मीट्रिक स्थान

द्वि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष (बिंदुओं का एक समुच्चय) विभिन्न मीट्रिक से सुसज्जित किया जा सकता है। टैक्सीकैब ज्यामिति में लाल, पीले, नीले और हरे रंग के रास्तों की लंबाई (12) समान होती है और ये सभी सबसे छोटे रास्ते होते हैं। यूक्लिडियन मीट्रिक में, हरे रंग के पथ की लंबाई {$6{\sqrt {2}}\approx 8.49$ है, और यह अद्वितीय सबसे छोटा पथ है, जबकि लाल, पीला, और नीले पथों की लंबाई अभी भी 12 है।

गणित में, मीट्रिक स्थान या दूरिक समष्टि, इसके तत्वों (सामान्यतः बिंदु) के बीच की दूरी की धारणा के साथ एक समुच्चय है। इस दूरी को मीट्रिक या दूरी फलन नामक फलन द्वारा मापा जाता है। गणितीय विश्लेषण और ज्यामिति की कई अवधारणाओं का अध्ययन करने के लिए मीट्रिक स्थान सबसे सामान्य समायोजन हैं।

मीट्रिक स्थान का सबसे व्यावहारिक उदाहरण दूरी की सामान्य धारणा के साथ यूक्लिड का त्रि-विमीय अंतरिक्ष है। इसका एक अन्य प्रसिद्ध उदाहरण कोणीय दूरी और अतिपरवलयिक तल से सुसज्जित एक गोला है। एक मीट्रिक, भौतिक दूरी की धारणा के स्थान पर एक लाक्षणिक दूरी की धारणा के अनुरूप हो सकता है: उदाहरण के लिए, 100-वर्णीय एकल कूट श्रृंखलाओं (यूनिकोड स्ट्रिंग्स) के समुच्चय को हैमिंग दूरी से सुसज्जित किया जा सकता है, यह उन वर्णों की संख्या को मापता है जिन्हें प्राप्त करने के लिए एक श्रृंखला से दूसरी श्रृंखला में बदलने की आवश्यकता होती है।

मीट्रिक स्थान के अधिक सामान्य होने के कारण, यह गणित की कई विभिन्न शाखाओं में उपयोग किया जाने वाला उपकरण है। कई प्रकार की गणितीय वस्तुओं में दूरी की एक स्वाभाविक धारणा होती है और इसलिए ये एक मीट्रिक स्थान की संरचना को स्वीकार करते हैं, जिसमें रीमैनियन मैनिफोल्ड, आदर्श सदिश स्थान और ग्राफ (असतत गणित) सम्मिलित हैं। अमूर्त बीजगणित में, p-एडिक संख्याएँ परिमेय संख्याओं पर एक मीट्रिक संरचना की पूर्णता के तत्वों के रूप में उत्पन्न हुई हैं। मीट्रिक ज्यामिति और मीट्रिक स्थान के विश्लेषण में मीट्रिक स्थान का भी स्वयं में अध्ययन किया गया है।

गेंद, पूर्ण मीट्रिक स्थान, साथ ही समान सततता, लिप्सचिट्ज़ सततता और होल्डर सततता सहित गणितीय विश्लेषण के कई मौलिक धारणाओं को मीट्रिक स्थान के समायोजन में परिभाषित किया जा सकता है। सततता, सघनता, और विवृत्त एवं संवृत्त समुच्चय जैसी अन्य धारणाओं को मीट्रिक स्थान के लिए परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन सांस्थितीय स्थान के और भी सामान्य समायोजन में भी परिभाषित किया जा सकता है।

परिभाषा और चित्रण

प्रेरणा

एक गोले पर दो बिंदुओं P और Q के बीच ग्रेट-सर्कल दूरी (सियान में) और सीधी-रेखा की दूरी (लाल रंग में) को दर्शाने वाला आरेख।

दूरी की विभिन्न धारणाओं की उपयोगिता को देखने के लिए, पृथ्वी की सतह को बिन्दुओं के समुच्चय के रूप में लें। हम सतह के साथ सबसे छोटे पथ की लंबाई (ग्रेट-सर्कल दूरी) द्वारा दो ऐसे बिंदुओं के बीच की दूरी को माप सकते हैं, "जैसे कौआ उड़ता है"; यह नौवहन और विमानन के लिए विशेष रूप से उपयोगी है। हम पृथ्वी के आंतरिक भाग से होते हुए दो बिंदुओं के बीच की सीधी-रेखा की दूरी को भी माप सकते हैं; उदाहरण के लिए, यह धारणा भूकंप विज्ञान में स्वाभाविक है, क्योंकि यह उन दो बिंदुओं के बीच यात्रा करने के लिए भूकंपीय तरंगों के लिए लगने वाले समय के संगत है।

मीट्रिक स्थान अभिगृहीतों द्वारा एन्कोड की गई दूरी की धारणा में अपेक्षाकृत कम आवश्यकताएँ हैं। यह सामान्यतः मीट्रिक स्थान को बहुत अधिक लचीलापन प्रदान करती है। साथ ही, दूरी के अर्थ के बारे में कई सहज ज्ञान युक्त तथ्यों को एन्कोड करने के लिए यह धारणा काफी सुदृढ़ है। इसका अर्थ है कि मीट्रिक स्थान के बारे में सामान्य परिणाम कई अलग-अलग संदर्भों में प्रयुक्त किए जा सकते हैं।

कई मूलभूत गणितीय अवधारणाओं के समान, मीट्रिक स्थान पर मीट्रिक की कई अलग-अलग तरीकों से व्याख्या की जा सकती है। भौतिक दूरी को मापने के रूप में एक विशेष मीट्रिक को सर्वोत्तम नहीं माना जा सकता है, लेकिन एक अवस्था से दूसरे में बदलने की लागत (मापों के स्थान पर वासरस्टीन मीट्रिक के साथ के समान) या दो वस्तुओं के बीच अंतर की कोटि (उदाहरण के लिए, वर्णों की दो श्रृंखलाओं के बीच की हैमिंग दूरी, या स्वयं मीट्रिक स्थान के बीच ग्रोमोव-हॉसडॉर्फ दूरी) के रूप में सर्वोत्तम माना जा सकता है।

परिभाषा

औपचारिक रूप से, एक मीट्रिक स्थान एक क्रमित युग्म (M, d) है, जहाँ M एक समुच्चय है और d, M पर एक मीट्रिक है, अर्थात्, एक फलन

$$d\,\colon M\times M\to \mathbb {R}$$

सभी बिंदुओं $x,y,z\in M$ के लिए निम्नलिखित अभिगृहीतों को संतुष्ट करते हुए :

1. किसी बिंदु की स्वयं से दूरी शून्य होती है:

$d(x,x)=0.$

2. (धनात्मकता) दो अलग-अलग बिंदुओं के बीच की दूरी हमेशा धनात्मक होती है:

$x\neq y{\text{, then }}d(x,y)>0.$

3. (समरूपता) एक बिंदु को स्वयं तक पहुँचने के लिए कभी कोई दूरी तय नहीं करनी पड़ती है।

$d(x,y)=d(y,x)$

इसमें लागत की असममित धारणाएँ असम्मिलित हैं, जो स्वाभाविक रूप से इस अवलोकन से उत्पन्न होती हैं कि नीचे की तुलना में ऊपर की ओर चलना कठिन होता है।

4. त्रिभुज की असमिका धारण करती है:

$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).$

यह दूरी की भौतिक और लाक्षणिक दोनों धारणाओं का एक प्राकृतिक गुण है: आप y से होकर हुए एक चक्कर लगाते हुए x से z तक पहुंच सकते हैं, लेकिन यह आपकी यात्रा को सबसे छोटे पथ से तेज नहीं बनाएगा।

यदि मीट्रिक d स्पष्ट है, तो इसे प्रायः " मीट्रिक स्थान M " में संकेतन के दुरुपयोग से संदर्भित किया जाता है।

सरल उदाहरण

वास्तविक संख्याएँ

दूरी फलन $d(x,y)=|y-x|$ के साथ वास्तविक संख्याएँ शुद्ध अंतर द्वारा दी गई एक मीट्रिक स्थान बनाती हैं। उनके बीच मीट्रिक स्थान और कार्यों के कई गुण वास्तविक विश्लेषण में अवधारणाओं के सामान्यीकरण हैं और वास्तविक रेखा पर प्रयुक्त होने पर उन अवधारणाओं के साथ संगत होते हैं।

यूक्लिड के अंतरिक्षों पर मीट्रिक

यूक्लिड समतल $\mathbb {R} ^{2}$ कई अलग-अलग मीट्रिक से सुसज्जित हो सकता है। विद्यालयीय गणित से सम्बंधित यूक्लिड दूरी को निम्न समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:

$$d_{2}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.$$

टैक्सीकैब या मनहट्टन ज्यामिति को निम्न समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:

$$d_{1}((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))=|x_{2}-x_{1}|+|y_{2}-y_{1}|$$

और उस दूरी के बारे में विचार किया जा सकता है जो आपको एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक जाने के लिए क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाओं के साथ तय करने की आवश्यकता होती है, जैसा कि लेख के शीर्ष पर दिखाया गया है। अधिकतम, $L^{\infty }$ या चेबीशेव दूरी दूरी को निम्न समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:

$$d_{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}((x_1,y_1),(x_{}$$