एनवेलप प्रमेय

गणित और अर्थशास्त्र में, लिफाफा प्रमेय एक पैरामिट्रीकृत अनुकूलन समस्या के मान फलन के अवकलनीयता गुणों के बारे में प्रमुख परिणाम है। जैसा कि हम उद्देश्य के मापदंडों को बदलते हैं, लिफाफा प्रमेय से पता चलता है कि, निश्चित अर्थ में, उद्देश्य के अनुकूलक में परिवर्तन उद्देश्य फलन में परिवर्तन के लिए योगदान नहीं करते हैं। लिफ़ाफ़ा प्रमेय अनुकूलन मॉडल के तुलनात्मक सांख्यिकी के लिए महत्वपूर्ण उपकरण है।

लिफाफा शब्द मान फलन के रेखांकन का वर्णन करने से प्राप्त होता है, जो फलन के पैरामीटरयुक्त परिवार के रेखांकन के ऊपरी लिफाफे के रूप में होता है $\left\{f\left(x,\cdot \right)\right\}_{x\in X}$ जो अनुकूलित हैं।

कथन

आज्ञा से $f(x,\alpha )$ और $g_{j}(x,\alpha ),j=1,2,\ldots ,m$ वास्तविक-मूल्यवान निरंतर भिन्न-भिन्न कार्यों पर $\mathbb {R} ^{n+l}$, जहाँ $x\in \mathbb {R} ^{n}$ विकल्प चर हैं और $\alpha \in \mathbb {R} ^{l}$ पैरामीटर हैं, और चुनने की समस्या पर विचार करें $x$, किसी प्रदत्त के लिए $\alpha$, इतनी रूप में:

$\max _{x}f(x,\alpha )$ का विषय है $g_{j}(x,\alpha )\geq 0,j=1,2,\ldots ,m$ और $x\geq 0$.

इस समस्या की लैग्रेंजियन अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है

${\mathcal {L}}(x,\lambda ,\alpha )=f(x,\alpha )+\lambda \cdot g(x,\alpha )$

जहाँ $\lambda \in \mathbb {R} ^{m}$ लैग्रेंज गुणक हैं। अब चलो $x^{\ast }(\alpha )$ और $\lambda ^{\ast }(\alpha )$ एक साथ ऐसा समाधान हो जो बाधाओं के अधीन उद्देश्य फलन f को अधिकतम करता है (और इसलिए लैग्रेंजियन के काठी बिंदु हैं),

${\mathcal {L}}^{\ast }(\alpha )\equiv f(x^{\ast }(\alpha ),\alpha )+\lambda ^{\ast }(\alpha )\cdot g(x^{\ast }(\alpha ),\alpha ),$

और मूल्य फलन को परिभाषित करें

$V(\alpha )\equiv f(x^{\ast }(\alpha ),\alpha ).$

तब हमारे पास निम्नलिखित प्रमेय है।

प्रमेय: मान लीजिए $V$ और ${\mathcal {L}}$ निरन्तर अवकलनीय हैं। तब

${\frac {\partial V(\alpha )}{\partial \alpha _{k}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}^{\ast }(\alpha )}{\partial \alpha _{k}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}(x^{\ast }(\alpha ),\lambda ^{\ast }(\alpha ),\alpha )}{\partial \alpha _{k}}},k=1,2,\ldots ,l$

जहाँ $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathcal{L}/\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_k=\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f/\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_k+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}g/\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_k$