एन-बॉडी समस्या

This article is about शास्त्रीय यांत्रिकी में समस्या. For क्वांटम यांत्रिकी में समस्या, see अनेक बॉडी की समस्या. For अनेक घटकों से जुड़ी इंजीनियरिंग समस्याएं और सिमुलेशन, see मल्टीबॉडी प्रणाली. For और, see मल्टीबॉडी सिमुलेशन.

भौतिकी में, n-बॉडी समस्या एक दूसरे के साथ गुरुत्वाकर्षण से संपर्क करने वाले खगोलीय पिंडों के समूह की व्यक्तिगत गति की भविष्यवाणी करने की समस्या है। इस समस्या का समाधान सूर्य, चंद्रमा, ग्रहो और दृश्यमान तारों की गति को समझने की इच्छा से प्रेरित किया गया है। इस प्रकार से 20वीं सदी में वृत्ताकार क्लस्टर तारा प्रणालियों की गतिशीलता को समझना महत्वपूर्ण n-बॉडी समस्या बन गई है। अतः समय और स्थान विकृतियों जैसे अतिरिक्त कारकों के कारण सामान्य सापेक्षता में n}-बॉडी की समस्या को हल करना अधिक कठिन है।

इस प्रकार से मौलिक शारीरिक समस्या को अनौपचारिक रूप से निम्नलिखित रूप में बताया जा सकता है:

अर्ध-स्थिर कक्षीय गुणों (तात्कालिक स्थिति, वेग और समय) को देखते हुए आकाशीय पिंडों के एक समूह की, उनकी अंतःक्रियात्मक शक्तियों की भविष्यवाणी करना; और परिणामस्वरूप, भविष्य के सभी समयों के लिए उनकी वास्तविक कक्षीय गतियों की भविष्यवाणी करें.

दो-बॉडी की समस्या पूर्ण रूप से हल हो गई है। और इस पर विचार किया गया है, साथ ही प्रसिद्ध प्रतिबंधित त्रि-बॉडी की समस्या भी है।

इतिहास

किसी ग्रह की कक्षा की तीन कक्षीय स्थितियों को जानना -सर आइजैक न्यूटन द्वारा खगोलशास्त्री जॉन फ्लेमस्टीड से प्राप्त स्थिति - न्यूटन किसी ग्रह की गति की भविष्यवाणी करने के लिए सीधी विश्लेषणात्मक ज्यामिति द्वारा एक समीकरण तैयार करने में सक्षम था; अर्थात, इसके कक्षीय गुण बताने के लिए: स्थिति, कक्षीय व्यास, अवधि और कक्षीय वेग ऐसा करने के पश्चात, उन्होंने और अन्य लोगों ने शीघ्र ही कुछ वर्षों के समय पाया कि गति के उन समीकरणों ने कुछ कक्षाओं की सही या अधिक उचित रूप से भविष्यवाणी नहीं की थी। और न्यूटन को एहसास हुआ कि ऐसा इसलिए था क्योंकि सभी ग्रहों के मध्य गुरुत्वाकर्षण परस्पर क्रिया बल उनकी सभी कक्षाओं को प्रभावित कर रहे थे।

उपरोक्त रहस्योद्घाटन सीधे रूप से n-बॉडी प्रकाशन के भौतिक रूप से मूल पर आक्रमण करता है: जैसा कि न्यूटन ने समझा, कि किसी ग्रह की वास्तविक कक्षा स्थापित करने के लिए केवल प्रारंभिक स्थान और वेग, या यहां तक कि तीन कक्षीय स्थिति प्रदान करना पर्याप्त नहीं है; और किसी को गुरुत्वाकर्षण संपर्क बलों के बारे में भी जागरूक होना चाहिए। इस प्रकार 17वीं शताब्दी की प्रारंभ में n-बॉडी "समस्या" के बारे में जागरूकता और वृद्धि हुई है। ये गुरुत्वाकर्षण आकर्षक बल न्यूटन के गति के नियमों और उनके सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुरूप हैं, किन्तु अनेक एकाधिक (n-बॉडी) इंटरैक्शन ने ऐतिहासिक रूप से किसी भी स्पष्ट समाधान को कठिन बना सकता है। अतः विडंबना यह है कि इस अनुरूपता ने असत्य दृष्टिकोण को उत्पन्न किया है।

न्यूटन के समय के पश्चात n-बॉडी की समस्या को ऐतिहासिक और उचित रूप से नहीं दर्शाया गया है। क्योंकि इसमें उन गुरुत्वाकर्षण अंतःक्रियात्मक बलों का संदर्भ सम्मिलित नहीं था। किन्तु न्यूटन इसे सीधे रूप से नहीं कहते हैं। किन्तु अपने प्रिंसिपिया में इसका तात्पर्य है कि उन गुरुत्वाकर्षण अंतःक्रियात्मक बलों के कारण n-बॉडी समस्या हल नहीं हो सकती है। न्यूटन ने अपने प्रिंसिपिया में, पैराग्राफ 21: में कहा है।

और इसलिए यह है कि आकर्षण बल दोनों बॉडी में पाया जाता है। सूर्य बृहस्पति और अन्य ग्रहों को आकर्षित करता है, बृहस्पति अपने उपग्रहों को आकर्षित करता है और इसी प्रकार उपग्रह एक दूसरे पर कार्य करते हैं। और यद्यपि एक दूसरे पर ग्रहों की जोड़ी में से प्रत्येक की गतिविधियों को एक दूसरे से अलग किया जा सकता है और उन्हें दो गतिविधियों के रूप में माना जा सकता है जिसके द्वारा प्रत्येक दूसरे को आकर्षित करता है, फिर भी चूंकि वे एक ही, दो निकायों के मध्य हैं, किन्तु दो टर्मिनी के मध्य एक सरल ऑपरेशन वे दो नहीं हैं। दो पिंडों को उनके मध्य रस्सी के संकुचन द्वारा एक दूसरे की ओर खींचा जा सकता है। कार्य का कारण दो प्रकार का होता है, अर्थात दोनों बॉडी में से प्रत्येक का स्वभाव; क्रिया वैसे ही दुगनी होती है, जहाँ तक यह दो बॉडी पर होती है; किन्तु जहां तक यह दो बॉडी के मध्य है, यह एकल और एक है...

न्यूटन ने अपने न्यूटन के तृतीय नियम के माध्यम से यह निष्कर्ष निकाला कि इस नियम के अनुसार सभी पिंडों को एक-दूसरे को आकर्षित करना चाहिए। यह अंतिम कथन, जो गुरुत्वाकर्षण अंतःक्रियात्मक बलों के अस्तित्व को महत्वपूर्ण रूप से दर्शाता है।

जैसा कि नीचे दिखाया गया है, समस्या जीन ले रोंड डी'एलेम्बर्ट के गैर-न्यूटोनियन प्रथम और द्वतीय सिद्धांतों और गैर-रेखीय n-बॉडी समस्या एल्गोरिदम के अनुरूप है , जो इसके पश्चात में उन अंतःक्रियात्मक बलों की गणना के लिए संवर्त रूप समाधान की अनुमति देता है।

n-बॉडी की समस्या का सामान्य समाधान खोजने की समस्या को अधिक महत्वपूर्ण और चुनौतीपूर्ण माना जाता था। वास्तव में, 19वीं सदी के अंत में स्वीडन के राजा ऑस्कर द्वितीय ने, गोस्टा मिट्टाग-लेफ़लर की सलाह पर, समस्या का समाधान खोजने वाले किसी भी व्यक्ति के लिए पुरस्कार की घोषणा की स्थापना अधिक विशिष्ट थी।

इच्छानुसार अनेक द्रव्यमान बिंदुओं की एक प्रणाली को देखते हुए, जो न्यूटन के नियम के अनुसार प्रत्येक को आकर्षित करते हैं, इस धारणा के अधीन कि कोई भी दो बिंदु कभी नहीं टकराते हैं, एक वेरिएबल में एक श्रृंखला के रूप में प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक का प्रतिनिधित्व खोजने का प्रयास करें जो समय का कुछ ज्ञात कार्य है और जिनके सभी मान के लिए श्रृंखला समान रूप से अभिसरित होती है।

यदि समस्या का समाधान नहीं हो सका, तो मौलिक यांत्रिकी में कोई अन्य महत्वपूर्ण योगदान पुरस्कार के योग्य माना जाएगा। यह पुरस्कार हेनरी पोंकारे को दिया गया था, तथापि उन्होंने मूल समस्या का समाधान नहीं किया (उनके योगदान के पहले संस्करण में भी गंभीर त्रुटि थी।) अंततः मुद्रित संस्करण में अनेक महत्वपूर्ण विचार सम्मिलित थे। जिससे अराजकता सिद्धांत का विकास हुआ। जैसा कि मूल रूप से बताया गया था, जैसा कि मूल रूप से कहा गया है, समस्या को अंततः कार्ल फ्रिटियोफ सुंडमैन द्वारा n = 3 के लिए हल किया गया था और एल के बाबादजानजान्ज़ और किउडोंग वांग द्वारा n > 3 तक सामान्यीकृत किया गया था।

सामान्य सूत्रीकरण

n}-बॉडी समस्या परस्पर गुरुत्वाकर्षण आकर्षण के प्रभाव में चलते हुए तीन आयामी स्थान ℝ³ में एक जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में n बिंदु द्रव्यमान m_i, i = 1, 2, …, n पर विचार करती है। प्रत्येक द्रव्यमान m_i में एक स्थिति सदिश q_i न्यूटन का दूसरा होता है। इस प्रकार से नियम दर्शाता है कि द्रव्यमान गुणा त्वरण m_i d²q_i/dt² द्रव्यमान पर लगने वाले बलों के योग के समान है। न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण का नियम कहता है, कि एक द्रव्यमान m_j द्वारा द्रव्यमान m_i पर एहसास किया जाने वाला गुरुत्वाकर्षण बल इस प्रकार दिया जाता है।

$$\mathbf {F} _{ij}={\frac {Gm_{i}m_{j}}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}}}\cdot {\frac {\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|}}={\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{3}}},$$

जहाँ G गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है और ||q_j − q_i|| q_i और q_j मध्य की दूरी का परिमाण (मीट्रिक l₂ मानदंड से प्रेरित है)।

अतः सभी द्रव्यमानों का योग करने पर n-गति के निकाय समीकरण प्राप्त होता है:

$m_{i}{\frac {d^{2}\mathbf {q} _{i}}{dt^{2}}}=\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}{\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{3}}}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {q} _{i}}}$

जहाँ U स्व-संभावित ऊर्जा है

$$U=-\sum _{1\leq i<j\leq n}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|}}.$$

होने की गति को परिभाषित करना p_i = m_i dq_i/dt, हैमिल्टनियन यांत्रिकी हैमिल्टन की गति के समीकरण n-बॉडी की समस्या बन जाती है

$${\frac {d\mathbf {q} _{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} _{i}}}\qquad {\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} _{i}}},$$

जहां हैमिल्टनियन फलन है

$$H=T+U$$

और T गतिज ऊर्जा है

$$T=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{{\Vert {\mathbf{p}}_i\Vert }^2}{2}$$