ↑ 8.0 8.1 8.2 8.3 Miller, J. C. P. (1970), "Periodic forests of stunted trees", Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Series A, Mathematical and Physical Sciences, 266 (1172): 63–111, Bibcode:1970RSPTA.266...63M, doi:10.1098/rsta.1970.0003, JSTOR 73779, S2CID 123330469.
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- ↑ 13.0 13.1 Skyum, Sven (1975), "Confusion in the Garden of Eden", Proceedings of the American Mathematical Society, 50 (1): 332–336, doi:10.1090/S0002-9939-1975-0386350-1
- ↑ Sutner, Klaus (1991), "De Bruijn Graphs and Linear Cellular Automata" (PDF), Complex Systems, 5: 19–30. Wolfram (2002), pp. 959–960. Martin, Odlyzko & Wolfram (1984) provide a similar analysis of the predecessors of the same rule for finite sets of cells with periodic boundary conditions.
- ↑ Wolfram (2002), pp. 269–270, 666–667, 701–702, 1117.
- ↑ Griffeath, David (1996), "Recipe for the week of July 1–7: Replicating Skeeters", The Primordial Soup Kitchen.
- ↑ Johnston, Nathaniel (2010), "The B36/S125 "2x2" Life-like cellular automaton", in Adamatzky, Andrew (ed.), Game of Life Cellular Automata, Springer-Verlag, pp. 99–114, arXiv:1203.1644, Bibcode:2010golc.book...99J, doi:10.1007/978-1-84996-217-9_7, S2CID 41344677.
