फलनिक समीकरण

Not to be confused with फलनात्मक मॉडल.

गणित में, फलनिक समीकरण व्यापक अर्थ में, एक समीकरण है जिसमें एक या अनेक फलन अज्ञात (गणित) के रूप में होते हैं। इसलिए, अवकल समीकरण और समाकल समीकरण फलनिक समीकरण हैं। यद्यपि अधिकतर प्रतिबंधित अर्थ का उपयोग किया जाता है, जहाँ फलनिक समीकरण एक समीकरण होता है जो एक ही फलन के कई मानों से संबंधित होता है। उदाहरण के लिए, लघुगणक फलन अनिवार्य रूप से लघुगणक फलनिक समीकरण $\log(xy)=\log(x)+\log(y).$ द्वारा चित्रित किया जाता है।

यदि अज्ञात फलन का डोमेन प्राकृतिक संख्या माना जाता है, तो फलन को सामान्यतः अनुक्रम (गणित) के रूप में देखा जाता है तथा इस स्थिति में, फलनिक समीकरण (संकीर्ण अर्थ में) को पुनरावृत्ति संबंध कहा जाता है। इस प्रकार फलनिक समीकरण पद का प्रयोग मुख्य रूप से वास्तविक फलन और सम्मिश्र फलन के लिए किया जाता है । इसके अलावा समाधानों के लिए प्रायः सहजता की स्थिति स्वीकृत की जाती है, क्योंकि ऐसी स्थिति के बिना अधिकांश फलनिक समीकरणों में अधिक अनियमित समाधान होते हैं। उदाहरण के लिए, गामा फलन एक फलन है जो फलनिक समीकरण $f(x+1)=xf(x)$ और प्रारंभिक मान $f(1)=1.$ को संतुष्ट करता है। ऐसे कई फलन हैं जो इन स्थितियों को संतुष्ट करते हैं, लेकिन गामा फलन अद्वितीय है जो संपूर्ण सम्मिश्र समतल में मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन है, और x वास्तविक और धनात्मक (बोहर-मोलरुप प्रमेय) के लिए लघुगणकीय रूप से उत्तल है।

उदाहरण

• पुनरावृत्ति संबंधों को पूर्णांकों या प्राकृतिक संख्याओं के फलनों में फलनिक समीकरण समीकरणों के रूप में देखा जा सकता है जिसमें पदों के सूचकांकों के मध्य अंतर को शिफ्ट ऑपरेटर के अनुप्रयोग के रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि संख्या $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ को परिभाषित करने वाला पुनरावृत्ति संबंध जहाँ $F_{0}=0$ तथा $F_{1}=1$ है।
• $f(x+P)=f(x)$, जो आवधिक कार्यों की विशेषता प्रदर्शित करता है।

• $f(x)=f(-x)$, जो सम फलनों की विशेषता प्रदर्शित करता है और इसी प्रकार से $f(x)=-f(-x)$ जो विषम फलनों की विशेषता प्रदर्शित करता है।

• $f(f(x))=g(x)$, जो फलन g के फलनात्मक वर्गमूल की विशेषता प्रदर्शित करता है।

• $f(x+y)=f(x)+f(y)\,\!$ (कॉची का फलनात्मक समीकरण) रेखीय मानचित्रों से संतुष्ट होता है। चयन सिद्धांत के आधार पर समीकरण में अन्य तर्कहीन अरैखिक हल भी हो सकते हैं, जिनका अस्तित्व वास्तविक संख्याओं के लिए हेमल आधार से सिद्ध किया जा सकता है।
• $f(x+y)=f(x)f(y),\,\!$ सभी घातांकीय फलनों से संतुष्ट है। कॉची के योज्य फलनात्मक समीकरण के समान इसमें भी तर्कहीन असंतत हल हो सकते हैं।
• $f(xy)=f(x)+f(y)\,\!$, सभी लघुगणक फलन और सहअभाज्य पूर्णांक तर्कों, योगात्मक फलनों से संतुष्ट है।
• $f(xy)=f(x)f(y)\,\!$, सभी घातीय फलनों और सहअभाज्य पूर्णांक तर्कों, गुणात्मक फलनों से संतुष्ट है।
• $f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]\,\!$ (द्विघात समीकरण या समांतर चतुर्भुज नियम)।
• $f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2\,\!$ (जेन्सेन का फलनिक समीकरण)।
• $g(x+y)+g(x$